（整理版）高中数学知识要点重温（5）等差等比数列

1、高中数学知识要点重温5等差、等比数列1公差不为0的等差数列的通项是关于n的一次函数，一次项系数是公差；前n项和是关于n的二次函数，二次项系数是公差之半且常数项为0；即等差数列中，=+为公差，。证明某数列是等差比数列，通常利用等差比数列的定义加以证明，即证：an-an-1=常数(=常数) ，也可以证明连续三项成等差比数列。举例 、都是各项为正的数列，对任意的，都有、成等差数列，、成等比数列.试问是否为等差数列，为什么？解析：由=得=，于是=，又2=+，2=+，即2=+，数列是等差数列。注意：当用定义证明等差比数列受阻时，别忘了这“一招！上述思路的关键是由“=到“=的过渡，即所谓“升降标，这也是处

2、理数列问题的一个通法。稳固等差数列的前项和为，且，那么过两点、的直线的斜率为：(a)4 (b)3 (c) 2 (d)1迁移公差非零的等差数列中，前n项之和为，那么数列中 a不存在等于零的项b最多有一项等于零c最多有2项等于零 d可有2项以上等于零2. 等差数列an中，m+n=p+q，那么am+an=ap+aq，等比数列an中，m+n=p+q，那么aman=ap·aqm、n、p、q；等差等比数列中简化运算的技巧多源于这条性质。举例1在等差数列中，为常数，那么其前项和也为常数 a6b7c11d12 解析：等差数列的前k项和为常数即为常数，而=3为常数，2= 为常数，即前11项和为常数，选

3、c。注意：千万不要以为=，那就大错特错了！所谓“下标和相等那么对应项的和相等，是指两项和等于两项和，三项和等于三项和。等差数列中“n项和与“两项和转化为a1+an有关，某一项或某几项和均需转化为“两项和才能与“n项和联系起来。举例2等比数列中，a4+a6=3，那么a5a3+2a5+a7= 解析：a5a3+2a5+a7=a5a3+2a52+a5a7=a42+2a4a6+a62=(a4+a6)2=9稳固 在正项的等差数列和正项的等比数列中，有，试比拟与的大小。迁移 等比数列中，、是方程的两根，那么= 假设把条件中的“换成“呢？假设把条件中的“、换成“、呢？ 提高 在等差数列中，前n项之和为,s5=

4、25,sn=64,sn-5=9,那么 n=_3等差数列前n项和、次n项和、再后n项和即连续相等项的和仍成等差数列；等比数列前n项和和不为0、次n项和、再后n项和仍成等比数列。举例1在等比数列中，s2 =40，s4 =60，那么s6等于 ( ) a 10 b 70 c 80 d 90解析：在等比数列中，第一个两项和为40，第二个两项和为20注意：s4是前4项和，不是两项和，那么第三个两项和为10，s6为三个两项和相加，选b。举例2 在等差数列中，前n项之和为,s3=4，s18-s15=12，那么s18= 解析：在等差数列中，第一个三项和为4，第六个三项和为12，s18即首项为4，末项为12的等差

5、数列的6项和，为48。稳固在等差数列an中,其前n项和为sn,s5=2-b,s10=4-b,那么s15=_4. 等差数列当首项a1>0且公差d<0，前n项和存在最大值。利用不等式组：确定n值，即可求得sn的最大值。等差数列当首项a1<0且公差d>0时，前n项和存在最小值。 类似地确定n值，即可求得sn的最小值；也可视sn为关于n的二次函数，通过配方求最值；还可以利用二次函数的图象来求。举例 设等差数列满足3 a8=5a13，且a1>0，那么的前_项和最大解析：思路一：由3 a8=5a13得：d=a1,假设前n项和最大，那么，又a1>0得：，n=20,即的前2

6、0项和最大。这一做法最通行。思路二：sn=na1+n(n-1)d=na1- n(n-1)a1=-a1(n2-40n),当且仅当n=20时sn最大。这一做法突显了数列的函数特征。思路三：由3 a8=5a13得15a8=25a13,即s15=s25,又a1>0，sn的图象是开口向下的抛物线上的点列，对称轴恰为n=20，故n=20时sn最大。这一做法中几乎没有运算，但设计太过“精妙，非对等差数列的性质融会贯穿而不能为，仅供欣赏。稳固 数列是等差数列，是其前n项和，且s5s6，s6=s7>s87=0 c.s9>s5 d. s6 ,s7均为的最大值 迁移 在等差数列那么在前n项和sn中

7、最大的负数为as16bs17cs18ds19 5.注意：等比数列求和公式是一个分段函数 na1 (q=1) sn= 那么涉及到等比数列求和时假设公比不是具体数值须分类讨论解题。 举例等比数列的公比为q，前n项和为sn，且s3 ，s9 ，s6 成等差数列，求q3的值。解析：不可直接用等比数列的求和公式，需讨论：假设q=1，s3=3a1 ，s9=9a1，s6=6a1,那么有：18a1=3a1+6a1, 那么a1=0, 与是等比数列矛盾，q1，于是有：，化简得：，。此题还可以用：第一个三项和、第二个三项和、第三个三项和成等比数列解决，留读者自己完成。稳固an=1+r+r2+r3+rn-1，那么数列的

8、前n项和=_6.解等差比数列有关通项、求和问题时别忘了“根本元，即把问题转化为首项a1，公差d或公比q的方程组或不等式组去处理。等差或等比数列中的任两项也可用 am-an=(m-n)d，或=qm-n。举例1 等差数列的前n项和sn，假设s3=9，s13=26求s23的值。 解析：用求和公式解方程组，求出a1,d,再代入求和公式中求s23，这是通法。也可简化为：s3=3a2=9a2=3，s13=13a7=26a7=2, a12= 1(a2、a7、a12成等差数列)，s23=23a12=23。举例2等差数列an中，a3与a5的等差中项等于2，又a4与a6的等比中项等于6，那么a10等于 (a) 54 (b) 50 (c) 26 (d) 16 解析：a3与a5的等差中项等于2，即a4=2；a4与a6的等比中项等于6，即a6=18；于是2d=16,a10= a6+4d=50,选b。稳固等差数列an的首项a1=120，公差d=4，假设snan(n>1)，那么n的最小值为 a61 b62 c63 d70迁移等差数列an中假设am=n，an=m且mn求证：am+n=0；简答1. 稳固c，迁移视sn为关于n的二次函数，其图象是经过原点的抛物线上的点，应选b，2. 稳固=，迁移等比数列中奇数