椭圆与双曲线的对偶性质总结

1、1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.11.椭圆与双曲线的对偶性质总结点P处的切线PT平分 PF1F2在点P处的外角.PT平分 PF1F2在点P处的外角，则焦点在直线 PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直 径的圆，除去长轴的两个端点.以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线 相离.以焦点半径PF1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.2 2xyXoX yoy若Po(Xo,yo)在椭圆 2 =1上，则过Po的椭圆的切线方程是°21.abab2 2x y若Po(Xo,yo)在椭圆 2 =1外，则过Po作椭圆的两条切线切点为P1、P2，则切a b点弦P1P2的直线方程是 二 得 1.a b2 2

2、F1 , F 2,点P为椭圆上任意一点2=b ta n2椭圆 笃 笃=1 (a > b > 0)的左右焦点分别为 a bF1PF2二，则椭圆的焦点角形的面积为Sf1pf22 2椭圆一2 岭-1 (a> b>0)的焦半径公式：a b | MF1 a ex0 ,|MF2二a-ex0 ( R(-c,0) , F2(c,0) M (x°, y°).设过椭圆焦点F作直线与椭圆相交 P、Q两点，A为椭圆长轴上一个顶点， 连结AP和AQ分别交相应于焦点 F的椭圆准线于 M、N两点，贝U MF丄NF.过椭圆一个焦点 F的直线与椭圆交于两点 P、Q, A1、A2为椭圆

3、长轴上的顶点，A1P和A2Q交于点 M , A2P和A1Q交于点N，贝U MF丄NF.xAB是椭圆右b2=1的不平行于对称轴的弦，M(X0,y°)为AB的中点，则b2ABb2x°a y。12.若Po(x。，yo)在椭圆则被Po所平分的中点弦的方程是13.XoX yy 孑bT2Xo2a2 2若Po(Xo, yo)在椭圆笃爲=1内，则过Po的弦中点的轨迹方程是a b2 2X yXoXy°y2 . 2 一 2 .2a b a b双曲线1.2.3.4.5.点P处的切线PT平分 PF1F2在点P处的内角.PT平分 PF1F2在点P处的内角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹

4、是以长轴 为直径的圆，除去长轴的两个端点.以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相交.以焦点半径PF1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.(内切：P在右支；外切:P在左支)2 2若Po（Xo, yo）在双曲线7=1a b(a> o,b> o)上，则过Po的双曲线的切线方程6.是 XoX yo y是 2 一 2_ I.a b2x 若Po（Xo, yo）在双曲线a2y2二1 (a>o,b>o)夕卜，则过Po作双曲线的两条切 b27.线切点为P1、P2,则切点弦P1P2的直线方程是-辔 =1.a b22双曲线2 与=1 ( a> o,b> 0)的左右焦点分别为 F1,

5、 F 2，点P为双曲线上任意a2 b2料2y一点乙F1PF2，则双曲线的焦点角形的面积为S飞严2 =b cot?.2 2双曲线-1 (a>0,b>0)的焦半径公式：(F-c,。), F2(c,0)a b当 M (xo, yo)在右支上时，| MF1 | = eXo a ,| MF21= eXo - a .当 M(xo,y。)在左支上时，|MF1|=ex。a,|MF2=-eXo-a9.设过双曲线焦点F作直线与双曲线相交P、Q两点，A为双曲线长轴上一个顶点,连结AP和AQ分别交相应于焦点 F的双曲线准线于 M、N两点，贝U MF丄NF.1o.过双曲线一个焦点 F的直线与双曲线交于两点P

6、、Q, A1、A2为双曲线实轴上的顶点，A1P和A2Q交于点 M , A2P和A1Q交于点 N，贝U MF丄NF.2 2x y11. AB是双曲线 2 =1 (a> o,b > o)的不平行于对称轴的弦，M(Xo,y°)为ABa b的中点，则KomKb2x。K AB2a yo,即 K abb2Xo2 a yo12.=1 (a>0,b>o)内，则被Po所平分的中点弦的方2 2若Po(x0,y0)在双曲线22a b2 2 程曰 XoX y°y Xoyo程疋一 -22 2 .abab13.2 2 x y 若Po(xo, yo)在双曲线2a b=1 (a&g

7、t;o,b>o)内，则过Po的弦中点的轨迹方程XoX yoya2 _ b2椭圆与双曲线的经典结论椭圆2 2x y1. 椭圆二 2 =1 (a>b>o)的两个顶点为 A(-a,0) ,A2(a,0),与y轴平行的直a b2 2线交椭圆于P1、P2时A1P1与A2P2交点的轨迹方程是 笃-占=1.a2b222x y2. 过椭圆一22=1 (a>O, b> O)上任一点A(Xo, yo)任意作两条倾斜角互补的直线a b交椭圆于B,C两点，则直线BC有定向且kBc =聖(常数).a yo2 23. 若P为椭圆 务=1 ( a> b > o)上异于长轴端点的任一

8、点,F1, F 2是焦点a2 b2住 ac«PPF1F2 二：，PF2F1 二，贝Utan cot .a c222 24. 设椭圆 令 7=1 (a> b > 0)的两个焦点为F1、F2,P (异于长轴端点)为椭圆上a b任意一点，在PF1F2 中，记 RPF2 =； ,PRF2 =2 , F1F2 '，则有sin ：cr = = e.sin : sina2 25. 若椭圆 笃爲=1 (a>b>0)的左、右焦点分别为 Fi、F2,左准线为L,则当0a bvew .2 -1时，可在椭圆上求一点 P,使得PFi是P到对应准线距离 d与PF2的比例中项2 2

9、6. P为椭圆 与与=1 (a> b > 0) 上任一点，Fi,F2为二焦点，A为椭圆内一定点，a b则2a -1AF2旧PA| | PR展2a - | AFi |,当且仅当A, F2, P三点共线时，等号成7.椭圆A2a2(X -X。)22aB2b2 _ (Ax0 By0 C)2.2恰=1与直线Ax B C =0有公共点的充要条件是8. 2x y已知椭圆2 =1 (a > b > 0),a b1 1OP _OQ. (1)|OP |2 |OQ|22. 2a b22 .a b为坐标原点，P、Q为椭圆上两动点，且二;(2) |OPf+|OQ|2的最大值为b2 24a b ;

10、a b9.10.(3) S opq的最小值是(a> b> 0)的右焦点F作直线交该椭圆右支于M,N两点，弦MN的垂直平分线交e|MN2x轴于P,则也22已知椭圆2 =1 ( a> b> 0),A、B、是椭圆上的两点，线段a bAB的垂直平分线与x轴相交于点P(x0,O)a2_b2a2_b2，则x° ：11.2x设P点是椭圆一2aa> b> 0)上异于长轴端点的任一点，F1、F2为其焦点12.记 F1PF2 一 V则(1)| PF1 |PF2 F2b21 cos-.(2)S.PF1F2B是椭圆2 2 0丄 a2 b2=1 ( a> b >

11、 0)的长轴两端点， P是椭圆上的一点 BPA二,c、e分别是椭圆的半焦距离心率，则有(1)| PAF22ab2|cos- I222a -c costan ： =1 - e2 .(3)AB2 22a b .22 cotb -a2 2x y13. 已知椭圆 r 2=1（ a> b>0）的右准线I与x轴相交于点E，过椭圆右焦点Fa b的直线与椭圆相交于 A、B两点，点C在右准线I上，且BC _ X轴，则直线AC经过线段EF的中点.14. 过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直15. 过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点，

12、则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直.16. 椭圆焦三角形中，内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e（离心率）.（注：在椭圆焦三角形中，非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点.）17. 椭圆焦三角形中，内心将内点与非焦顶点连线段分成定比e.18. 椭圆焦三角形中，半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项.双曲线2 2x y1. 双曲线22 =1 （a>0,b>0）的两个顶点为 Ad-a,0） , A2（a,0），与y轴a b2 2平行的直线交双曲线于P1、P2时A1P1与A2P2交点的轨迹方程是 笃吿=1.a b222. 过双曲线 % -占=1 （a>

13、; 0，b> o）上任一点A（Xo，yo）任意作两条倾斜角互补a bb2x的直线交双曲线于 B，C两点，则直线BC有定向且kBC广（常数）.a 乂2 2x y3. 若P为双曲线一22 = 1 （a> 0，b> 0）右（或左）支上除顶点外的任一点 尸，a bF 2 是焦点， PF1F2 =， PF2F1 =2 ,则=tarco 右（或c + a 22c aI-'：；taco tr ）.c a224.22xy设双曲线牙=1 (a> 0,b> 0)ab的两个焦点为Fi、F2,P (异于长轴端点)5.6.7.8.为双曲线上任意一点，在 PF1F2PF1F2，F则有

14、 _(sin -sin ：)ce. a2 2若双曲线-b " (a> 0,b>0)的左、右焦点分别为F1、F2,左准线为L,则当1v ew . 2 - 1时，可在双曲线上求一点P,使得PF1是P到对应准线距离d与PF2的比例中项2 2P为双曲线才古=1( a> " 0)上任一点,2为二焦点，A为双曲线内定点，贝V | AF21 -2a勻PA | |PFi | ,当且仅当 代F?, P三点共线且 P和代F?在y轴同侧时，等号成立.2 2x y双曲线 2 =1 (a>0,b>0)与直线Ax By C = 0有公共点的充要条2 b2-B2b2 乞 C

15、2.2 2x y2-一=1 (b > a > 0), O为坐标原点，P、Q为双曲线上两动a b点，且 OP _OQ.a件是A2a2已知双曲线/八11(1) 2 2|OP| |OQ|2b2的最小值是孕J. b2 -a2、x2 y2过双曲线2a b12ag;( 2) |OPf+|OQ|2 的最小值为 42a b2 ; (3) Sopqbb -a9.=1 (a> 0,b> 0)的右焦点 F作直线交该双曲线的右支于M,N两点，弦MN| pf | e 的垂直平分线交x轴于P,则| MN |210.2x已知双曲线a笃=1 (a>0,b>0) ,A、B是双曲线上的两点,b

16、线段 AB的11.垂直平分线与2 . , 2a 十bx轴相交于点 P(x0,0),则x0兰或x0 <aa2 - b22 2xy,设P点是双曲线 2 =1 ( a> 0,b> 0) 上异于实轴端点的任一点，F1、f2ab2b2丫为其焦点记.F1PF2-V,则(1)|PF1|PF2|.(2)二 b2cot.1 cos 日22 2设A、B是双曲线 笃-爲=1 (a> 0,b >0)的长轴两端点，P是双曲线上的a b一点，.PAB =，. PBA=E,. BPA=/c、e分别是双曲线的半焦距离2心率，则有(1)|PAH|2ab 'cos2'| a -c cos ； I222=1 一 e .(3) S pab2a b 4cot .b a213.已知双曲线线右焦点Fy2 =1 (a>0,b>0)的右准线I与x轴相交于点E，过双曲b的直线与双曲线相交于 A、B两点，点C在右准线I上，且BC _ X轴，则直线AC经过线段EF的中点.