椭圆与双曲线常见题型归纳

1、椭圆与双曲线常见题型归纳一.曲线方程+直线与圆锥曲线位置关系”的综合型试题的分类求解1.向量综合型 例1在直角坐标系xOy中，点P到两点(0, _、.3),(0, .、3)的距离之和为4，设点P的轨迹为C ,直线y = kx 1与C交于A, B两点。(I)写出C的方程；(n)若 OA _ OB , 求 k 的值。例1.解:(I)设P (x, y),由椭圆定义可知，点P的轨迹C是以(0, - J3),(Q J3)为焦点,长半轴为2的椭圆.它的短半轴 b 2 x2例2.设F1、F2分别是椭圆y2 -( 3)2 =1 ,2故曲线C的方程为x2 =14 2()设 A(xi, yi), Bg, y2)，

2、其坐标满足X21,4.y = kx +1.消去y并整理得(k2 4)x2 2kx -3 = 0 , 故XX2壬,轨亠k2 4k2 4若 OA _ OB，即 x1x2 y-i y 0 ., 2而 y1 y2 = k x1x2 k(x1 x2) 1,曰丄疋 x2y1 y23k243k2k2 4壬 1=0,化简得-4k21二0，所以k=1的左、右焦点.(I)若P是该椭圆上的一个动点，求PF1 PF2的最大值和最小值；(H)设过定点M (0,2)的直线l与椭圆交于不同的两点A、B，且/ AOB为锐角(其中0为坐标原点)，求直线I的斜率k的取值范围 例2解：(I)解法一：易知 a=2,b=1,c 二、3

3、所以 R -、3o ,F2 .3,0，设 P x,y，则PF1PF23 - x,-y,-3 - x, -y= x2y2-3= xPFi卩F2有最小值-2因为x：= 2,2 1,故当x=0，即点P为椭圆短轴端点时,当x = 2，即点P为椭圆长轴端点时，PF1卩F2有最大值解法一：易知 a=2,b=1,c = -、3，所以 Fi - 3,0 , F2 3,0，设 P x, y，则启 = PF- Pf2 cos F1PF pFi阿+區口詞22I'PF2=1 X .3 y2-12 =x2 y2 -3 （以下同解法一）(n)显然直线 x =0不满足题设条件,可设直线l:y=kx-2,A为皿，B他

4、皿，联立y = kx -2，消去y，整理得:k21 x2 4kx 3 = 04二 x-ix24kk2X1 x2 -413一4 k 3=4k2 -3 0 得：k 3 或 kI 4丿2又 00 ： A0B ：90° 二 cos A0B 0= OA OB 0二 OA OB = nx2 %y2 02 2 . 2 .rr2又 y2=kxi2kx22 = kX1X22kXiX24 二3k 8kk 1+ 4 k2 1 k2 - 4420 ，即 k 4 -2 k 23-k2 1+>1 . 2 14故由、得2 kL 或: k : 22 22例3.设F1、F2分别是椭圆y2 =1的左、右焦点， B

5、(0,_1) 4(I)若P是该椭圆上的一个动点，求PF1卩F2的最大值和最小值；(n)若C为椭圆上异于 B一点，且BF；CF；，求，的值；(川)设P是该椭圆上的一个动点，求：PBF；的周长的最大值.例 3.解：(I)易知 a =2,b =1,c .3，所以 F； -、一3,0 , F2 ,3,0 ,设 P x, y ,则.L君縈虢倚"222X212PF； PF2 -3x,y , . 3x,y i=x2 y2-3 =x2 133x2-844i I因为x 2,2 ,故当x = 0，即点P为椭圆短轴端点时，耐，_)_iPF1卩F2有最大值1B(0,1)已 一、3,0x022y0 T4所以亠

6、6 ；.亠7 = 0解得 '-_70 - 1 - 0舍去)当 x »2,x03(1即点P为椭圆长轴端点时,设 c ( X。，y )PF；卩F2有最小值-2(川)因为 |PF；|+ |PB|= 4 - |PF21+ |PB|W 4 + |BF2|. APBF；周长 <4|BF2|+ |B F；|所以当P点位于直线BF2与椭圆的交点处时， APBF；周长最大，最 大值为8.有例4.已知中心在原点的双曲线C的右焦点为(2,0)，右顶点为(：,3,0) (1)求双曲线C的方程； 若直线I： y =kx2与双曲线C恒有两个不同的交点 A和B，且OA OB - 2(其中O为原点)，

7、求k的取值范围。2 2例4.解：(I)设双曲线方程为 令-$7=1 (a 0,b - 0).由已知得a b2a - .3,-2,再由a b - 2 ,得b - 1.故双曲线C的方程为y - 1.32(n) 将 y =kx ,2 代入 0 - y2 =1 得(1 _ 3k2 )x2 _ 6 . 2kx _9 = 0. 311 - 3k 0,由直线I与双曲线交于不同的两点得(A = (672k)2 +36(1 _3k2) = 36(1 _k2) >0.即 k2 =1 且k2 ”：1. 设 A(xa,Ya),B(xb,Yb)，则6>/2k-9T/曰Xa Xb2,XaXb2,田OA OB

8、2得XaXb yAyB 2,1 -3k1 -3k而 XaXb YaYb =XaX (g . 2)(kxB . 2) =(k2 1)XaXb 、2k(XA x) 2l 6血3k2+7亠.2 k 2 221 -3k23k -12-9=(k 1)21-3k22-3k93k2 -10,解此不等式得 J：k2：3.3由、得J3J3故k的取值范围为(-1,3) _. ( 3,1).33例5.已知椭圆2 x2a匚(a > b> 0)的离心率e，过点Ab23(0, -b)和 B (a, 0)的3直线与原点的距离为 .2(1 )求椭圆的方程.(2 )已知定点 E (-1, 0),若直线y= kx+

9、2 (心0)与椭圆交于 在k的值，使以CD为直径的圆过 E点？请说明理由.例5.解析：(1)直线AB方程为：bx-ay-ab = 0.C J6,依题意3abYa2 +b2椭圆方程为解得_3_ 2b =1C、D两点.冋：是否存2X 2 1'y 13(2)假若存在这样的k值，由 丿2一 kX；2'得(1+3k2) x2+12kx + 9 = 0 .、x2 +3y2 _3 = 0.: =(12k)2 -36(1 3k2)0 .X1X2 口设 C(x1,yj、D(x2 , y2)，则12k1 3k2，9x1 x21 3k2 8分而 y1 y2 二(kx12)( kx22) = k2x1

10、x2 2k(x1 x2) 4 .要使以cd为直径的圆过点E (-1, 0),当且仅当CE丄DE时，则y1x11 x2110分即 y1y2(x-i i)(x2 1)= 0.(k2 1)x1x22( k 1)( x1 x2)0.将式代入整理解得k =7 .经验证，k ，使成立.6 6综上可知，存在k =76使得以CD为直径的圆过点E.13分2“中点弦型”x2，试确定m的值，使得在此椭圆上存在不同例6.已知椭圆一43两点关于直线y =4x m对称。例 6.解：设 A(X1,yJ,B(X2,y2)，AB 的中点 M (x。，y。)，kA1 x2 -x14而 3xj 4%2=12, 3X22 4y22=

11、12,相减得 3化2 -)4山2 - yj)= 0, 即 y1y2=3(X1X2),.y。=3x。，3x。=4x。m,x。- -m, y。- -3m而 M(Xo,y。)在椭圆内部，贝U 9m : 1,即-: m .431313例7.已知双曲线的中心在原点，焦点在 x轴上，离心率e=，焦距为Z 3 (I )求该双曲线方程(II)是否定存在过点P (1，1)的直线I与该双曲线交于A，B两点，且点P是 线段AB的中点？若存在，请求出直线I的方程，若不存在，说明理由2例 7. (1) x2 -1122(2)设 A(X1，yJ,B(X2，y2)，直线：y 二 kx 1 - k，代入方程 x2 -丄 1

12、得2(2 k2)x2 2k(1 k)x - (1 k)2 -2 = 0 ( 2 - k2 = 0)则冬 空二卫！单=1，解得2，此时方程为2x2-4x，3 = 0，A : 0 22-k2方程没有实数根。所以直线I不存在。例&已知椭圆的中心在原点， 焦点为F1(0,- 2、. 2) ,F2(0，2 2 )，且离心率。3(I) 求椭圆的方程；(II) 直线l (与坐标轴不平行)与椭圆交于不同的两点A、B，且线段AB中点的横坐 1标为-，求直线I倾斜角的取值范围。2例&解：(I)设椭圆方程为由已知& =2，又-a 32y 2解得 a=3，所以b=1，故所求方程为x =19(I

13、I)设直线I的方程为y二kx b(kM 0)代入椭圆方程整理得(k29)x2 2kbx b2 - 9 = 0丄=(2kb)2 _4(k2 +9)(b2 _9) >0 由题意得丫2 kb=-1x1x2厂k 9解得 k , 3 或 k ： - , 3又直线I与坐标轴不平行故直线I倾斜角的取值范围是3)12分3“弦长型”x例9.直线y = kx+ b与椭圆 y2 =1交于A、4B两点，记AOB的面积为S.(I)求在k= 0, 0v bv 1的条件下, (n )当|S的最大值；AB | = 2, S= 1时，求直线 AB的方程.例9(1)解：设点A的坐标为(洛山)，点B的坐标为(X2,b),2.

14、x由 y4=1，解得 %,2 = ±2山 _b2所以 1b|x1 -x2 | = 2b 1 b2 乞 b21 b2 =12当且仅当b卫时，取到最大值1.2y 二 kx b(n)解：由 J22 得一 + y =1.42 2 2(4k1)x 8kbx 4b -4 =02 224k 1 ；. =16(4k -b 1)又因为O到AB的距离d -一|b| 竺 =1 所以b k21斤P AB代入并整理，得 4k4 -4k2 1 =02123解得，k ,b，代入式检验，> 02 2故直线AB的方程是6 2 .6 2 .6 2 、.6 y x 或y x 或yx 或yx2 2 2 2 2 2 2

15、 2例 10.已知向量 mi = (0, x), ni = (1, 1),17o(y2, 1)(其中 X, y是实数)，又设向量 m = m1 + 2 n2, n = m2 2 ni，且m /n，点P (x, y)的轨迹为曲线C.(1)求曲线C的方程；(n)设直线l : kx 1与曲线C交于M、N两点，当|MN|=4. 23时，求直线l的方程.例 10 解：(I)由已知，m =(0,x) (2y2,、一2), =(.2y2,x 、三),n =(x, 0J . (2 , =2X>-、.-2 ,2-).7m/n ,、.2y2 (2)-x(广 2力(J2- 5分2即所求曲线的方程是：丄y2 =

16、1. 7分2-l-x22(n)由"2 y 二1,消去y得 ：(1 2k2)x2 4kx =0.y = kx 1.解得X1=0, x2= (X1,X2分别为M , N的横坐标) 9分1 +2k2 由 | MN |= H1 + k2 | 捲 一x2 = J1 + k2 | 4k 2< 2,1 +2k2 13解得:k = 1. 11分所以直线I的方程xy+1=0或x+y仁0. 12分“基本性质型”x V例11.设双曲线C1的方程为 2 -1(a 0,b 0) , A、B为其左、右两个顶点，P是a b2 2双曲线Ci上的任一点，引 QB _ PB, QA _ PA , AQ与BQ相交于

17、点(1 )求Q点的轨迹方程;(2)设(1)中所求轨迹为 C2, C1、C2的离心率分别为ei、 e2，e工J2时，求e2的取值范围。例 11.解：(1)设 P(Xo,y。), Q(x,y)/ A(_a,O), B(a,0), QB _ PB, QA _ PAyoL 一1怡 +a x +a=丄_1x° - a x - a2y。22X0a2 2y -1生-2 2 2x -aa2_y。2Xb2，a2 22 =卑，化简得：a2x2 _b2y2 = a4 ,x -a b经检验，点(-a,0), (a,0)不合题意，.点Q的轨迹方程为a2x2 _ b2(2)由(1 )得C2的方程为2y 14 一

18、 1aa2(厂0)2e24b2a22a=1 2 =1b2八1 (2)2一1=2，二仁 e2 八 2。2 2例12. P为椭圆Z y1上一点,259(1 )求厶F, PF 2的面积；(2)求P点的坐标.F1、F2为左右焦点,若F1PF2 =60例 12.解析:T a= 5, b = 3. c= 4(1 )设 |PF1 |比,|PF2 |珂2，则 t1 t10t12 t； -2以2 COS60' -82，11J3.S.pf? =2也 sin 60 =2 12 3 3(2)设 P(x, y)，由 s.Fipf W 2c | y 4 | y |得 4 I y 3 3 » |二晋:y =葺，将 兰或P(立冬1、或由2得址2 =12y =代入椭圆方程解得x = _5卫,P-444祕 c, 5 13 3 3 或P( ,)或 P(,)或44p（ 5 寸133品）4 '4例13.已知双曲线与椭圆（12- y /共焦点，且以y =x为渐近线，求双曲线方程.49 2432 2例13 解析:由椭圆