§1-2-导热微分方程式及单值性条件

1、Heat Transfer传热学传热学 Building Energy Efficiency is the Wave of the Future ! 建筑工程建筑工程系系1 导热理论基础导热理论基础 建筑环境与设备工程专业主干课程之一建筑环境与设备工程专业主干课程之一 !Chapter1 Heat conduction theory L o g oL o g o建筑工程系 Construction Engineering Department 傅里叶定律：傅里叶定律：gradtq 建立导热微分方程，可以揭示连续温度场随空间坐建立导热微分方程，可以揭示连续温度场随空间坐标和时间变化的内在联系。标

2、和时间变化的内在联系。 理论基础：傅里叶定律理论基础：傅里叶定律 + + 能量守恒方程能量守恒方程 定义：定义：根据能量守恒定律与傅立叶定律，建立导热物体中根据能量守恒定律与傅立叶定律，建立导热物体中的温度场应满足的数学表达式，称为的温度场应满足的数学表达式，称为导热微分方程导热微分方程。（一）导热微分方程的推导（一）导热微分方程的推导一一 、导热微分方程、导热微分方程 1-2 导热微分方程式及单值性条件导热微分方程式及单值性条件L o g oL o g o建筑工程系 Construction Engineering Department 假设：假设：(1) (1) 所研究的物体是各向同性的连

3、续介质所研究的物体是各向同性的连续介质 (2) (2) 热导率、比热容和密度均为已知热导率、比热容和密度均为已知 (3) (3) 物体内具有均匀分布内热源；强度物体内具有均匀分布内热源；强度 q qv v W/m W/m3 3; ; q qv v 表示单位体积的导热体在单表示单位体积的导热体在单 位时间内放出的热量位时间内放出的热量 导热体内取一微元体，导热体内取一微元体，根据能量守恒定律，根据能量守恒定律，单位时间净导入微元体的热量单位时间净导入微元体的热量 加上微元体内热加上微元体内热源生成的热量源生成的热量 应等于微元体内能的增加量应等于微元体内能的增加量 dv dv一一 、导热微分方程

4、、导热微分方程 L o g oL o g o建筑工程系 Construction Engineering Department 1 1、导入与导出微元体的净热量、导入与导出微元体的净热量 d d 时间内、沿时间内、沿 x x 轴方向、轴方向、经经 x x 表面导入的热量表面导入的热量：xxdq dydzd d d 时间内、沿时间内、沿 x x 轴方轴方向、经向、经 x+dx x+dx 表面导出表面导出的热量：的热量：x dxx dxdqdydzddxxqqqxxdxx一一 、导热微分方程、导热微分方程 L o g oL o g o建筑工程系 Construction Engineering D

5、epartment d d 时间内、沿时间内、沿 x x 轴方向导入与导出微元体净热量轴方向导入与导出微元体净热量xxx dxqdddxdydzdx d d 时间内、沿时间内、沿 y y 轴方向导入与导出微元体净热量轴方向导入与导出微元体净热量yyy dyqdddxdydzdy d d 时间内、沿时间内、沿 z z 轴方向导入与导出微元体净热量轴方向导入与导出微元体净热量zzz dzqdddxdydzdz d d 时间内、沿时间内、沿 z z 轴方向导入与导出微元体净热量轴方向导入与导出微元体净热量一一 、导热微分方程、导热微分方程 L o g oL o g o建筑工程系 Constructi

6、on Engineering Department 导入与导出净热量导入与导出净热量: :()yxzdqqqddxdydzdxyz 傅里叶定律：傅里叶定律：xtqxytqyztqz()()()dtttdxdydzdxxyyzz 一一 、导热微分方程、导热微分方程 L o g oL o g o建筑工程系 Construction Engineering Department 2 2、 d d 时间微元体内热源的发热量时间微元体内热源的发热量vvq dxdydzd 3 3、微元体在、微元体在d d 时时间内能的增加量间内能的增加量 dxdydzdtcdv 一一 、导热微分方程、导热微分方程 L o

7、 g oL o g o建筑工程系 Construction Engineering Department 将以上各式代入热平衡关系式，并整理得：将以上各式代入热平衡关系式，并整理得： 这是笛卡尔坐标系中这是笛卡尔坐标系中三维非稳态导热微分方程的一般表达式。三维非稳态导热微分方程的一般表达式。 其物理意义：其物理意义：反映了物体的温度随时间和空间的变化关系。反映了物体的温度随时间和空间的变化关系。 ()()()vttttcqxxyyzz非稳态项非稳态项源项源项扩散项扩散项一一 、导热微分方程、导热微分方程 L o g oL o g o建筑工程系 Construction Engineering

8、Department 1 1）对上式化简：）对上式化简： 导热系数为常数导热系数为常数 cztytxtat222222)(式中，式中， ，称为热扩散率。，称为热扩散率。)/( ca导热系数为常数导热系数为常数 、无内热源、无内热源 222222()ttttaxyz一一 、导热微分方程、导热微分方程 L o g oL o g o建筑工程系 Construction Engineering Department 导热系数为常数导热系数为常数 、稳态、稳态 2222220tttxyz 导热系数为常数导热系数为常数 、稳态、稳态 、无内热源、无内热源 2222220tttxyz一一 、导热微分方程、导

9、热微分方程 L o g oL o g o建筑工程系 Construction Engineering Department 综上说明：综上说明： （ 1 1 ）导热问题仍然服从能量守恒定律；）导热问题仍然服从能量守恒定律； （ 2 2 ）等号左边是单位时间内微元体热力学能的增量（非）等号左边是单位时间内微元体热力学能的增量（非稳态项）；稳态项）； （ 3 3 ）等号右边前三项之和是通过界面的导热使微分元体）等号右边前三项之和是通过界面的导热使微分元体在单位时间内在单位时间内 增加的能量增加的能量 ( ( 扩散项扩散项 ) ) ； （ 4 4 ）等号右边最后项是源项；）等号右边最后项是源项；（

10、5 5 ）若某坐标方向上温度不变，该方向的净导热量为零，）若某坐标方向上温度不变，该方向的净导热量为零，则相应的扩散项即从导热微分方程中消失。则相应的扩散项即从导热微分方程中消失。 一一 、导热微分方程、导热微分方程 L o g oL o g o建筑工程系 Construction Engineering Department （1 1）热扩散率的物理意义）热扩散率的物理意义 由热扩散率的定义可知：由热扩散率的定义可知： 1 1） 分子是物体的导热系数，其数值越大，在相同温度梯分子是物体的导热系数，其数值越大，在相同温度梯度下，可以传导更多的热量。度下，可以传导更多的热量。 2 2）分母是单位

11、体积的物体温度升高）分母是单位体积的物体温度升高 1 1 所需的热量。所需的热量。其数值越小，温度升高其数值越小，温度升高11所吸收的热量越少，可以剩下更所吸收的热量越少，可以剩下更多的热量向物体内部传递，使物体内温度更快的随界面温度多的热量向物体内部传递，使物体内温度更快的随界面温度升高而升高。升高而升高。a a 反映了导热过程中材料的导热能力（反映了导热过程中材料的导热能力（ ）与沿途物质储热）与沿途物质储热能力（能力（ c c ）之间的关系）之间的关系. .()ac4、有关说明、有关说明一一 、导热微分方程、导热微分方程 L o g oL o g o建筑工程系 Construction

12、Engineering Department 由此可见由此可见物理意义物理意义： 值大，即值大，即 值大或值大或 c c 值小，说明物体的某一部分一值小，说明物体的某一部分一旦获得热量，该热量能在整个物体中很快扩散，其内部各点旦获得热量，该热量能在整个物体中很快扩散，其内部各点温度扯平的能力越大。温度扯平的能力越大。 越大，表示物体中温度变化传播的越快。所以，越大，表示物体中温度变化传播的越快。所以，也是也是材料传播温度变化能力大小的指标，亦称导温系数。材料传播温度变化能力大小的指标，亦称导温系数。热扩散率表征物体被加热或冷却时，物体内各部分温度趋向热扩散率表征物体被加热或冷却时，物体内各部分

13、温度趋向于均匀一致的能力。于均匀一致的能力。 一一 、导热微分方程、导热微分方程 L o g oL o g o建筑工程系 Construction Engineering Department （2 ）导热微分方程的适用范围）导热微分方程的适用范围 1 1 ）适用于）适用于 q q 不很高，而作用时间长。同时傅立叶定律也不很高，而作用时间长。同时傅立叶定律也适用该条件。适用该条件。 2 2 ）若时间极短，而且热流密度极大时，则不适用。）若时间极短，而且热流密度极大时，则不适用。3 3 ）若属极低温度（）若属极低温度（ -273 -273 ）时的导热不适用。）时的导热不适用。 一一 、导热微分方

14、程、导热微分方程 L o g oL o g o建筑工程系 Construction Engineering Department 二、导热过程的单值性条件二、导热过程的单值性条件导热微分方程式的理论基础：傅里叶定律导热微分方程式的理论基础：傅里叶定律+ +能能量守恒。它描写物体的温度随时间和空间变化量守恒。它描写物体的温度随时间和空间变化的关系；没有涉及具体、特定的导热过程。通的关系；没有涉及具体、特定的导热过程。通用表达式。用表达式。单值性条件：确定唯一解的附加补充说明条件，单值性条件：确定唯一解的附加补充说明条件，包括四项：几何、物理、初始、边界包括四项：几何、物理、初始、边界完整数学描述

15、：导热微分方程完整数学描述：导热微分方程 + + 单值性条件单值性条件L o g oL o g o建筑工程系 Construction Engineering Department 1 1、几何条件：、几何条件：说明导热体的几何形状和大说明导热体的几何形状和大小，如：平壁或圆筒壁；厚度、直径等小，如：平壁或圆筒壁；厚度、直径等2 2、物理条件：、物理条件：说明导热体的物理特征如：说明导热体的物理特征如：物性参数物性参数 、c c 和和 的数值，是否随温度的数值，是否随温度变化；有无内热源、大小和分布；变化；有无内热源、大小和分布；3 3、初始条件：、初始条件：又称时间条件，反映导热又称时间条件

16、，反映导热系统的初始状态系统的初始状态 )0 ,(zyxft 、边界条件、边界条件: :反映导热系统在界面上的特征，也可理解为反映导热系统在界面上的特征，也可理解为系统与外界环境之间的关系。系统与外界环境之间的关系。 二、导热过程的单值性条件二、导热过程的单值性条件L o g oL o g o建筑工程系 Construction Engineering Department 边界条件常见的有四类边界条件常见的有四类 （）第一类边界条件（）第一类边界条件: :该条件是给定该条件是给定系统边界上的温度分布，它可以是时系统边界上的温度分布，它可以是时间和空间的函数，也可以为给定不变间和空间的函数，也

17、可以为给定不变的常数值。的常数值。 t=f(y,z,) 0 x1 x （2 2）第二类边界条件）第二类边界条件: :该条件是给定该条件是给定系统边界上的温度梯度，即相当于给系统边界上的温度梯度，即相当于给定边界上的热流密度，它可以是时间定边界上的热流密度，它可以是时间和空间的函数，也可以为给定不变的和空间的函数，也可以为给定不变的常数值常数值0 x1 x ),(zyfxt 0wtf时20()( )wtfn时、边界条件、边界条件L o g oL o g o建筑工程系 Construction Engineering Department （3 3）第三类边界条件）第三类边界条件: :该条件该条件是第一类和第二类边界条件的是第一类和第二类边界条件的线性组合，常为给定系统边界线性组合，常为给定系统边界面与流体间的换热系数和流体面与流体间的换热系数和流体的温度，这两个量可以是时间的温度，这两个量可以是时间和空间的函数，也可以为给定和空间的函数，也可以为给定不变的常数值不变的常数值 0 x1 x )th ttx（()()wwfth ttn、边界条件、边界条件L o g oL o g o建筑工程系 Co