《一定是直角三角形吗》典型例题

1、一定是直角三角形吗典型例题例 1 在 AABC 中，a=2n2+2n, b=2n+1, c = 2n2+2n+1(n a0)为三边,试判断该三角形是否为直角三角形？例2如果一个三角形的三边长分别为a = m2 -n2,b =2mn,c = m2 +n2(m >n),则这三角形是直角三角形例3已知a、b、c为 MBC的三边，且满足 222 _a b c 338 =10a 24b 26c.求证：这个三角形是直角三角形.例4已知AABC的三边为a、b、c,且a =41,b = 40,c =9 ,试判定AABC的形 状.例5如图所示，在四边形ABCD中，/C是直角，AB =13, BC =4,C

2、D =3, AD =12,求证：AD _L BD.1 一例6如图所小，E为正万形ABCD的边AD的中点，F在DC上，DF =DC .试 4问：ABEF是直角三角形吗？说明理由.E D4 / 4例 1 解答:V c-a =(2n2 +2n+1)-(2n2+2n) =1a0,c-b = (2n2 +2n+1) -(2n+1) =2n2 >0 ,一 c边为三角形的最大边，又c2 =(2n2 +2n +1)2 =4n4 +8n3 +8n2 +1,a2 +b2 =(2n2 +2n)2 +(2n +1)2 =4n4 +8n3 +8n2 +1 ,a2 b2 =c2根据勾股定理的逆定理可知,AABC为直

3、角三角形.说明：三角形的三边分别为a, b, c,其中c为最大边.(1)若a2+b2=c2,则三角形是直角三角形；(2)若a2+b2c2,则三角形是锐角三角形；(3)若a2+b2<c2,则三角形是钝角三角形；例2分析：验证a,b,c三边是否符合勾股定量的逆定理目a2 +b2 =(m2 -n2 2 +(2mn 2m m4 2m2n2 n4 = m2 n2 22 . .22, , a b 二 c / C= 900说明：勾股定理的逆定理给出了判定一个三角形是直角三角形的方法，与前面学习的方法不同，它需要通过代数运算算出来.例3分析：要证明AABC是直角三角形，应从它的三边a、b、c入手，如 果

4、有关系a2 +b2 =c2或b2 +c2 =a2或c2 +a2 =b2成立，那么这个三角形一定是直 角三角形.从已知条件，可以求出a、b、c的长.解答：由已知得：a2+b2+c2 10a24b26c + 338 = 0. a2 -10a 25 b2 -24b 144 c2 -26c 169 -0即(a -5)2 (b-12)2 (c-13)2 -0. (a 5)2 _Q(b_12)2 _0,(c_13)2 _0. a 5 =0,b 12 =0,c13=0 ,即 a = 5,b =12,c =13V 52 +122 =132 ,即有 a2 +b2 =c2 ,. AABC 是直角三角形.说明：直角

5、三角形适用于勾股定理，而利用逆定理是判断一个三角形是直角 三角形的方法，当由边之间的关系判断三角形的形状时，我们用勾股定理先行考 证，没有条件时，创造条件，从而求出边长或边长之间的关系，进而判断.例4分析 为判定三角形的形状，可利用直角三角形的判别条件，判断三角 形的最大边的平方是否等于另外两边的平方和.解 : b2 +c2 =402 +92 =1 6 8,1 而 a2 =412 =1681 ,.a2=b2+c2,. AABC是直角三角形，并且/A是直角.说明：利用直角三角形的判别条件不仅能够判断出三角形的形状，而且还能 够知道三角形的哪个角是直角.例5分析可将直线的互相垂直问题转化成直角三角形的判定.解 .在 RtABCD 中，BC=4,CD=3,由勾股定理，BD 2 =42 +32,即 BD=5,在 AABD 中，BD =5, AD=12,AB=13,AB2 =AD2 +BD2,由直角三角形的判别条件，&ABD是直角三角形，且 AADB是直角，AD _L BD .例6解 ABEF是直角三角形.设 DF=a,由题意知，DE = AE =2a,CF =3a,AB =BC =4a.在直角三角形BCF中，由勾股定理，得BF2 = BC2 CF2 =(4a)2 (3a)2 =25a2.BF2 =BE2 +EF2 . . ABEF是直角三角形.说