某知名学院对多目标决策分析的研讨

1、图图5-1 5-1 单层次目标准则体系单层次目标准则体系总目标总目标目标目标m目标目标m-1目标目标2目标目标1Hv1w2w1v2w4w3viwkwk-1u2u1ulul-1.usus-1.图图5-2 序列型多层次目标准则体系序列型多层次目标准则体系112211( )( )( )( )( )( )( )( )( )iiiipipikisisiw au au aw au auaw auau a最低一层各准则的效用，经过并合得到 第三层子目标的效用并合得到第二层各目标的并合效用值12( ),( ),( )iiliv av av a12( )( )( )( ),(1,2,)iiiiliHH av a

2、v av aim1()max( ) 5-1ii mHH aH a 12( , )W Wu u2212121( ,)11(1)(1) 5-222dW u uuu 21211(,)1(1) 5-3nniiW u uuun设二维效用函数公式(5-2)可以推广到多维情形， 成本和效益的效用并合应该按距离规则进行，由公式（5-3）知，并合效用函数 221(,)1(1)(1)2cEcEW u uuu （二）代换规则（二）代换规则 二维效用并合的代换规则适合如下情况：二效用对决策主体具有同等重要性，只要其中一个目标的效用取得最大值，无论其它效用取何值，即使取得最低水平，并合效用也达到最高水平，与二效用均达到

3、最高水平一样。 12121212( ,)1 (1)(1) 5-4W u uuuuuu u 代换规则的二维效用并合公式为 121( ,)1(1) 5-5nniiW u uuu 推广到多维情形，n维效用并合的代换规则公式为 121 12212( ,),(1) 5-6W u uuu121( ,) 5-7nniiiW u uuu加法规则n的维并合效用公式为加法规则的二维效用并合公式为121212121212121( ,) 5-8( ,) 5-9( ,) 5-10nnniiW u uu uW u uu unW u uuu uuu乘法法则的二维效用并合公式乘法法则效用并合更一般的公式维效用并合乘法法则的计

4、算公式第二节第二节 多维效用并合方法多维效用并合方法121122( ,) 5-11ln( ,)ln 5 12inniinniiiW u uuuW u uuu更一般的公式也可以表示为对数形式-121 1221 1 22( ,) 5-13W u ucuc ucu c u1 122121212121 1221 1 2211(1)(1) 5-141,10,10,1 niiiWcuc uccWuuu uccWcuc uWcu c unnWcu 当形式因子且时，公式化为代换规则形式当形式因子且时，公式化为代换规则形式当形式因子公式近似于乘法规则形式推广到 维情形，混合规则的 维效用并合公式1+ 5-15各

5、国各国对比对比u9我国人口总目标我国人口总目标HV1V2吃用吃用v1实力实力v2用用w2吃吃w1粮食粮食u1鱼、肉鱼、肉u2空气空气u4水水u5能源能源u6土地土地u3最低总和最低总和生育率生育率u8CNPu7图图53 目标准则体系目标准则体系N（人口)o1u112.664.8图图54 粮食目标准则的效用函数粮食目标准则的效用函数54ou3N1056.7图图55 土地目标准则的效用函数土地目标准则的效用函数1ou4N4.5图图56水目标准则的效用函数水目标准则的效用函数1ou5N11.5图图57 能源目标准则的效用函数能源目标准则的效用函数1u81o37N图图58 目标准则的效用函数目标准则的

6、效用函数1122345267289 wu uwu u uvu uVu u上述四类目标效用并合结果1211212121 21 2345678 95 31111wwvwwvvVvvHVVuuu u uu uu u 1按照层次结构图 ，并合吃 、用吃与用可以用线性互相补偿，宜用加法规则吃用 、实力 可以用线性互相补偿，宜用加法规则最后，我国总人口方案的满意度111212122212/nnnnnnwwwwwwwwwwwwAwwwwww写成矩阵的形式A称为判断矩阵。HG11G12G1n-1G1nA1A2An-1An.最高层最高层中间层中间层最低层最低层G21G22G1k-1G1k层次结构图层次结构图 1

7、1(1,2, )21/(1,2, )3/,( , ,1,2, )123iiijjiijikjkainaaijnaaai j knA、，、，、满足条件的矩阵 称为互反的一致性判断矩阵。表表5-2 5-2 各级标度的含义各级标度的含义max. . 5171nC In递阶层次结构模型如图递阶层次结构模型如图5-115-11 图图5-11 5-11 递阶层次结构模型递阶层次结构模型第三节第三节 层次分析方层次分析方法法 11g 12g 11ng 1ng 2ng nnng1c2csc1a2amaG三、递阶层次结构三、递阶层次结构权重解析过程权重解析过程（一）递阶权重解（一）递阶权重解析公式析公式AHP方

8、法的目的，方法的目的，在于求出各方案对在于求出各方案对总目标总目标G的优先权的优先权重，求解过程从上重，求解过程从上到下，在相邻层次到下，在相邻层次之间逐层进行，故之间逐层进行，故称为递阶权重解析。称为递阶权重解析。首先，讨论相邻两首先，讨论相邻两层次间的权重解析。层次间的权重解析。第第k层子目标关于层子目标关于总目标总目标G的组合优的组合优先权重向量为先权重向量为( )( )( )( )12(,)kkkkkTnW1( )( )(1)1,(1,2,)knkkkiijjkjpin( )( )( )12,aaasPPP( )( )( )( )12(,)aaaasPPPP( )( )( )( )12

9、(,)uaaaTmW( )( )( )( )(2)(1) 5-18aacnWPPPP W最后，计算方案层各方案关于总目标G的优先权重 。这个优先权重记为 于是，AHP方法递阶权重解析过程的计算公式为1111 5-19 5-20 5-21mjjjjmjjjjmjjjmjjjCICIRIRIC ICICRRIR I4.层次总排序及其一致性检验层次总排序及其一致性检验 层次总排序是从上到下逐层进行的。在实际计算中，一般层次总排序是从上到下逐层进行的。在实际计算中，一般按表格形式计算较为简便。按表格形式计算较为简便。层次总排序检验的一致性指标，平均随机一致性指标和一层次总排序检验的一致性指标，平均随机

10、一致性指标和一致性比率指标分别是致性比率指标分别是11njjjw p表表5-6 计算层次计算层次B的总排序权重值的总排序权重值11njjjw p11njjjw p层次A权重层次B（三）（三）AHP方法应用实例方法应用实例 例例5-2 某市中心有一座商场，由于街道狭窄，人员车辆流量过大，经常造成交通堵塞。市政府决定解决这个问题经过有关专 家会商研究，制定出三个可行方案： 1.在商场附近修建一座环形天桥； 2.在商场附近修建地下人行通道； 3.搬迁商场。 改善交通环境改善交通环境通车通车能力能力C1方便方便群众群众C2天桥天桥a1地道地道a2搬迁搬迁a3基建基建费用费用C3交通交通安全安全C4市容

11、市容美观美观C5图图512 层次结构模型层次结构模型解：解：（1）建立层次结构模型；）建立层次结构模型；135351 / 313131 / 51 / 311 / 331 / 313131 / 51 / 31 / 31 / 31 11223344maxmaxmaxmax3, 0.455,0.455,0.091, .00.13.005, 0.648,0.230,0.122, .0.0040.13.079, 0.695,0.229,0.075, .0.0680.13.018, 0.169,0.387,0.443, .0TccTccTccTccwC RwC RwC RwC R55max.0160.13

12、.018, 0.169,0.387,0.443, .0.0160.1TccwC R1230.455 0.455 0.0910.648 0.230 0.122(0.461,0.195,0.091,0.195,0.059) 0.695 0.229 0.0750.169 0.387 0.4430.169 0.387 0.4430.442,0.374,0.185Waaa排序结果：改善交通环境改善交通环境通车通车能力能力C1方便方便群众群众C2天桥天桥a1地道地道a2搬迁搬迁a3基建基建费用费用C3交通交通安全安全C4市容市容美观美观C5图图512 层次结构模型层次结构模型注意注意:( (投入）投入）（

13、产出）产出）（二）（二）C2R 模型及其基本性质模型及其基本性质x11 x12 x1nx21 x22 x2nxm1 xm2 xmnv1 1v2 2vm my11 y12 y1ny21 y22 y2nyp1 yp2 xpnu1 1u2 2up p 1 2 n11,1,2,prrjrjmiijiu yhjnv x对每个决策单元，都定义一个效率评价指标对每个决策单元，都定义一个效率评价指标效率指标效率指标hj表示第表示第j个决策单元多指标投入和多个决策单元多指标投入和多指标产出所取得的经济效率，可以适当选择权指标产出所取得的经济效率，可以适当选择权系数系数u，v，使得，使得hj1。0010111m

14、ax 5-23. .1, (1)0,0prrjrmiijiprrjrmiijiu yhv xu ys tjnv xvu现建立评价第j0个决策单元相对有效的C2R模型模型（5-23）可以表示为矩阵形式1212(,) ,(,)TTjjjmjjjjpjxxxxyyyy记 000max.1,(1)0,0TTTjTju yhv xu yPstjnv xvu（5-24） 有 令 ，则 化为线性规划问题 01/,Ttv xtvtuP00max.0,(1) (5-25)10,0 TpTTjjTVystxyjnx(P) 0101min (5-26) 0,(1)0,0DnjjjnjjjjVxsxysyjnss线性

15、规划P的对偶规划问题(D) 其中，松弛变量 1212(,) ,(,)TmTmssssssss（三）评价系统的（三）评价系统的DEA有效性有效性00,n定义定义5.1 如果线性规划(P)的最优解 满足条件001TpVy则称决策单元j0为弱DEA有效。001TpVy满足条件定义定义5.25.2 如果线性规划(P)的最优解 00, 0j，则称决策单元 为DEA有效。 并且000,000s定理定理5.15.1 线性规划(P)及其对偶规划(D)都有可行解，因而都有最优解，并且最优值1DPVV定理定理5.25.2 关于对偶规划(D)，有：（1）如果(D)的最优值VD=1,则决策单元j0为弱DEA有效；反之

16、亦然； 0j（2）如果(D)的最优值 ，并且每个最优解 都满足条件 ， ，则决策单元j0为DEA有效；反之亦然。 000000012(,) ,Tnss00s定理定理5.3 决策单元的最优效率指标VP与投入指标值xij及产出指标值yij 的量纲选取无关。（四）评价系统有效性的判定（四）评价系统有效性的判定考虑带有非阿基米德无穷小量 的 模型 2C R00max. .0,(1)1,TPTTjjTTTTTyVstxyjnxeeP(5-27) 其中， =（1，1，1），是元素均为1的m维向量， =（1，1，1）是元素均为1的p维向量。（ ）的对偶规划为 TeTeP0101min(). . 0,(1),

17、0,0TTDnjjjnjjjje se sVstxsxysyjn ssD（5-28） 利用带有的模型（ D ），容易判断决策单元DEA的有效性。为此，有以下定理。 定理定理5.45.4 设为非阿基米德无穷小，线性规划( D )的最优解为0 ,s0-,s0+，0 ,有，（1）若 l，则决策单元 为弱DEA有效； 00j（2）若 l，并且 0， 0，则决策单元 为DEA有效。 00j0s0s在实际操作中，只要取足够小就可以了。（五）（五）DEA有效决策单元的构造有效决策单元的构造定义定义5.35.3 设0，s0-,s0+,0是线性规划问题(D)的最优解令 （5-29）00000000,xxsyys

18、称 为决策单元j0对应的(x0 ,y0)在DEA的相对有效面上的“投影”。 00,xy定理定理5.5 设 为决策单元j0对应的(x0,y0)在DEA的相对有效面上的投影。则新决策单元 相对于原来的n个决策单元来说，是DEA有效的。 00,xy00,xy二、二、DEADEA有效性的经济意义有效性的经济意义（一）生产函数和生产可能集（一）生产函数和生产可能集1生产函数在单投入和单产出的情况下，生产函数y=f(x)表示理想的生产状态，即投入量x所能获得的最大产出量y。因此，生产函数曲线上的点(x，y)所对应的决策单元，从生产函数的角度看，是处于技术有效状态。生产函数图形如图5-16，图5-16中，点

19、A，C 处于技术有效状态。 图图5-16 5-16 生产函数生产函数xy2生产可能集生产可能集定义为所有可能的生产活动构成的集合，记作Tx,y。由于(xj,yj)是决策单元j的生产活动，于是有 (xj,yj) T,(i,j=1,2,n)在C2R模型中，生产可能集应该满足下面的四条公理。 即是说，如果x1，x2分别以,(1-)加权和作为投入量，则y1,y2以同样的加权和作为产出量。 1122( ,),(,)x yTxyT 11221212,1,(1),(1)x yxyxxyyT公理公理5.15.1（凸性）（凸性）对于任意，以及任意 ，均有 0,1公理公理5.25.2（锥性）（锥性） 对于任意（x

20、,y) T ，任意数0，均有 (x,y)= ( x, y)即是说，如果以x的倍作为投入量，则产出量y是的同样倍数。 xx yy Tyx),(即是说，在原生产活动中，单方面的增加投入量或者减少产出量，生产活动总是可能的。公理公理5.35.3（无效性）对于任意（无效性）对于任意（x,y) )T ， 1,;2,;xxx yTyyx yT若有,则均有若有则均有公理公理5.45.4（最小性）（最小性）生产可能集T是满足公理14的所有集合的交集。由n个决策单元（ ）的生产活动所描述的生产可能集，满足公理14是唯一确定的。这个生产可能集可以表示为 ,jjxy11( , ), 0,1,2,nnjjjjjjjT

21、x yxxyyjn（5-30） （二）（二）DEA有效性的经济意义有效性的经济意义用线性规划模型（ ）评价决策单元 的DEA有效性，模型 D0jD0101min(). . 0,(1),0,0TTDnjjjnjjjje se sVs txsxysyjnss为了清楚起见，考虑不含松弛变量的线性规划模型0101m in. . 0, (1)DnjjjnjjjjVs txxDyyjn （5-31） 由于(x0,y0)T ，即（x0,y0）满足条件0011,nnjjjjjjxxyy线性规划模型(D)表示，在生产可能集内，当产出y0保持不变的情况下，尽量将投入量x0按同一比例减少。如果投入量x0不能按同一比

22、例减少，即模型（ D）最优值V D= 0=1在单投入和单产出的情况下，决策单元j0同时技术有效和规模有效。如果投入量x0能按同一比例减少，模型（ D）最优值V D=01，决策单元j0不是技术有效和规模有效。 0j(2)0=1，但至少有某个si0-0,(i1，2，m),或者至少有某个sr0-0,(r1，2，p)。决策单元j0不是DEA有效，其经济意义是，决策单元j0不是技术效率有效，也不是规模有效。设模型（D）的最优解为0，0，s0-,s0+ 。（1）0=1,且s0-=0,s0+ =0,决策单元j0不是DEA有效，其经济意义是，决策单元j0不是技术有效和规模有效。(3)01，决策单元j0不是DEA有效，其经济意义是，决策单元j0 的生产活动（x0,y0）既不是技术效率最佳，也不是规模收益最佳。（2）若 ，则决策单元 规模收益递增；00111njj