苏教版数学选修2-1同步练习：3.13.1.3空间向量基本定理巩固提升

1、应用案，西豆IA基础达标|1 .已知0, b, c是空间一组基底，p=a+b, q=ab, 一定可以与向量p, 0构成空 间另一组基底的是()A. aB. bC. cD.5-2q解析：选C.因为。，b,。不共面，所以p, q, c不共面.若存在x, y£R,使c=w+yq=(x+.vR + (x-.V)力成立，则。，b,。共面，这与已知， b, c是空间一组基底矛盾，故p, q, c不共面.2 .设x=a+b, y=5+c, z=c+。，且。，b, c是空间的一个基底，给出下列向量组： “，力，x,® c, z,x, y,。+力+c),其中可以作为空间一个基底的向量组有()

2、A1个B. 2个C3个D. 0个解析：选B.因为*=。+力，所以向量x,。，b共面.如图，令 a=AB, b=AA, c=AD,则 x=A8i, y=AOi, z=ACtab+c=AC.可知向量b, c, z和x，J，。+8+c不共面，故选B.3 .如图，梯形ABC。中，AB/CD. A8=2CD,点。为空间内任意一点，设晶=a, 0B=b, OC=c,则向量0。可用a, b.A. ab+2cB. a-b-lcD./。-5力+c解析：选口.5&=沅+诙=沆+1函= dC(OA OB)=a-b+c. 乙乙 乙4 .已知空间的一个基底，b, c, m=ab-c, n=xa+yb+c,若i与

3、共线，则 x=, y=解析：因为与共线，所以存在实数2,使川=加9即。一力+c=Axa+心+，1 AXt于是有, 一1= .1 =2,|x=l,解得 ，口=一1.答案：1 一 15 .在空间中，把AABC平移到AEC,连结对应顶点及3C,设A? =a, AB=b. AC =c, M是3C'的中点，则而=.解析：取夕C中点记为N,连结MN, A/ N,则疝=A第+A 丁N+版=+；«办 +42 )+*B=+/+c)-=；3+8+c).答案：(a+b+c)6 .从空间一点户引出三条射线用，PB, PC,在用，PB, PC上分别取而=，丽= b, PS=c,点G在尸。上，且PG=2

4、G。，为RS的中点，则用基底。，力，c)表示向量说, 得丽=.解析：GH=GQ+QH=GQ+QP+PH > I > ->= GQ+。尸+PR+PS)21答案：一甲+（+c）7 .若5,力，c是空间一个基底，试判断（“+力，b+c, c+。能否作为该空间的一个基 底.解：假设。+力，b+c, c+。共面，则存在实数入使得。+力=1S+c）+（c+。），所以。+力=劝+4 + （九+）。.因为。，b, c为基底，所以。，b, c不共面.所以,此方程组无解.、0=2+4所以。+力，b+c, c+。不共面，所以。+力，b+c, c+。可以作为空间的一个基底.8 .已知阴，平面A8CO

5、,四边形A8CD为正方形，G为PDC的重心，AB=i. AD=j, AP=k,试用基底i, * A表示两、BG. AG.解：如图所示，连结PG,并延长交C。于E,则上为C。中点历=两=溺（正+而） JJ乙112 2p=f+/_土+/一片）=m+歹一.BG=BP+PG=%i+与-%=一争+争+*.A5=施+前=i+（一|i+/+；84+抖*.IB能力提升1.如图所示，M、N分别是四而体O-ABC的棱QA、BC的中点，OB.反表示两，则丽=.B解析：丽=赤+/而=；苏+；血2MQ=QN,用向量万1、=JoA+/ONOM)=；0A+!( ONQA)乙J乙J乙=拯+我|（励+dt）=5+；油+；元JJ

6、 4JVI答案：OA+OB+OC3002,已知ei，。2, 63为空间的一个基底,若。=61+02+03, b=e+e2e39 c=ee2+e d=ei+2c2+3c3,且1=&。+£ 力 + Y c,则 a、£、 分别为.解析：由题意，a.dc为三个不共面的向量，所以由空间向量定理可知必然存在惟一 的有序实数组（a，B，y）,使d= a a+£b+yc.所 以 d=a（ei+&+03）+£（。1 +。2-C3）+y（ci -02+03）= (a+£+/)ei+(a+£7)62+(。一£+了)。3. 又因为1

7、=白+2£2 + 3。3，g+£+>= 1 a +£-/=2=><.。一£十尸35=29£ = T，1 y=”.答案：I、-1、-I3.如图所示，在平行六而体ABCD N B' CfDf 中，AB=a, AD=b9 AAf =c,P是C/Y的中点，M是CD的中点，N是C。的中点,点。在 GA'上，且 C。：。4=4 ： 1,用基底a, b, c表示以下向量:(1)AP； (2)病；(3W： (4)A0.解：连结AC, A。'(图略)./=；(/+A彳)=AB+AD+AA,)=；(4+8+c)(2)而=；(公+彷 )=AB+2AD+AAf )=；m+2/>+c).(3)俞=；(启+历)=夕（诵+Ab+A第）+（崩+病）="初+2Al）+24第）=%+力+c. 乙4-> -* -* 4 -*-*（4）AQ=AC+CQ=AC+q（AA' -AC）J= |aC+A4*> =£茄+上历+京不1 ,1,14=于+?+干4.（选做您）如图所示，平行六而体A8CQ-A山CQi中，E,尸分别在5山和OQ上，且BE=q