随机过程2(2.1)学习教案

1、会计学1随机随机(su j)过程过程2(2.1)第一页，共44页。l 布朗运动解释为随机游动布朗运动解释为随机游动(yu dn)的的极限极限l W (t)表示(biosh)质点在时刻t的位置，则W (t) 也表示(biosh)质点直到t所作的位移，因此在时间(s, t)内，它所做的位移是W (t)-W (s),由于在时间(s, t)内质点受到周围分子的大量碰撞，每次碰撞都产生一个小的位移，故W (t)-W (s)是大量小位移的和，由中心极限定理它服从正态分布l 介质处于平衡状态，因此质点在一小区间上位移的统计规律只与区间长度有关，而与开始观察的时刻(shk)无关l由于分子运动的由于分子运动的独

2、立性和无规则性独立性和无规则性，认为质点在不，认为质点在不同时间内受到的碰撞是独立的，故所产生的位移也同时间内受到的碰撞是独立的，故所产生的位移也是独立的是独立的第2页/共44页第二页，共44页。（Brown motion）称实称实S.P.W(t),t0是是Wiener过程过程(guchng),如果如果(1)(0)WxR-1211001( )-(),(3)2, 0= ( )-( ),( )-( ) ,nnnW tW tW tntW tW tttW t 是相互独立是相互独立(dl)的随机变量的随机变量(2)0,( )( ) (0,()W tWssNtst (0)0W的也称为标准的也称为标准(bi

3、ozhn)运动运动（）随机过程具有连续的样本轨道（）随机过程具有连续的样本轨道二二. 布朗运动的定义布朗运动的定义第3页/共44页第三页，共44页。Wiener过程过程(guchng)称实称实S.P.W(t),t0是参数是参数(cnsh)为为2的的Wiener过程过程,如果如果(1)(0)0W(2)( ),0W t t 是平稳的独立增量是平稳的独立增量(zn lin)过程过程2(3)0,( )( ) (0,()st W tW sNts 第4页/共44页第四页，共44页。 设一粒子在直线上随机游动(yu dn)，即粒子每隔t 时间，等概率地向左或向右移动x的距离。以X(t)表示时刻t粒子的位置，

4、则1( )()ttX tx XX 其中其中(qzhng)1,1,iX如果步长为如果步长为x的第的第i步向右步向右如果步长为如果步长为x的第的第i步向左步向左且且Xi相互独立。相互独立。布朗运动定义的来源布朗运动定义的来源第5页/共44页第五页，共44页。1112iiP XP X 因为因为(yn wi)0,()1iiEXVar X所以所以(suy)2( )0,( )() E X tVar X txtt 当当 时，应有时，应有0t 0 x 令令xt 则当则当 时，有时，有0t 2( )0,( )E X tVar X tt注：若注：若 当当 时时，()xt 1 2( )0,Var X t当当 时时，

5、1 2( ).Var X t 一维一维Brown运动可看作质点在直线上作简单运动可看作质点在直线上作简单(jindn)随随机游动的极限机游动的极限.第6页/共44页第六页，共44页。三三 Brown运动的数字运动的数字(shz)特征特征定理定理(dngl)设设 W(t),t0是参数是参数(cnsh)为为2的的Wiener过程过程.则则2(1)0,( ) (0,)tW tNt 22(2)( )0,( ),0,( , )( , )min( , ), , ,0WWWWmtDtttRs tCs ts t s t证明证明(1) 由定义由定义,显然成立显然成立.(2) 由由(1)易知有易知有0,)(, 0

6、)(2tttDtmWW第7页/共44页第七页，共44页。对对s0, t 0,不妨不妨(bfng)设设 st,则则)()(E),(tWsWtsRW),min()(E()()(E0)(E)()()(0()(E)()()()(0()(E22222tsssWsWDsWsWsWtWWsWsWsWtWWsW独立性),min(t)(),(),(2tsmsmtsRtsCWWWW第8页/共44页第八页，共44页。例例1 SBM是正态过程是正态过程(guchng)证明证明(zhngmng)设设 W(t),t0是参数为是参数为1的的Wiener过程过程(guchng). 则对任意的则对任意的n1,以及任意的以及任意

7、的nttt210W(t1), W(t2), , W(tn)是是n维随机变量维随机变量由由Wiener过程的定义知过程的定义知)()(,),()(),(1121nntWtWtWtWtW相互独立相互独立11( )()(0 ()kkkkW tW tNtt服从，分布所以所以）（)()(,),()(),(1121nntWtWtWtWtW是是n维正态随机变量维正态随机变量.第9页/共44页第九页，共44页。又由于又由于(yuy)()(,),()(),(1121nntWtWtWtWtW)(,),(),(21ntWtWtW100100110111所以所以(suy)(,),(),(21ntWtWtW是是n维正态

8、变量维正态变量.所以所以(suy)W(t),t0是正态过程是正态过程.第10页/共44页第十页，共44页。 1,nW tW t的联合密度的联合密度(md)函数为函数为1211121211,( )()()nnntttttnnf x xxfxfxxfxx其中其中(qzhng) 2212xttfxet这是因为在这是因为在W(t1)=x1的条件下，的条件下，W(t2)的条件密的条件密度度(md)函数为函数为 221212121()2()21212112 ()xxttW tW tttfx xettfxx由此可以看出由此可以看出 服从服从n维正态分布维正态分布。 1,nW tW t例例2: 求布朗运动求布

9、朗运动W(t)的联合概率密度的联合概率密度解：设解：设W(t)是标准布朗运动，对任意的是标准布朗运动，对任意的t1t2tn，有，有第11页/共44页第十一页，共44页。22121221121211121211121212()21( )( )( )( )( )( )( )( )( )12 ()yxxttP W tx W txP W txxx W txP W tW txx W txP W tW txxedyttW(t2)-W(t1)与W(t1)独立(dl)即即112121( )( )( ,)W txW tN x tt 210021021E W tW txxVar W tW txtt所以所以(suy

10、) 2112121E W tW tW tVar W tW ttt第12页/共44页第十二页，共44页。12132111121321121112( )121321()( )()(),( )11()(),( )( )121321()( )()()()()121,()()(,)(,)()()()()()()(nnnnnnnW tW tW tW tW tW tnnW tW tW tW tnnW tW tW tW tW tW ttttttnf x xxfxfx xfx x xfx xxfxfx xfx xfx xfxfxxfx1)nx第13页/共44页第十三页，共44页。例例3： 写出写出SBM的的n维

11、特征函数维特征函数解：不是解：不是(b shi)一般一般性性 ，假设，假设0120= 0和固和固定的时间指标定的时间指标t0,有有W (at)=a1/2W(t)3.时间可逆性时间可逆性 B (t)=W (T)-W (T-t)则则B=B (t), 0tT也是一个标准也是一个标准Brown运动运动第15页/共44页第十五页，共44页。对称性的证明对称性的证明(zhngmng)：显然显然(xinrn) -W(0)=0( )( ) (0,)0()W tWtsNtss 1002111-( )-( ),( )-( ), ( )2, 0= 0，布朗运动在t0+t时刻的位置高于或低于初始位置的概率相等。这种性

12、质称为布朗运动的对称性。布朗运动布朗运动(b ln yn dn)W(t)的对称性的对称性在在W(t0)=x0的条件的条件(tiojin)下，下，W(t0+t)的条件的条件(tiojin)密度函数为密度函数为第17页/共44页第十七页，共44页。() (0,)W atNat12=( )X a W t令令221-2-22-11()=22yzxaxattP W atxedyedzatt21-212-2-1()= ( )=2yaxtP XxP a W txedytyaz自相似性证明自相似性证明(zhngmng)要证要证X服从服从(fcng)正态分布正态分布第18页/共44页第十八页，共44页。时间时间

13、(shjin)可逆性证明可逆性证明： 显然显然(xinrn) B(0)=W(T)-W(T-0)=0( )( )( )()( )() (0,()0), B tB sW TW TtW TW TsNtsts1021-101( )- ( )2, 0, ( )- (= 0,t对于固定的时刻对于固定的时刻t0,定义增量定义增量( )=( +)-( ),W tW tt W t那么对于任意固定的那么对于任意固定的0,x和时刻和时刻0,t有有+0( )( lim )=1tW tPxt 第26页/共44页第二十六页，共44页。第27页/共44页第二十七页，共44页。+00( )( )( lim )= lim( )

14、ttW tW tPxPxtt +0= lim( ) )tPW tx t +2+02= limexp(-)22x ttydytt +2+02= limexp(-)2xttzdz 2+02=exp(-)=12zdz第28页/共44页第二十八页，共44页。 例6 设W(t)是布朗运动(b ln yn dn)，求W(1)+ W(2)+W(3)+ W(4)的分布。 解 令(1),(2),(3),(4)TXWWWW则则X是多元是多元(du yun)正态分布正态分布,具有零均值具有零均值,协方协方差矩阵为差矩阵为1111122212331234 第29页/共44页第二十九页，共44页。令令(1,1,1,1)

15、,A 则则(1)(2)(3)(4)(0,)TWWWWAXNA A30,TA A而而所以所以(suy),(0,30)AXN第30页/共44页第三十页，共44页。补充补充(bchng)：布朗运动的首达时：布朗运动的首达时与最大值与最大值0( ),0inf ,0,( ),.0,( )max( )0( )( )au taaW t tTt tW taatM tW uaTtM taP TtP M ta 设为标准的布朗运动.定义：则称其为首次击中 的时间定义：对表示0,t上的最大值.当时，显然存在下述事件的等价关系因此，有第31页/共44页第三十一页，共44页。最大值与首中时的分布最大值与首中时的分布(fn

16、b)特性特性222( )0,)3220,( )2( )( )( ),02aaatM tatTaM tTfaeIataftett定理：对任意的和 的分布函数分别为关键关键(gunjin)的结论的结论第32页/共44页第三十二页，共44页。一、首中时及其分布一、首中时及其分布设设B(t),t0为标准为标准(biozhn)布朗运动，布朗运动，B(0)=0，令令Ta=inft;t0,B(t)=a，则，则Ta表示首次击中表示首次击中a的时刻的时刻（首中时）。（首中时）。下面求下面求Ta的分布函数的分布函数P(Tat).由全概公式有由全概公式有 aaaaP B taP B taTt P TtP B taT

17、t P Tt三三. 首中时、最大值变量首中时、最大值变量(binling)及反正弦律及反正弦律第33页/共44页第三十三页，共44页。显然显然(xinrn) 0aP B ta Tt又由布朗运动又由布朗运动(b ln yn dn)的对称性知，在的对称性知，在Tat的条件下，的条件下，即即B(Ta) =a时，时，B(t) a与与B(t) a是等可能的，是等可能的，即即 122aaaP B ta TtP B ta TtP TtP B ta于是于是(ysh)当当a 0时，有时，有第34页/共44页第三十四页，共44页。 2222232222222(1(),020,0aaaTauxtaatatTTFtP

18、 TtP B taeduedxtatatetftFtt推论推论(tuln)1：P(Ta)=1 （布朗运动的常返性）（布朗运动的常返性）2222022limlim122uuaaatttP TP Tteduedu 第35页/共44页第三十五页，共44页。推论推论(tuln)2：ETa=+ 布朗运动的零常返性布朗运动的零常返性22222220002002220212201221202222212212212autaaauuuuETP Tt dtedudtdteduaeduuaeduua eduu 第36页/共44页第三十六页，共44页。推论推论3：由布朗运动的对称性，有：由布朗运动的对称性，有T-a

19、与与Ta有相同有相同(xin tn)的的分布，即分布，即 P(T-at)= P(Tat). 所以，对任意的所以，对任意的a有有 222322222(1(),020,0aaaxaTatatTTFtP TtedxatatetftFtt第37页/共44页第三十七页，共44页。 由推论由推论1和推论和推论2知，布朗运动以概率知，布朗运动以概率1迟早会击中迟早会击中a，但它的平均时间却是无穷的。并且布朗运动从任何一点出发，但它的平均时间却是无穷的。并且布朗运动从任何一点出发(chf)击中击中a的概率都是的概率都是1。性质。性质P(Ta)=1称为布朗运动的常返性。称为布朗运动的常返性。二、最大值及其分布二

20、、最大值及其分布(fnb) 0maxs tM tB s 称为称为(chn wi)布朗运动在布朗运动在0,t中的最大值。中的最大值。 taMaTt利用利用可得可得2222(1()2yatataP MaP Ttedyt2222( ),(0), ()2txtMttfxexE Mt第38页/共44页第三十八页，共44页。类似类似(li s)地可得到布朗运动在地可得到布朗运动在0,t中的最中的最小值小值 0mints tmB s 的分布的分布(fnb)。三、反正弦律三、反正弦律 对任意的对任意的t1t2，记事件，记事件0(t1,t2)=至少有一个至少有一个t (t1,t2), 使得使得B(t)=0 =在在(t1,t2)内，内， B(t)=0至少有一个零点至少有一个零点(ln din)，由全概公式有，由全概公式有 21212121110,0,2xtPt tPt tB txedxt第39页/共44页第三十九页，共44页。由布朗运动由布朗运动(b ln yn dn)的连续性、对称的连续性、对称性及马尔可夫性知性及马尔可夫性知 121210,xPt tB