二元函数极限学习教案

1、会计学1二元函数二元函数(hnsh)极限极限第一页，共28页。定义定义(dngy)1设设f为定义为定义(dngy)在在2DR 上的二元函数上的二元函数(hnsh),000(,)P xy为为D的聚点的聚点,A为一实数为一实数.若若00,使当使当00( , )(; )P x yUPD 时时,恒有恒有|( )| |( , )|,f PAf x yA 则称则称f在在D上当上当0PP时时,以以A为极限为极限,记作记作0lim( ),PPp Df PA0lim( ),PPf PA或00( , )(,)lim( , ).x yxyf x yA或1) 要求要求P0为为D的聚点的聚点,保证能让保证能让0;PP2

2、) P属于属于P0的邻域与的邻域与D的交的交,保证保证P始终在始终在f的定义域中的定义域中;3) 二重极限是相对一定的二重极限是相对一定的D而言的而言的(意即相对不同的意即相对不同的D其可能不同其可能不同);4) 极限定义的方邻域形式和圆邻域形式极限定义的方邻域形式和圆邻域形式(在具体证题时常用这两种形式在具体证题时常用这两种形式).定义定义1-100,使当使当0000|,|,( , ),( , )(,)xxyyx yDx yxy时时,恒有恒有|( , )|.f x yA 第1页/共27页第二页，共28页。4) 极限定义的方邻域极限定义的方邻域(ln y)形式和圆邻域形式和圆邻域(ln y)形

3、式形式(在具体证题时常用这两种形式在具体证题时常用这两种形式).定义定义(dngy)1-200,使当使当0000|,|,( , ),( , )(,)xxyyx yDx yxy时时,恒有恒有|( , )|.f x yA 定义定义(dngy)1-300,使当使当222000()()xxyy 或或22000()()xxyy 时时,恒有恒有|( , )|.f x yA 第2页/共27页第三页，共28页。2. 用定义用定义(dngy)证明极限证明极限基本思路基本思路:根据根据(gnj) 找找, 使当使当0000|-|,|-|,( , ),( , )(,),x xyyx yDx yxy或或222000()

4、()xxyy 时时,有有|( , )|.f x yA 找找 的方法的方法(fngf):|( , )|f x yA 逐次放大出逐次放大出0|xx 与与0|yy 的线性组合的线性组合或含因子或含因子2200()()xxyy的式子的式子例例1依定义证明：依定义证明：22( , )(2,1)lim()7.x yxxyy分析：分析：22|7|xxyy逐次放大出逐次放大出|x-2|与|y-1 的线性组合22|7|xxyy=22|(4)3|xxyy=22|(4)(1)2|xyxy=22|(4)(1)(2 )(22)|xyxyyy=|(2)(2)(1)(1)(2)2(1)|xxyyy xy第3页/共27页第四

5、页，共28页。例例1依定义依定义(dngy)证明：证明：22( , )(2,1)lim()7.x yxxyy22|7|xxyy=22|(4)3|xxyy=22|(4)(1)2|xyxy=22|(4)(1)(2 )(22)|xyxyyy=|(2)(2)(1)(1)(2)2(1)|xxyyy xy|2|2|1|1|2| 2|1|xxyyyxy问题问题(wnt)转化为：如何将转化为：如何将|2|,|1|,|xyy放大放大(fngd)为常数？为常数？可以对可以对|x-2|与|y-1进行常数限制，从而可以把进行常数限制，从而可以把|2|,|1|,|xyy放大为常数放大为常数令|x-2| 113x35x+

6、2|2| 5x| 1令|y-120y|1| 3,| 2yy所以，当所以，当|x-2| 1,| 1|y-1时，时，22|7|xxyy5|2| 3|1| 2|2| 2|1|xyxy7(|2|1|)xy只要只要,14|x-2|14|y-122|7|xxyymin1,|,( , )(2,14x y0,取,使当|x-2|0,取,使当0 x +y 时0,( ),f PM,0则称f在D上当PP时 存在非正常极限,记作0lim( ),PPp Df P 0lim( ),PPf P 或00( , )(,)lim( , ).x yxyf x y 或0(, ),P0U0(, ),PD0使当P(x,y) U时 恒有其它

7、极限其它极限(jxin)形式形式:00( , )(,)(1) lim( , )x yxyf x y 00( , )(,)lim( , )x yxyf x y 00( , )(,)lim( , ).x yxyf x y 0( , )(,)(2) lim( , )x yxf x yA( , )(,)lim( , )x yf x yA 0( , )(,)lim( , )x yxf x yA0( , )(,)(3) lim( , )x yxf x y ( , )(,)lim( , )x yf x y 0( , )(,)lim( , )x yxf x y 第8页/共27页第九页，共28页。例例5设设22

8、1( , ),23f x yxy证明证明(zhngmng)( , )(0,0)lim( , )x yf x y 证证:要证要证:M若0,( , )f x yM0(, ),P0U0(, ),PD0使当P(x,y) U时 恒有把把0(, ),P0U0(, )PD0使当P(x,y) U时具体化具体化:0|,( , )(,x yx0000,使当|x-x |0,使当0(x-x ) +(y-y )0,则0,0(, ),PD0使当P(x,y) U时 恒有( , )0f x y （3） 极限存在的局部有界性。极限存在的局部有界性。00( , )(,)lim( , ).x yxyf x yA若,M则0,0(,

9、),PD0使当P(x,y) U时 恒有|( , )|f x yM（4） 极限的运算性质。极限的运算性质。0000( , )(,)( , )(,)lim( , ),lim( , ),x yxyx yxyf x yg x y若都存在 则00( , )(,)lim ( , )( , )x yxyf x yg x y0000( , )(,)( , )(,)lim( , )lim( , )x yxyx yxyf x yg x y00( , )(,)lim ( , )( , )x yxyf x yg x y0000( , )(,)( , )(,)lim( , )lim( , )x yxyx yxyf x

10、yg x y00( , )(,)lim( , )0,x yxyg x y当时00( , )(,)( , )lim( , )x yxyf x yg x y0000( , )(,)( , )(,)lim( , )lim( , )x yxyx yxyf x yg x y第10页/共27页第十一页，共28页。（5） 两边两边(lingbin)夹法则夹法则若0,0(, ),PD0使当P(x,y) U时 恒有( , )( , )( , )g x yf x yh x y0000( , )(,)( , )(,)lim( , )lim( , )x yxyx yxyg x yh x yA00( , )(,)lim

11、( , ).x yxyf x yA则第11页/共27页第十二页，共28页。6. 二重二重(r zhn)极限的计算极限的计算(1) 利用极限利用极限(jxin)定义证明极限定义证明极限(jxin)例例1证明证明(zhngmng):22( , )(0,0)lim0|x yxyxy证明证明:因为因为222|),xyxy(所以所以22|xyxy故故对0,要使要使22220,|xyxyxy只要取只要取 = ,于是当于是当2220(0)(0)xy即即220(0)(0)xy 时便有便有220,|xyxy故故22( , )(0,0)lim0|x yxyxy第12页/共27页第十三页，共28页。(2) 利用利用

12、(lyng)极限运算的运算法则极限运算的运算法则例例22( , )(1,0)ln()limyx yxexy计算解解:因为因为(yn wi)( , )(1,0)lim1,x yx( , )(1,0)lim0,x yy( , )(1,0)lim1,yx ye所以所以(suy)2( , )(1,0)lim()10,x yxy ( , )(1,0)lim()2,yx yxe故故2( , )(1,0)ln()limyx yxexy( , )(1,0)2( , )(1,0)limln()lim()yx yx yxexyln2ln21(3) 利用极坐标变换求极限利用极坐标变换求极限例例33322( , )(

13、0,0)limx yxyxy计算解解:令令cos ,xsin ,y则则3322( , )(0,0)limx yxyxy33320(cossin)lim330lim(cossin)=0第13页/共27页第十四页，共28页。(4) 利用二个重要利用二个重要(zhngyo)极限极限0sinlim1,xxx1lim 1xxex求极限求极限(jxin).10(lim 1)xxxe例例4求极限求极限(jxin)3322( , )(0,0)sin()(1) lim;x yxyxy2( , )(0,0)1(2) lim1xx yx yx解解:(1)因为因为3322( , )(0,0)sin()limx yxy

14、xy33333322( , )(0,0)sin()limx yxyxyxyxy而而3333( , )(0,0)sin()lim1x yxyxy3322( , )(,0)lim0 x yxyxy 所以所以3322( , )(0,0)sin()limx yxyxy33333322( , )(0,0)sin()limx yxyxyxyxy33333322( , )(0,0)( , )(0,0)sin()limlimx yx yxyxyxyxy=0第14页/共27页第十五页，共28页。(4) 利用利用(lyng)二个重要极限二个重要极限0sinlim1,xxx1lim 1xxex求极限求极限(jxin

15、).10(lim 1)xxxe例例4求极限求极限(jxin)3322( , )(0,0)sin()(1) lim;x yxyxy2( , )(0,0)1(2) lim1xx yx yx2( , )(,0)1(2) lim1xx yx yx ( , )(,0)1lim1xxx yx yx 1ee(5) 利用两边夹法则利用两边夹法则例例5求极限求极限22( , )(0,0)limln()x yxyxy解解:220 |ln()|xyxy2222|ln()|2xyxy2222 ln()2xyxy(不妨设不妨设221)xy令令22xyr故故2222( , )(0,0)lim ln()2x yxyxy0l

16、im( ln )2rrr=0由两边夹法则由两边夹法则, 得得22( , )(0,0)limln()x yxyxy=0第15页/共27页第十六页，共28页。二、累次二、累次(lic)极限极限问题问题(wnt):1. 00lim lim( , )yyxxf x yL 的定义的定义(dngy)中中,xyEE是实数集还是平面点集是实数集还是平面点集?xyEE 为何意为何意?2. 00lim lim( , )yyxxf x yL 对对0 x与与0y有何要求有何要求?是否要求是否要求( , )f x y在在00(,)xy有定义有定义?3. 00lim lim( , )yyxxf x y的定义中的定义中,0

17、lim( , )xxf x y中的中的y是否可取是否可取0?y4. 能否用累次极限求二重极限能否用累次极限求二重极限?5. 两个累次极限存在且相等两个累次极限存在且相等,是否二重极限就一定存在是否二重极限就一定存在?6. 二重极限存在二重极限存在,是否累次极限就一定存在是否累次极限就一定存在?7. 两个累次极限存在且不等两个累次极限存在且不等,是否二重极限不存在是否二重极限不存在?8. 一个累次极限存在另一个累次极限不存在一个累次极限存在另一个累次极限不存在,是否二重极限不存在是否二重极限不存在?第16页/共27页第十七页，共28页。二、累次二、累次(lic)极限极限称称00( , )(,)l

18、im( , )x yxyf x y为函数为函数(hnsh)( , )f x y在在00(,)xy的二重的二重(r zhn)极限极限.1. 累次极限累次极限定义定义3设设0,xyEER x 是是xE的聚点的聚点,0y是是yE的聚点的聚点,( , )f x y在在xyDEE上有定义上有定义.若对每个若对每个0,yyEyy极限极限0lim( , )xxxx Ef x y 存在存在,设设0( )lim( , )xxxx Eyf x y 若极限若极限0lim ( ),yyyy EyL 则称则称L为为( , )f x y先对先对x后对后对y的累次极限的累次极限,记作记作00lim lim( , )yxyy

19、xxy Ex Ef x yL 或或00lim lim( , )yyxxf x yL 类似可定义类似可定义00lim lim( , ).xxyyf x y第17页/共27页第十八页，共28页。例例 求下次函数在求下次函数在(0,0)的累次的累次(lic)极限极限:221 ( )( , );xyf x yxy 222( )( , ).xyxyf x yxy 解解(1)22200000000limlimlimlim,xyxxxyxxyx 22200000000limlimlimlim.yxyyxyyxyy (两个累次两个累次(lic)极限存在且相等）极限存在且相等）二重二重(r zhn)极限极限22

20、0 0( , )( , )limx yxyxy 存在吗存在吗?(2)220000011limlim( , )limlimlim()yxyxyxyxyf x yyxy 220000011limlim( , )limlimlim()xyxyxxyxyf x yxxy 两个累次极限存在但不相等两个累次极限存在但不相等二重极限二重极限220 0( , )( , )limx yxyxyxy 存在吗存在吗?第18页/共27页第十九页，共28页。2. 累次极限累次极限(jxin)与重极限与重极限(jxin)没有必然的联系没有必然的联系例例622200000000limlimlimlim,xyxxxyxxyx

21、 22200000000limlimlimlim.yxyyxyyxyy (两个累次两个累次(lic)极限存在且相等）极限存在且相等）但二重但二重(r zhn)极限极限220 0( , )( , )limx yxyxy 不存在不存在!例例7220000011limlim( , )limlimlim()yxyxyxyxyf x yyxy 220000011limlim( , )limlimlim()xyxyxxyxyf x yxxy 两个累次极限存在但不相等两个累次极限存在但不相等同时二重极限同时二重极限220 0( , )( , )limx yxyxyxy 不存在不存在!第19页/共27页第二十

22、页，共28页。例例7220000011limlim( , )limlimlim()yxyxyxyxyf x yyxy 220000011limlim( , )limlimlim()xyxyxxyxyf x yxxy 两个累次极限两个累次极限(jxin)存在但不存在但不相等相等同时同时(tngsh)二重极限二重极限220 0( , )( , )limx yxyxyxy 不存在不存在(cnzi)!事实上事实上,沿着直线沿着直线 y=kx的极限的极限220 00 0( , )( , )( , )( , )lim( , )limx yx yy kxy kxxyxyf x yxy 201111limxk

23、xk xkkk 所以所以220 0( , )( , )limx yxyxyxy 不存在不存在.第20页/共27页第二十一页，共28页。例例8设设11( , )sinsin.f x yxyyx(1)000011limlim( , )limlim( sinsin)yxyxf x yxyyx是否是否(sh fu)存在存在?(2)000011limlim( , )limlim( sinsin)xyxyf x yxyyx是否是否(sh fu)存在存在?(3)0 00 011( , )( , )( , )( , )lim( , )lim( sinsin)x yx yf x yxyyx是否是否(sh fu)

24、存在存在?解解(1) 不存在不存在.(2) 不存在不存在.(3)0 00 0110( , )( , )( , )( , )lim( , )lim( sinsin).x yx yf x yxyyx第21页/共27页第二十二页，共28页。3. 当二重极限当二重极限(jxin)与累次极限与累次极限(jxin)都存在时都存在时定理定理(dngl)16.6若若( , )f x y在点在点00(,)xy二重二重(r zhn)极限与累次极限极限与累次极限00( , )(,)lim( , ),x yxyf x y00lim lim( , )xxyyf x y都存在都存在, 则则00( , )(,)lim( ,

25、 )x yxyf x y00lim lim( , )xxyyf x y 若二重极限和累次极限都存在若二重极限和累次极限都存在, , 则它们必相等则它们必相等. .证证:设设00( , )(,)lim( , ),x yxyf x yA 则则0, 0, 0( , )(; ),P x yP 0U有有|( , )|f x yA (2)由题设由题设, 可假设对任一满足不等式可假设对任一满足不等式00 |xx(3)的的x, 有有0lim( , )( )yyf x yx(4)对对(2)式式, 令令0,yy得得| ( )|xA结合结合(3)式式, 得得0lim ( ),xxxA即即00( , )(,)lim(

26、 , )x yxyf x y00lim lim( , )xxyyf x y=A第22页/共27页第二十三页，共28页。推论推论(tuln)1若若( , )f x y在点在点00(,)xy二重极限二重极限(jxin)与累次极限与累次极限(jxin)00( , )(,)lim( , ),x yxyf x y00lim lim( , ),xxyyf x y都存在都存在(cnzi), 则三者相等则三者相等.00lim lim( , ),yyxxf x y推论推论2若累次极限若累次极限00lim lim( , ),xxyyf x y00lim lim( , )yyxxf x y存在但不相等存在但不相等,

27、则二重极限则二重极限00( , )(,)lim( , )x yxyf x y不存在不存在.(常用来证明极限不存在常用来证明极限不存在)第23页/共27页第二十四页，共28页。例例9讨论讨论(toln)下列函数在点下列函数在点(0,0)的二重极限与累次极限的二重极限与累次极限.2sin()(1) ( , );xyf x yxy0, 0(2) ( , );1, 0 xf x yx当时当时2222, (3) ( , );(), xyxf x yxyx当 为有理数时当 为无理数时2222, , )(4) ( , );(), , )xyx yf x yxyx y当(为有理点时当(为无理点时解解:(1)20000sin()limlim ( , )limlimyxyxxyf x yxy0sinlim1,yyy20000sin()limlim ( , )limlimxyxyxyf x yxy20sinlimxxx220sinlim1 00 xxxx 0000limlim ( , )limlim ( , )yxxyf x yf x y所以所以(suy)( , )(0,0)lim( , )x yf x y不存在不存在(cnzi).第24页/共27页第二十五页，共28页。(2)00limli