（整理版）第二节基本初等函数I

1、第二节第二节 根本初等函数根本初等函数 i i第一局部第一局部 三年高考荟萃三年高考荟萃高考题高考题一、选择题一、选择题1.1.全国卷全国卷 2 2 理理 2.函数1ln(1)(1)2xyx的反函数是（a）211(0)xyex b211(0)xyexc211(r)xyex d211(r)xyex答案 d【解析】由原函数解得，即，又；在反函数中，应选 d.2.2.陕西文陕西文7.以下四类函数中，个有性质“对任意的x0，y0，函数f(x)满足fxyfxfy的是a幂函数b对数函数c指数函数d余弦函数答案 c【解析】此题考查幂的运算性质 )()()(yxfaaayfxfyxyx3.3.辽宁文辽宁文 1

2、0设25abm，且112ab，那么m a10 b10 c20 d100答案 a【解析】选 a.211log 2log 5log 102,10,mmmmab又0,10.mm4.4.全国卷全国卷 2 2 文文 4函数 y=1+ln(x-1)(x1)的反函数是ay=1xe-1(x0) (b) y=1xe+1(x0) (c) y=1xe-1(x r) (dy=1xe+1 (x r)答案 d【解析解析】d】d：此题考查了函数的反函数及指数对数的互化，：此题考查了函数的反函数及指数对数的互化，函数函数 y=1+lnx-1(x1)y=1+lnx-1(x1)， 11ln(1)1,1,1yxxyxeye 5.5

3、.安徽文安徽文 7设232555322555abc（）,（），（），那么 a，b，c 的大小关系是aacb babc ccab dbca答案 a【解析】25yx在0 x 时是增函数，所以ac，2( )5xy 在0 x 时是减函数，所以cb。【方法总结】根据幂函数与指数函数的单调性直接可以判断出来.6.6.安徽文安徽文 6设0abc ,二次函数2( )f xaxbxc的图像可能是来源:高&考%资(源#网答案 d【解析】当0a 时，b、c同号， c d两图中0c ，故0,02bba，选项d符合【方法技巧】根据二次函数图像开口向上或向下，分0a 或0a 两种情况分类考虑.另外还要注意 c 值

4、是抛物线与 y 轴交点的纵坐标，还要注意对称轴的位置或定点坐标的位置等.7.7.浙江文浙江文2.2.函数 1( )log (1),f xx假设( )1,f =(a)0(b)1(c)2(d)3答案 b【解析】+1=2，故=1，选 b，此题主要考察了对数函数概念及其运算性质，属容易题8.8.山东文山东文(3)函数 2log31xf x 的值域为a. 0, b. 0, c. 1, d. 1,答案 a9.9.北京文北京文(6)给定函数12yx，12log (1)yx，|1|yx，12xy，期中在区间0，1上单调递减的函数序号是a b c d答案 b10.10.北京文北京文假设 a,b 是非零向量，且a

5、b，ab，那么函数( )() ()f xxabxba是来源:ks5u a一次函数且是奇函数 b一次函数但不是奇函数 c二次函数且是偶函数 d二次函数但不是偶函数答案 a11.11.四川理四川理 32log510log5a0 b1 c 2 d4解析：2log510log5log5100log5log5252答案 c12.12.天津文天津文(6)设554alog 4blogclog25，（3），则(a)acb (b) )bca (c) )abc (d) )bac答案 d【解析】此题主要考查利用对数函数的单调性比拟大小的根本方法，属于容易题。因为50log 41,所以bac【温馨提示】比拟对数值的大

6、小时，通常利用 0，1 进行，此题也可以利用对数函数的图像进行比拟。13.13.全国卷全国卷 1 1 文文(7)函数( ) | lg|f xx.假设ab且，( )( )f af b，那么ab的取值范围是(a)(1,) (b)1,)(c) (2,) (d) 2,)答案 c12aa【解析 1】因为 f(a)=f(b),所以|lga|=|lgb|,所以 a=b(舍去)，或1ba，所以 a+b=1aa又 0ab,所以 0a1f(1)=1+1=2,即 a+b 的取值范围是(2,+).【解析 2】由 0ab,且f(a)=f(b)得：0111abab，利用线性规划得：0111xyxy，化为求zxy的取值范围

7、问题，zxyyxz ，2111yyxx 过点 1,1时 z 最小为 2,(c) (2,)14.14.四川文四川文(2)函数y=log2x的图象大致是(a) (b) (c) (d)答案 c解析：此题考查对数函数的图象和根本性质.15.15.安徽理安徽理6、设0abc ，二次函数 2f xaxbxc的图象可能是答案 d【解析】当0a 时，b、c同号， c d两图中0c ，故0,02bba，选项d符合.【方法技巧】根据二次函数图像开口向上或向下，分0a 或0a 两种情况分类考虑.另外还要注意 c 值是抛物线与 y 轴交点的纵坐标，还要注意对称轴的位置或定点坐标的位置等.二、填空题二、填空题1.1.上

8、海文上海文3( )log (3)f xx的反函数的图像与y轴的交点坐标是 。答案 (0,2)解析：考查反函数相关概念、性质法一：函数3( )log (3)f xx的反函数为33 xy，另 x=0，有 y=-2法二：函数3( )log (3)f xx图像与 x 轴交点为-2,0 ，利用对称性可知，函数3( )log (3)f xx的反函数的图像与y轴的交点为0，-2三、解答题三、解答题1.1.四川理四川理 22 本小题总分值 14 分设11xxaf( x)a0a 且1a ，g(x)是f(x)的反函数.设关于x的方程求217atlogg( x)( x)(x)在区间2，6上有实数解，求t的取值范围；

9、当aee为自然对数的底数时，证明：22221nknng(k )n(n)；当 0a 时，试比拟1nkf(k )n 与 4 的大小，并说明理由.12本小题考产函数、反函数、方程、不等式、导数及其应用等根底知识，考察化归、分类整合等数学思想方法，以及推理论证、分析与解决问题的能力.解：(1)由题意，得ax11yy0故g(x)1log1axx，x(,1)(1,)由21loglog(1)(7)1aatxxxx得t(x-1)2(7-x)，x2,6那么t=-3x2+18x-15=-3(x-1)(x-5)列表如下：x2(2,5)5(5,6)6t+0-t5极大值3225所以t最小值5，t最大值32所以t的取值范

10、围为5,325 分(2) 21231( )lnlnlnln3451nkng kn ln(12313451nn) ln(1)2n n令u(z)lnz221zz2lnzz1z，z0来源:高&考%资(源#网那么u(z)2211zz (11z)20所以u(z)在(0,)上是增函数又因为(1)2n n10，所以u(1)2n n)u(1)0即ln(1)122(1)(1)2n nn nn n0即222( )2 (1)nknng kn n9 分(3)设a11p，那么p1，1f(1)1211aap 3当n1 时，|f(1)1|2p24当n2 时设k2,kn *时，那么f(k)(1)121(1)1(1)1

11、kkkppp 11222kkkkkc pc pc p所以 1f(k)112244411(1)1kkcck kkk 从而n12( )nkf kn-1+4421nn+1-41nn1所以n1( )nkf kf(1)n1n4综上所述，总有|1( )nkf kn|43.3.湖北理湖北理17 本小题总分值 12 分 为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层。某幢建筑物要建造可使用 20 年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造本钱为 6 万元。该建筑物每年的能源消消耗用 c：万元与隔热层厚度 x：cm满足关系：cx=(010),35kxx假设不建隔热层，每年能源消消耗用为 8 万元。

12、设 fx为隔热层建造费用与 20 年的能源消消耗用之和。求 k 的值及 f(x)的表达式。隔热层修建多厚时，总费用 f(x)到达最小，并求最小值。高考题高考题1.(广东卷文)假设函数( )yf x是函数1xyaaa（0，且）的反函数，且(2)1f，那么( )f x ( )ax2log bx21 cx21log d22x 答案 a解析 函数1xyaaa（0，且）的反函数是( )logaf xx,又(2)1f,即log 21a,所以,2a ,故2( )logf xx,选 a.2.北京文为了得到函数3lg10 xy的图像，只需把函数lgyx的图像上所有点 a向左平移 3 个长度，再向上平移 1 个长

13、度 b向右平移 3 个长度，再向上平移 1 个长度 c向左平移 3 个长度，再向下平移 1 个长度 d向右平移 3 个长度，再向下平移 1 个长度答案 c.w解析 此题主要考查函数图象的平移变换. 属于根底知识、根本运算的考查.3.天津卷文设3 . 02131)21(, 3log, 2logcba，那么( )a abc b acb c bca d bac答案 b 解析 由结合对数函数图像和指数函数图像得到10 , 0ca，而13log2b，因此选 b。【考点定位】本试题考查了对数函数和指数函数的性质运用，考查了根本的运算能4.四川卷文函数)(21rxyx的反函数是 a. )0(log12xxy

14、 b. ) 1)(1(log2xxy c. )0(log12xxy d. ) 1)(1(log2xxy答案 c解析 由yxyxyx221log1log12，又因原函数的值域是0y，其反函数是)0(log12xxy5.全国卷理设323log,log3,log2abc，那么 a. abc b. acb c. bac d. bca答案 a解析 322log2log2log3bc 2233log3log 2log 3logababc .6.湖南卷文2log2的值为a2 b2 c12 d 12答案 d解析 由1222211log2log 2log 222,易知 d 正确. 7.湖南卷文设函数( )yf

15、x在(,) 内有定义，对于给定的正数 k，定义函数 ( ),( ),( ),( ).kf xf xkfxkf xk取函数( )2xf x。当k=12时，函数( )kfx的单调递增区间为( )a (,0) b(0,) c (, 1) d (1,) 答案 c解析 函数1( )2( )2xxf x，作图易知1( )2f xk(, 11,)x ，故在(, 1) 上是单调递增的，选 c. 8.福建卷理以下函数( )f x中，满足“对任意1x，2x0， ，当1x2()f x的是a( )f x=1x b. ( )f x=2(1)x c .( )f x=xe d.( )ln(1)f xx答案 a解析 依题意可

16、得函数应在(0,)x上单调递减，故由选项可得 a 正确。9. 辽宁卷文函数( )f x满足：x4,那么( )f x1( )2x；当 x4 时( )f x(1)f x，那么2(2log 3)fa.124 b.112 c.18 d.38答案 a解析 32log234,所以 f(2log23)f(3log23)且 3log2342(2log 3)ff(3log23)12221log33 log 3log 311111111( )( )( )28282832410.四川卷文函数)(21rxyx的反函数是 a. )0(log12xxy b.) 1)(1(log2xxy c.)0(log12xxy d.)

17、 1)(1(log2xxy答案 c解析 由yxyxyx221log1log12，又因原函数的值域是0y，其反函数是)0(log12xxy11.陕西卷文设曲线1*()nyxnn在点1，1处的切线与 x 轴的交点的横坐标为nx,那么12nxxx的值为a.1n b.11n c. 1nn答案 b解析 对1*()(1)nnyxnnynx求导得,令1x 得在点1，1处的切线的斜率1kn,在点1，1处的切线方程为1(1)(1)(1)nnyk xnx ,不妨设0y ,1nnnx那么1212311.23411nnnxxxnnn, 应选 b.12.全国卷文函数( )f x的反函数为( ) 10g xx2l gx，

18、那么 )1()1(gfa0 b1 c2 d4答案 c解析 由题令1lg21 x得1 x，即1)1( f，又1)1( g，所以2)1()1( gf，应选择 c。13.(湖南卷理)假设2loga0，1( )2b1，那么 ( )aa1,b0 ba1,b0 c. 0a1, b0 d. 0a1, b0答案 d解析 由2log0a 得0,a由1( )12b得0b ，所以选 d 项。14.四川卷理函数22log(2)( )24(22axxf xxxxx当时在点处当时）连续，那么常数a的值是( ) 【考点定位】本小题考查函数的连续性，考查分段函数，根底题。答案 b解析 由题得3222log2 aa，应选择 b

19、。解析 2：此题考查分段函数的连续性由22224lim( )limlim(2)42xxxxf xxx，22(2)log1faa，由函数的连续性在一点处的连续性的定义知2(2)lim( )4xff x，可得3a 应选 b15.福建卷文假设函数 f x的零点与 422xg xx的零点之差的绝对值不超过0.25， 那么 f x可以是a. 41f xx b. 2(1)f xx c. 1xf xe d. 12f xin x答案 a解析 41f xx的零点为 x=41, 2(1)f xx的零点为 x=1, 1xf xe的零点为 x=0, 12f xin x的零点为 x=23.现在我们来估算 422xg x

20、x的零点，因 为 g(0)= -1,g(21)=1,所以 g(x)的零点 x(0, 21),又函数 f x的零点与 422xg xx的零点之差的绝对值不超过 0.25，只有 41f xx的零点适合，应选 a。二、填空题16.江苏卷集合2log2 ,(, )axxba ，假设ab那么实数a的取值范围是( ,)c ，其中c= . 解析 考查集合的子集的概念及利用对数的性质解不等式。由2log2x 得04x，(0,4a；由ab知4a ，所以c 4。17.(山东卷理)假设函数 f(x)=ax-x-a(a0 且 a1)有两个零点，那么实数 a 的取值范围是 .答案 1|aa解析 设函数(0,xyaa且1

21、a 和函数yxa,那么函数 f(x)=ax-x-a(a0 且a1)有两个零点, 就是函数(0,xyaa且1a 与函数yxa有两个交点,由图象可知当10 a时两函数只有一个交点,不符合,当1a时,因为函数(1)xyaa的图象过点(0,1),而直线yxa1a18.重庆卷文记3( )log (1)f xx的反函数为1( )yfx，那么方程1( )8fx的解x 答案 2解法 1 由3( )log (1)yf xx，得13yx，即1( )31fxx，于是由318x ，解得2x 解法 2 因为1( )8fx，所以3(8)log (8 1)2xf高考题高考题1.山东文科卷函数( )log (21)(01)x

22、af xbaa，的图象如下图，那么ab，满足的关系是 a101abb101bac101ba d1101ab答案 a 解析 本小题主要考查正确利用对数函数的图象来比拟大小。由图易得1,a 101;a 取特殊点01log0,axyb 11logloglog 10,aaaba 101ab .2.山东文科卷2(3 )4 log 3233xfx，那么8(2)(4)(8)(2 )ffff的值等于 答案 解析 本小题主要考查对数函数问题。22(3 )4 log 32334log 3233,xxfx 2( )4log233,f xx8(2)(4)(8)(2 )ffff 22228 2334(log 22log

23、 23log 28log 2)1864 1442008.0120)22)(12(0224xxxxxx1oyx第二局部第二局部 两年联考汇编两年联考汇编联考联考题组二题组二55 月份更新月份更新一、填空题1. 安徽两地三校国庆联考为了得到函数3lg10 xy的图像，只需把函数lgyx的图像上所有点 a向左平移 3 个长度，再向上平移 1 个长度 b向右平移 3 个长度，再向上平移 1 个长度 c向左平移 3 个长度，再向下平移 1 个长度d向右平移 3 个长度，再向下平移 1 个长度答案 c2 昆明一中四次月考理以下四个函数31yx；sin3yx；2yxx；2xxeey中，奇函数的个数是 a1

24、b2 c3 d4答案：c3昆明一中二次月考理，那么“是 “的 a. 充分不必要条件 b. 必要不充分条件 c. 充要条件 d. 既不充分也不必要条件答案：a4 玉溪一中期中理函数22log(2)( )24(22axxf xxxxx当时在点处当时）连续，那么常数a的值是 答案：b5 玉溪一中期中理函数log (3)1ayx(01)aa且，的图象恒过定点a，假设点a在直线10mxny 上，其中 m,n 均大于 0,那么n2m1的最小值为( )a2 b4 c8 d16答案：c6.祥云一中月考理 函数1)(xaxf的反函数的图象经过点)2 , 4(，那么)2(1f的值是 a21b23c2d4答案：b7

25、 祥云一中三次月考理函数 1log13822xxxaxxxfa在rx内单调递减，那么a的范围是a21, 0 b. ) 1 ,21c85,21 d1 ,85 答案：c二、填空题1. 安徽两地三校国庆联考函数) 1, 0( 13logaaxya的图象恒过定点 a,假设点 a 在直线01 nymx上，其中0mn，那么nm21的最小值为 . 答案 82 肥城市第二次联考某同学在借助计算器求“方程 lgx=2x 的近似解精确到 0.1时，设 f(x)=lgxx2，算得 f(1)0，f(2)0；在以下过程中，他用“二分法又取了 4个 x 的值，计算了其函数值的正负，并得出判断：方程的近似解是 x1.8那么

26、他再取的x 的 4 个值分别依次是 来源:高&考%资(源#网答案 15，175，1875，18125；3.祥云一中二次月考理函数176221xxy在1 , 3x上的值域为._答案：124421,21 4.祥云一中二次月考理函数xxf8log)(，它的反函数为)(1xf，那么._)32(1f答案：4三、解答题1.(本小题总分值 14 分)ar r,函数 2xf xxax e (xr r,e为自然对数的底数).当2a 时,求函数 f x的单调递增区间;假设函数 f x在1,1上单调递增,求a的取值范围;函数 f x是否为r r上的单调函数 ，假设是，求出a的取值范围 ；假设不是 ，请说明理

27、由.解: () 当2a 时, 22xf xxx e , 22( )2222xxxfxxexx exe . 1 分令( )0fx,即220 xxe, 20,20 xex. 解得22x.函数( )f x的单调递增区间是2,2. 4 分() 函数 f x在1,1上单调递增, ( )0fx对1,1x 都成立,22( )22xxxfxxa exax exaxa e ,220 xxaxa e对1,1x 都成立. 5 分20,20 xexaxa对1,1x 都成立, 6 分即2211211111xxxaxxxx对1,1x 都成立.令111yxx,那么21101yx .111yxx在1,1上单调递增.131 1

28、1 12y. 32a . 9 分() 假设函数 f x在 r r 上单调递减,那么( )0fx对xr r 都成立,来源:高&考%资(源#网 ks5u 即220 xxaxa e对xr r 都成立,0,xe 220 xaxa 对xr r 都成立. 2240aa ,即240a ,这是不可能的.故函数 f x不可能在 r r 上单调递减. 11 分假设函数 f x在 r r 上单调递增,那么( )0fx对xr r 都成立,即220 xxaxa e对xr r 都成立,0,xe 220 xaxa 对xr r 都成立. 而222440aaa ,故函数 f x不可能在 r r 上单调递增. 13 分综

29、上可知函数 f x不可能是 r r 上的单调函数. 14 分题组一题组一11 月份更新月份更新一、选择题函数) 1(log2)(5 . 0 xxxf，那么)(xf的反函数是- a)2(2)(21xxfxb)2(2)(21xxfxc)2(2)(21xxfxd)2(2)(21xxfx答案 a2.聊城一模函数), 0()0 ,()(,4)(2是定义在xgxxf上的奇函数，当 x0 时，)()(,log)(2xgxfyxxg则函数的大致图象为 答案 b3.番禺一模函数2log,0,( )2 ,0.xxxf xx 假设1( )2f a ，那么a a1 b2 c1或2 d1 或2答案 c4.临沂一模函数

30、f(x)=31( )log5xx，假设 x0是方程 f(x)=0 的解，且 0 x10 时是单调函数，那么满足 f(2x)=f(14xx)的所有 x 之和为a、92 b、 72 c、8 d、8答案 c7.云南师大附中假设函数 22xyeyf xyxf x与函数的图象关于直线对称，则a. ln1x b. ln1x c. ln1x d. ln1x 答案 b8.青岛一模设奇函数( )f x在(0)，上为增函数，且(1)0f，那么不等式( )()0f xfxx的解集为a( 10)(1)， b(1)(01) ， c(1)(1) ， d( 10)(01)，答案 d9.日照一模 6函数32( )ln2f x

31、x的零点一定位于区间 a 1，2 b 2，3 c 3，4 d 4，5答案 a10.日照一模 函数( )yf x的图象如右图所示，那么函数12log( )yf x的图象大致是答案 c来源:ks5u 11.泰安一模函数 y=f(x)与xye互为反函数，函数 y=g(x)的图像与 y=f(x)图像关于 x轴对称，假设 g(a)=1,那么实数 a 值为 a-e (b) 1e (c) 1e (d) e答案 c12.江门一模函数) 12lg(231xxy的定义域是a. , 32 b. , 21 c. , 32 d.32 , 21答案 c13.枣庄一模, 1 , 0, 1)0 , 1, 1)(2xxxxxf

32、那么关于右图中函数图象的表述正确的选项是 a是) 1( xf的图象b是)( xf 的图象c是| )(|)(|xfxf或的图象d以上说法都不对答案 d14.枣庄一模设函数)5)25(,)2(12)21(3) 1(12)(fffxxxxxxf则 a3b4c7d9答案 c15.深圳一模假设函数)(log)(bxxfa的图象如右图，其中ba,为常数那么函数baxgx)(的大致图象是a b c d答案 d二、填空题1.青岛一模定义：区间1212,x xxx的长度为21xx.函数| |2xy 的定义域为, a b，值域为1,2，那么区间, a b的长度的最大值与最小值的差为_.答案 11111yox111

33、1yox1111yox1111yox1111yox函数2( )f xxx，假设3log1(2)fmf，那么实数m的取值范围是 。答案 8(,8)9假设函数( )yf x的值域是1 ,32，那么函数1( )( )( )f xf xf x的值域是 答案 102,34.上海普陀区函数) 10(log1)(aaxxfa且，)(1xf是)(xf的反函数，假设)(1xfy的图像过点(3,4)，那么a . 答案 25.上海十校联考函数 231f xmxmx的值域是0,)，那么实数m的取值范围是_答案 0,19,6.上海卢湾区 4 月模考 上海卢湾区 4 月模考设f x( )的反函数为1( )fx ，假设函数

34、f x( )的图像过点(1,2)，且1211fx() ， 那么x 答案 127.宣威六中第一次月考函数( )ln(1) 1(0)xf xexx，那么函数 f(x)的最小值是 答案 0三、解答题1、 聊城一模函数) 1,(23)(23ababaxxxf且为实数在区间1，1上最大值为 1，最小值为2。 1求)(xf的解析式； 2假设函数mxxfxg)()(在区间2，2上为减函数，求实数 m 的取值范围。解：1,33)( 2axxxf 2, 12)(23mxxxxg.43)( 2mxxxg由上为减函数在2 , 2)(xg，知.2 , 20)( 上恒成立在xxg 0)2( 0)2( gg， 即0402

35、0mm .20m.20mm的取值范围是实数 2、 昆明市期末函数1)(ln)(mxexfx，假设x=0，函数f(x)取得极值 求函数f(x)的最小值； ,0ab 证明：11ln1baeba.解：,1)( mxexfx由 x=0 是极值点，故0)0( f,得. 0010me故 m=1.故 ) 1( 1) 1(ln)(xxexfx当 -1x0 时，, 011)( xexfx函数在-1，0内是减函数；当 x0 时，, 011)( xexfx函数f(x)在0，+内是增函数。所以x=0 时，f(0)=0，那么函数f(x)取得最小值为0.6 分 . 12)(.34, 223) 1(),1 () 1(,23

36、2) 1 (,23) 1(, 1)0(.1 , 0,0 , 1)(, 1, 0, 0)( 2321上为减函数在上为增函数在得令xxxfaafffafafbfxfaaxxxf 由知：f(x)0，故ex-1ln(x+1)。) 1(ln1010baebabababa故且8 分又 1) 1() 1)(1(11) 1(babbababa =, 01)(12bbabbbab故 .11) 1(baba10 分故 .11ln) 1ln(baba由得 11ln1baeba12 分3、 临沂一模设函数 f(x)=x2-mlnx,h(x)=x2-x+a.（i）当 a=0 时，f(x)h(x)在1,+上恒成立，求实数 m 的取值范围;（ii）当 m=2 时，假设函数 k(x)=f(x)-h(x)在1,3上恰有两个不同零点，求实数 a 的取值范围;（iii）是