（整理版）第九章（A）第五讲

1、第九章a 第五讲时间：60分钟总分值：100分一、选择题(8×540分)1、是两个平行平面，直线a，直线b，a与b之间的距离为d1，与之间的距离为d2，那么 ()ad1d2 bd1d2 cd2<d2 dd1>d2答案：b解析：由条件知，a与b的位置关系是平行或异面假设ab，那么d1d2；假设a、b异面，那么d1d2.2在abc中，abac5，bc6，pa平面abc，pa8，那么p到bc的距离为()a. b2c3 d4答案：d解析：取bc中点e，连结ae、pe，由aebc知pebc，即pe为点p到bc的距离那么pa8，ae4，pe4.3(·成都市高中毕业班第一次诊

2、断性检测题)如图，在平行六面体abcda1b1c1d1中，假设aa1abad1，a1ada1ab60°，bad90°，那么直线a1d1到平面abcd的距离为()a1 b.c. d.答案：b解析：作a1o平面abcd于点o，连结ao.由a1ada1ab得点o位于bad的平分线上，且cosa1adcosa1ao·cosdao，因此cosa1ao，sina1ao，由题意知直线a1d1到平面abcd的距离等于点a1到平面abcd的距离，即1×，选b.4(·黄冈市高三年级月考试题)如图，正三棱柱abca1b1c1的各棱长都为2，e、f分别是ab、a1c1

3、的中点，那么ef的长是 ()a2 b.c. d.答案：c解析：过f作fmac于m，连接me，那么efm为直角三角形|ef|.5如下图，正方体abcda1b1c1d1棱长为1，e是a1b1上的点，那么点e到平面abc1d1的距离是()a. b. c. d.答案：b解析：如示意图取ad1、bc1的中点分别为m、n，连结a1m、b1n、mn.那么a1m綊b1nad1.a1b1mn，a1b1平面abc1d1.a1b1平面b1bcc1，a1b1b1n.mnb1n.又b1nbc1，b1n平面abc1d1.点e到平面abc1d1的距离为a1m.6a是正方形bcde所在平面外一点，ae平面bcde，且aecd

4、a，g、h分别是be、ed的中点，那么gh到平面abd的距离是()a.a b.a c.a d.a答案：d解析：如图g到平面abd的距离是e到平面abd距离的一半，可先求后者易知abadbdbea，sabdab2×(a)2a2，sbeda2，设e到平面abd的距离为h.由veabdvabed得：sabd·hsbed·ae，×a2h×a2×a，ha.gh到平面abd的距离hha.7空间四边形abcd的各边与两条对角线的长都是1，点p在边ab上移动，点q在cd上移动，那么点p和q的最短距离为()a. b. c. d.答案：b解析：易证，当p

5、、q分别为ab、cd的中点时，pq间距离最短，解rtadq及rtapq，得pq.8三棱锥sabc中，sa，sb，sc两两互相垂直，底面abc上一点p到三个面sab，sac，sbc的距离分别为，1，那么ps的长度为()a9 b. c. d3答案：d解析：p到三个面的距离可以构成一个长方体的三边，那么ps是对角线，ps3.二、填空题(4×520分)9在长方体abcda1b1c1d1中，ab2，ada1a1，那么直线b1c与a1d的距离为_；直线ac与b1d1的距离为_；点a到直线b1c的距离为_；点b到平面ab1c的距离为_；直线b1c1到cd1的距离为_答案：21解析：如图：易知b1c

6、a1d而cda1d，cdb1c，cd的长为直线b1c与a1d的距离等于2；易知ac与b1d1距离为bb11；连ac、ab1、b1c作aeb1c于e由题意易知acab1，b1cae；连结ab1，b1c，ac1由所给题条件易得：vbab1c，由得：sab1c××，由等体积法得所求距离为；作c1fcd1，四边形abcd为长方形，b1c1面c1d，b1c1c1f，c1f即为所求c1f.10(·昆明质检)三棱锥pabc中，pa平面abc，bac90°，abacap2，d为ab中点，e为bc 中点，那么点d到直线pe的距离等于_答案：解析：如图，由题意知edab，由

7、三垂线定理知，edpd，又ed1，pd，pe，那么点d到直线pe的距离等于，故填.11如右图，将边长为1的正方形abcd沿对角线ac折起，使平面acd平面abc，那么折起后b、d两点的距离为_；直线bd和平面abc所成角的大小是_.答案：145°解析：在rtbod中，obod，那么bd1.dbo即为直线bd和平面abc所成角的大小，dbo45°.12多面体上，位于同一条棱两端的顶点称为相邻的如下列图，正方体的一个顶点a在平面内，其余顶点在的同侧正方体上与顶点a相邻的三个顶点到的距离分别为1,2和4.p是正方体的其余四个顶点中的一个，那么p到平面的距离可能是：3；4；5；6；

8、7；以上结论正确的为_(写出所有正确结论的编号)答案：解析：如图假设p位于c，平面abcd为正方形，bd与ac的中点为同一点o.b、d到平面的距离分别为2、1，o到平面的距离为.c到平面的距离为3.假设p位于b1，b1b綊a1a，b1到平面的距离等于a1到平面的距离加b到平面的距离为6.同理，假设p位于c1，那么c1到平面的距离为7.假设p位于d1，那么d1到平面的距离为5.三、解答题(4×1040分)13在正四棱柱abcda1b1c1d1中，底面边长为2，侧棱长为4，e、f分别为棱ab、bc的中点(1)求证：平面b1ef平面bdd1b1；(2)求点d1到平面b1ef的距离d.分析：

9、(1)可先证ef平面bdd1b1.(2)用几何法或等积法求距离时，可由b1d1bd，将点进行转移：d1点到平面b1ef的距离是b点到它的距离的4倍，先求b点到平面b1ef的距离即可解答：(1)证明：ef平面bdd1b1平面b1ef平面bdd1b1.(2)解：解法一：连结ef交bd于g点b1d14bg，且b1d1bg，d1点到平面b1ef的距离是b点到它的距离的4倍利用等积法可求由题意可知，efac2，b1g.sb1efef·b1g×2×，sbefbe·bf××1.vbb1efvb1bef，设b到面b1ef的距离为h1，那么×

10、×h1×1×4，h1.点d1到平面b1ef的距离为h4h1.解法二：如图，在正方形bdd1b1的边bd上取一点g，使bgbd，连结b1g，过点d1作d1hb1g于h，那么d1h即为所求距离可求得d1h(直接法)14如图直三棱柱abca1b1c1中，侧棱cc12，bac90°，abac，m是棱bc的中点，n是cc1中点求：(1)二面角b1anm的大小；(2)c1到平面amn的距离解析：(1)bac90°，abac，m是棱bc的中点，ambc，bc2，am1.am平面bcc1b1.平面amn平面bcc1b1.作b1hmn于h，hran于r，连结b1

11、r，b1h平面amn.又由三垂线定理知，b1ran.b1rh是二面角b1anm的平面角由得an，mn，b1mb1n，那么b1h，又rtamnrthrn，rh.b1r，cosb1rh.二面角b1anm的大小为arccos.(2)n是cc1中点，c1到平面amn的距离等于c到平面amn的距离设c到平面amn的距离为h，由vcamnvnamc得×·mn·h×am·mc.h.15(·北京海淀一模)如下图，四棱锥pabcd中，pa平面abcd，底面abcd为直角梯形，且abcd，bad90°，paaddc2，ab4.(1)求证：bcp

12、c；(2)求pb与平面pac所成的角的正弦值；(3)求点a到平面pbc的距离解析：(1)证明：如图，在直角梯形abcd中，abcd，bad90°，addc2，adc90°，且ac2.取ab的中点e，连结ce，由题意可知，四边形abcd为正方形，aece2.又beab2.ceab，abc为等腰直角三角形，acbc.又pa平面abcd，且ac为pc在平面abcd内的射影，bc平面abcd，由三垂线定理得，bcpc.(2)由(1)可知，bcpc，bcac，pcacc，bc平面pac.pc是pb在平面pac内的射影，cpb是pb与平面pac所成的角又cb2，pb2pa2ab220，

13、pb2，sincpb，即pb与平面pac所成角的正弦值为.(3)由(2)可知，bc平面pac，bc平面pbc，平面pbc平面pac.过a点在平面pac内作afpc于f，af平面pbc，af的长即为点a到平面pbc的距离在直角三角形pac中， pa2，ac2，pc2，af.即点a到平面pbc的距离为.16(·吉林长春一模)如下图，四棱锥pabcd的底面是正方形，pa底面abcd，pa2，pda45°，点e、f分别为棱ab、pd的中点(1)求证：af平面pce；(2)求二面角epdc的大小；(3)求点a到平面pce的距离解析：(1)证明：如图取pc的中点g，连结fg、eg，fg为pcd的中位线，fgcd且fgcd.又底面四边形abcd是正方形，e为棱ab的中点，aecd且aecd，aefg且aefg.四边形aegf是平行四边形，afeg.又eg平面pce，af平面pce，af平面pce.(2)解：pa底面abcd，paad，pacd.又adcd，paada，cd平面pad.又af平面pad，cdaf.又pa2，pda