一元二次的解集及其根及系数的关系

1、一元二次方程的解集及其根与系数的关系市教师进修学院 宋润生只含有一个未知数（一元） ，并且未知数项的最高次数是 2（二次）的整式方程叫做一 元二次方程一元二次方程的一般形式为ax2 bx c 0（a 0），其中 ax2是二次项， a 是二次项系数； bx 是一次项； b是一次项系数； c是常数项一、一元二次方程的 解集 使一元二次方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解， 一元二次方程 的解也叫做一元二次方程的根一元二次方程的解（根）的集合叫做一元二次方程的解集设一元二次方程 ax2 bx c 0（a 0） 的解集为 M ， b2 4ac 1）当0 时，Mbb2 4ac ,b b2

2、 4ac2a ,2a2）当0 时，Mb2a3）当0 时，M例 1不解方程，判断下列方程的根的情况：（1）2x2 3x 4 0；（2） ax2 bx 0（a 0）；x2 bx b2 1 02例 2已知关于 x 的方程 kx2 2（k+1）x+k 1=0 有两个不相等的实数根，（ 1）求 k 的取值围；（ 2）是否存在实数 k，使此方程的两个根是互为相反数？若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由解：1（1）（ 31,0） U（0, ） （2）x1 x2 0，所以 2（k 1） 0， k1，不满足0，所以不存在实数 k，使此k方程的两个根是互为相反数二、一元二次方程根与系数的关系当 0 时， 一元

3、二次 方程有 ax2 bx c 0（a 0） 有两个不相等的实数根x1b b2 4ac2a， x2b b2 4ac那么2ax1b b2 4acb b2 4acx1x2x1 x2如果2a2ab b2 4acb b2 4acb)2( b2 4ac)22a2a4a20 时， 一元二次 方程有 ax2 bxb那么 x1 x22a 1 2元二次方程 axbx cx1 x20(ab24a20） 有两个相等的实数根4ac c4a2 ax1x20（a 0） 的两个实数根是 x1 ，x2 ，那么x1x2也就是说， 对于任何一个有实数根的一元二次方程， 两根之和等于方程的一次项系数除 以二次项系数所得的商的相反数

4、； 两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商 这就是元二次方程根与系数的关系，也叫韦达定理（法国数学家弗朗索瓦·韦达（ Fran?oisViète ， 1540 1603）韦达定理的应用（1）不解方程，利用根与系数的关系可以检验两个数是不是一元二次方程的两个根；（2）已知方程的一个根，求方程的另一根及未知系数；（3）不解方程，可以利用根与系数的关系求关于x1、x2 的对称式的值此时，常常涉及代数式的一些重要变形；例如： x12 x22 （x1 x2）2 2x1x2 x1 x21x1x2x1x2 x1x22x12x2 x1 x2 ( x1 x2) x2x1(x1x2)22x1

5、x2 (x1 x2)2 (x1 x2)2 4x1x2 （mx1 n）（ mx2 n） m2 x1x2 mn（x1 x2） n2 例 3已知方程 x2 2x c 0 的一个根是 3，求它的另一根及 c 的值 11例 4 求作一个一元二次方程，使它的两根分别是3 ， 2 32例 5设 x1， x2是方程 2x26x 1 0 的两根，不解方程，求下列各式的值：2 2 2 1 1（1） x12 x22 ；（2） （x1 x2 ）2 ；（3） （x1）（x2） x2x1例 6在 RtABC中， C=90 ，a，b，c 分别是 A， B， C的对边， a，b 是关于 x的方程 x2 7x c 7 0 的两

6、根，求 AB边上的中线长练习题1下列方程，有实数根的是A 2x2 x 1 0B x2 3x 21 0 C x2 0.1x 1 0 D x2 2 2x 3 0答案： C2设关于 x 的方程 x2 （ 2k 1）x k2+2k+3，当 k 为何值时， （1）有两个不相等的实数根？（2）有两个相等的实数根？（ 3）没有实数根 ?答案：（1） （ 143, ）；（2） 143 ；（3）（ , 143）1 2 23已知关于 x的方程 x2 （m 3）x m2 0有两个不相等的实数根，若 m Z ，那么 m的4最大值是 3答案： m ， m 的最大值是 1224已知一元二次方程 x2 6x 5 k 0 的

7、根的判别式 =4，则这个方程的根为 答案： k3，根为 2和 4A ( 1, )5若关于 x的一元二次方程 kx2 2x 1 0有两个不相等的实数根，则 k 的取值围是B ( 1,0) U (0)C ( ,1)D( ,0) U(0 1)答案： B6 关于 x 的一元二次方程 x2 (m 1)x m 2 0 A没有实根B有两相等实根C有两不相等实根D可能有实根2答案： C，m2 2m 9 0 7已知 a，b，c 是 ABC的三边长，且方程( a2+b2)x2-2cx+10 有两个相等的实数根请 你判断 ABC的形状答案：直角三角形， 0 ，得 c2 a2 b2 8关于方程 x2 2x 3 0的两

8、实数根是 x1， x2，的说确的是A x1x22B x1x23C x1x22D以上都不对答案： D9已知方程 5x2 kx 6 0的一个根是 2，则它的另一个根及 k 的值分别为 3答案： k 的值 7 ，另一个根 52210已知方程 x22(m21)x+3m=0 的两个实数根的倒数和等于 0，则A m=±1Bm= 1Cm=1Dm=0答案： B11一元二次方程 2x26x 3 0 的两根为、 ，则 ()2A3B6C18D24答案： A2 1 112已知 3x2 2x 1 0的两实数根是 x1 ， x2，则的值为 x1 x2答案： 213若方程 x2 2x 2 0的两实数根是 x1，

9、x2，则 x1(x1 2) x2(x2 2)的值为 答案： 414设 x1， x2为关于 x 的方程 x2+2mx+m2+3m 2=0 两个实根，求 x1(x1 x2) x2 2的最小值2 2 2 2x1(x1 x2) x2(x1 x2)3x1x2 m 9m 6 ，3当 m 2 时取最小值 4 3915已知 x1 ，x2 是关于 x的方程2(2a 1)x a20的两个实数根， 若 （x12)(x2 2) 11 ，求a 的值 答案： 11 4a0 时，x1 x2 12x1x2 a2a所以(x1 2)(x2 2)x1x2 2(x1 x2) 4a2 4a 6因为 (x1 2)(x2 2) 11 ，所

10、以2a2 4a 5 0，解得 a 1或 a 5 当 a 5 时，0 不成立，所以 a 116设 a，b 是方程 x22018 0 的两个实数根，则 a2 2a b 的值为答案： 2017 a2 2a(a2 a) ab 2018 ( 1) 2017 17已知关于 x 的方程2x2mx 2m1 0 的两根的平方和等于 4，求 m 的值答案： m 2 2m2 16m 8 0 22x1 x2(x1x2 )2 2x1x2m2 8m 44，2m2 8m 20 0 ，解得 m 10 或 m2 其中10 使0218若方程 2x （ k1）xk30 的两根之差是1，求 k 的值答案： k 9 k2 6k 232

11、0 (x1 x2 )(x1x2)24x1x2k2 6k 23 令42k2 6k 2341得 k 2 6k 270，所以 k3或 k 9其中 k3 使019已知 x1，x2是关于 x 的方程2x +mx+n=0 的两根， x1+1，2x2+1 是关于 x 的方程 x2+nx+m=0的两根，求m，n 的值x1 x2答案：20以x1x2 n1x1 1 x2 (x1 1)(x2nm2 n 2m 1m1n31)1 和 2 1 为根的一个元二次方程为答案： x2 2 2x 1 0 21求作一个一元二次方程，使它的两根分别是方程5x2 2x0 各根的负倒数22 答案： x2 2x3250因为x1 x2x1x

12、23 5 ，所以 (5x2x1 x2x1x22，3，( x1)( x1) x1 x2x1x225622设一元二次方程 x23x0 的两实数根是x1，x2 ，以2x12，x22为根的一个一元二次方程为答案：x2 13x 4 0 因为x1x2x1x23 ，所以 x1222x2(x1 x2 )2222x1x2 13 ，x1 x24 23对于方程 x2+bx 2=0，以下说确的是A方程有无实数根，要根据 b 的取值而定B无论 b 取何值，方程必有一正根，一负根C当 b>0 时，方程两根为正； b<0时，方程两根为负D因为 2<0，所以方程两根肯定为负 答案： B24一元二次方程 ax

13、2+bx+c=0（a 0）有两异号实数根的条件是A ab>0Bac >0Cab <0Dac <0答案： D225已知关于 x 的方程 2（k+1） x2+4kx+3k 2=0（ 1）当 k 为值时，两根互为相反数；（ 2）当 k 为何值时，有一根为零，另一根不为零解：（1）8（k2 k 2） 0 ，因为方程两根互为相反数， 所以 x1 x2 0，即 2k 0，k1 k 0满足0，所以当 k 0 时，方程两根互为相反数x1 x2 022）因为方程有一根为零，所以1 2 ，得 k x1x2 0326设关于 x 的方程 x2 3x a 0 的两个实数根的倒数和等于 31）求

14、a 的值；k1（2）已知关于 x的方程 （k 1）x2 3x 2a 0有实数根， 若k N ，求代数式 k 1的值 k2解：（1）9 4a 0，因为方程两根倒数和等于 3，所以 1 1 3 ，即 x1 x2 3由x1 x2x1x23 韦达定理 3 a1 ，满足0，所以 a 1 a22（2）若 k 1，方程 （k 1）x2 3x 2 0 有实数根 x ；317 2 若 k 1，当判别式17 8k 0，即 k时，方程 （k 1）x2 3x 2 0 有实数根，8因为 k N，所以 k 0或 k 2当kk10 时，1 ；当kk1时，10；当k2 时，k1不存在k22k2k227已知3x2 2018x6

15、 0 ，6y22018y30，若 xy1，则xyA 2B 2C1D122答案： A解：因为y 是方程 6y22018y30 的根，所以1是方程3x2 2018x6 0 的根y而 x 是方程 3x22018x60 的根， xy 1 ，所以x与1方程3x22018x6 0 的两y个不同实数根，由韦达定理得x1x2 yyx2ya20xx1xx228已知方程组的两组解分别为1和2 (x1x2)，若xy10yy1yy2x12 x22 3x1x2 8a2 6a 111）求 a 的值；2）不解方程组判断方程组的两组解中的每一个数能否都为正数，为什么 解：1)由 x2 y a 2 0得 x2 x a 1 0，x y 1 04a 3 0 ，x2x1x2 a1所以1x12 x22 3x