数理方法-第一讲-定解问题

1、 主讲人：王怀谦主讲人：王怀谦 数学物理方法就其本质来说，是数学方法，但它研究的内容和物理问数学物理方法就其本质来说，是数学方法，但它研究的内容和物理问题紧密联系，是理解和探讨物理问题实质必不可少的工具和基础。题紧密联系，是理解和探讨物理问题实质必不可少的工具和基础。 物理问题物理问题 数学模型数学模型 求解、分析、归纳求解、分析、归纳中学物理中学物理(初等数学初等数学), 普通物理普通物理(高等数学高等数学), 理论物理理论物理(数学物理方法数学物理方法).讲授的主要内容：复变函数论、数学物理方程、特殊函数讲授的主要内容：复变函数论、数学物理方程、特殊函数主要参考书：数学物理方法简明教程，林

2、福民编，北京大学出版，主要参考书：数学物理方法简明教程，林福民编，北京大学出版，2008 数学物理方法，梁昆淼人民教育出版社，数学物理方法，梁昆淼人民教育出版社，1978 第二篇第二篇 数学物理方程数学物理方程 l第一部分第一部分 定解问题定解问题 学习物理方程、初始条件和边界条件的导出：以学习物理方程、初始条件和边界条件的导出：以一维波动方程为例，掌握如何利用物理规律导出一维波动方程为例，掌握如何利用物理规律导出物理方程，并根据具体情况设定初始条件和边界物理方程，并根据具体情况设定初始条件和边界条件，介绍偏微分方程的初步解法，并推广到三条件，介绍偏微分方程的初步解法，并推广到三维情况。维情况

3、。l第二部分第二部分 分离变量法分离变量法 学习用分离变量法解偏微分方程。包括齐次与非学习用分离变量法解偏微分方程。包括齐次与非齐次方程的解法以及在直角坐标系、柱坐标系和齐次方程的解法以及在直角坐标系、柱坐标系和球坐标中的分离变量法。球坐标中的分离变量法。l第三部分第三部分 二阶线性常微分方程的级数解法二阶线性常微分方程的级数解法 内容：级数解法的一般方法、积分变换法内容：级数解法的一般方法、积分变换法l第四部分第四部分 勒让德多项式和球谐函数勒让德多项式和球谐函数 内容：勒让德多项式的来源、定义、性质、生内容：勒让德多项式的来源、定义、性质、生成与递推公式，连带勒让德函数、球谐函数成与递推公

4、式，连带勒让德函数、球谐函数l第五部分第五部分 贝塞尔函数贝塞尔函数 内容：贝塞尔的来源、定义、性质、生成与递内容：贝塞尔的来源、定义、性质、生成与递推公式，虚宗量贝塞尔函数推公式，虚宗量贝塞尔函数l第六部分第六部分 特殊方程的解法特殊方程的解法 内容：拉普拉斯方程和亥姆霍兹方程在不同座内容：拉普拉斯方程和亥姆霍兹方程在不同座标系中的解法标系中的解法平时成绩平时成绩( (出勤、作业等出勤、作业等) ) 20%期末、期中考试成绩期末、期中考试成绩80%上课要求及课程成绩的计算上课要求及课程成绩的计算课程成绩课程成绩II+上课要求：不迟到或早退；不无故缺席，生上课要求：不迟到或早退；不无故缺席，生

5、病或有事须出具相关证明；不做与上课无关病或有事须出具相关证明；不做与上课无关的事情；不影响他人听课。的事情；不影响他人听课。第一章第一章 数学物理定解问题数学物理定解问题基本要求基本要求（1）掌握用数理方程描绘研究物理问题的一）掌握用数理方程描绘研究物理问题的一 般步骤；般步骤；（2）掌握三种典型数理方程的推导和建立（）掌握三种典型数理方程的推导和建立（ 或导出）数理方程的一般方法、步骤；或导出）数理方程的一般方法、步骤；（3）正确写出一些典型物理问题的定解问题）正确写出一些典型物理问题的定解问题 和定解条件。和定解条件。1-1 基本概念基本概念按照物理过程可以将数理方程分为三类：1、数理方程

6、分类、数理方程分类（1）描绘振动和波动特征的波动方程：2ttuauf tuD uf uh （2）反映输运过程的扩散（或热传导）方程：（3）描绘稳定过程或状态的Poisson方程：其中2222ttt2222uu,u,u,uu(x,y,z,t)xyztt (a波速)（D扩散（热传导）系数）(f和h与源有关的已知函数)1-11-21-31. 导出或写出定解问题，包括数理方 程和定解条件两部分。2. 求解已导出或写出的定解问题。3. 对求得的解答讨论其适用性（即是否存在唯一且稳定的解）并作适当的物理解释。行波法行波法分离变量法分离变量法积分变换法积分变换法Green函数法函数法保角变换法保角变换法复变

7、函数法复变函数法变分法变分法1、建立数理方程的步骤：（1）从所研究的系统中划出一小部分，分析 邻近部分与这一部分的相互作用。（2）根据物理学的规律物理学的规律用算式表达这个作用。（3）化简、整理所研究问题满足的数理方程。例例1：小振幅的弦的横振动方程是：小振幅的弦的横振动方程是：2ttxxua uf(x,t)2aT,f(x,t)F(x,t)其中T为弦线所受张力， 线密度，F(x,t)为单位长弦线所受外力。例例2：均匀细杆的热传导的方程是：均匀细杆的热传导的方程是：tttuDuf(x,t)（一维热传导方程）其中其中kFD,f(x,t)cck为杆的导热率，c为杆的比热容， 为杆的体密度，F为热源密

8、度。（一维波动方程）qk u (1) 牛顿第二定律: F=ma(2)傅立叶实验定律（热传导定律）当物体内存在温差时，会产生热量的流动。热流强度q,与温度的下降率成正比：(3)牛顿冷却定律k为热传导系数，负号表示温度下降的方向。分量形式为：xyzuuuqk,qk,qkxyz 物体冷却时放出的热量-k u与物体与外界的温差(u边- u0)成正比，u0为周围介质的温度。(4)电荷守恒定律电荷守恒定律(5)能量守恒定律能量守恒定律(6)扩散定律（扩散定律（Fick定律）定律）当物体内浓度分布不均匀时会引起物质的扩散运动，当物体内浓度分布不均匀时会引起物质的扩散运动，粒子流强度粒子流强度q与浓度（即单位

9、时间内流过单位面积的与浓度（即单位时间内流过单位面积的粒子数）的下降率成正比。即粒子数）的下降率成正比。即qD u 其中，其中，D扩散系数，负号表示浓度减小的方向扩散系数，负号表示浓度减小的方向(7) Gauss定律：通过一个任意闭合曲面的电通量，等于这个闭曲面所包围的自由电荷的电量的 倍s1Edsd 其中 为介电常数， 为体电荷密度。(8)焦耳定律：电流通过纯电阻的导体时所放出的热量跟电流强度I的平方、导线的电阻R和通电的时间t成正比：2Q=I Rt1 (9)法拉第电磁定律：不论任何原因使通过回路面积的磁通量发生变化时，回路中产生的感应电动势与磁通量对时间的变化率的负值成正比。即dNdt d

10、ILdt 当闭合回路（线圈）中的电流发生变化而引起自身回路的磁通量改变而产生的自感电动势为L-自感系数(10)胡克定律：在弹性限度内，弹性体的弹力和弹性体的形变量成正比即f=-kx 应力=杨氏模量*相对伸长量k为弹簧的劲度系数，负号表示弹力的方向和形变量的方向相反定解条件是确定数理方程解中所含的任意函数或常数，定解条件是确定数理方程解中所含的任意函数或常数，使解具有唯一性的充分而必要的条件。它分为使解具有唯一性的充分而必要的条件。它分为初始条初始条件件和和边界条件边界条件两种。若所研究的系统由几种不同介质两种。若所研究的系统由几种不同介质组成，则在两种介质的交界面上定解条件还应当有衔组成，则在

11、两种介质的交界面上定解条件还应当有衔接条件。接条件。1.初始条件初始条件定义：定义：初始条件是物理过程初始状况的数学表达式。初始条件的个数：初始条件的个数：关于时间t的n阶偏微分方程，要给出n个初始条件才能确定一个特解。波动方程1-1式中需给出两个初始条件：热传导(或扩散)方程1-2式需给出一个初始条件，即：泊松方程1-3式无需给出任何初始条件，其中 和 为已知函数。t 0u(x,y,z;t)(x,y,z) (x,y,z)(x,y,z)t 0u(x,y,z;t)(x,y,z) tt 0u (x,y,z;t)(x,y,z) 定义定义：物理过程边界状况的数学表达式称为边界条件2. 边界条件边界条件

12、边界条件的种类和个数边界条件的种类和个数：边界条件分为三类设f (M,t)为任一已知函数，M为边界上的点，则三类边界条件分别为：第一类边界条件第二类边界条件第三类边界条件u=f(M,t)边u=f(M,t)n边uuh=f(M,t)n边u边un边其中 表示未知函数u在边界上的值， 表示未知函数沿边界外法向的导数在边界上的值。若上式中的f=0，三类边界条件分别称第一、第二、第三类齐次边界条件；若f0，称为相应的非齐次边界条件。h为任意常数3.衔接条件（略）衔接条件（略）4.三类定解问题三类定解问题泛定方程（数学上数理方程称为泛定方程，不带不定泛定方程（数学上数理方程称为泛定方程，不带不定解条件）与不

13、同类型的定解条件分别构成了以下三种解条件）与不同类型的定解条件分别构成了以下三种类型的定解问题。类型的定解问题。（1）初值问题：由泛定方程和初始条件构成的定解）初值问题：由泛定方程和初始条件构成的定解问题，又叫问题，又叫Cauchy问题问题（2）边值问题：由泛定方程和边界条件构成的定解）边值问题：由泛定方程和边界条件构成的定解问题。问题。（3）混合问题：由泛定方程、初始条件边界条件构）混合问题：由泛定方程、初始条件边界条件构成的一类定解问题。成的一类定解问题。讨论讨论：什么是边界条件？它分为哪几类？：什么是边界条件？它分为哪几类？ 用数理方程来研究物理问题要经历那几个步骤？用数理方程来研究物理

14、问题要经历那几个步骤？例例1、均匀弦的微小横振动、均匀弦的微小横振动 假设：假设：（2）微小振动，）微小振动，u（x，t）很小）很小（1）横向位移）横向位移 u（x，t）（3）单位长度横向力）单位长度横向力），（txF（4）弦线密度）弦线密度 1-4 （一）建立或导出数理方程（一）建立或导出数理方程xuxdxx MN），（txF1 2 1T2T取微元取微元MNds 01122 cosTcosT2211ttT sinT sinF x,t dxdsu（）对微小振动对微小振动11 cos12 cosxxutgsin 11 dxxxutgsin 22 TTT 12dxds ttxxdxudxtxFxu

15、dxxuT ），（）（）（ ttxxdxudxtxFxudxxuT ），（）（）（dxxudxxuxudxxuxxx22 ）（）（dxtudxtxFdxxuT2222 ），（ ），（txFxuTtu 2222），（txfuauxxtt 2 Ta 2 Ff 02 xxttuau自由振动自由振动 f（x，t）= 0例例2、均匀杆的、均匀杆的纵振动纵振动x设均匀杆设均匀杆 体密度体密度横截面积横截面积 S两端纵向位移分别为两端纵向位移分别为取微元取微元 dx uduu 1F2Fxdxx dx1F2F该段伸长：该段伸长：和和( , )u x t(, )( , )tu xdx tu x tdu dxxu

16、txutdxxudut ），（），（相对伸长相对伸长xtuxudxdu 对微元应用物理定律：对微元应用物理定律：x设杆材料的设杆材料的杨氏模量杨氏模量Y两端应力分别为：两端应力分别为：uduu 1F2Fxdxx dx1F2F应用牛顿定律：应用牛顿定律：xxxYSuxuYSF 1dxxxdxxYSuxuYSF 222tuSdxYSuYSuxxdxxx dxxuuuxxdxxx 22tuSdxdxxuYSx 22tuSdxdxxuYSx 02222 xuYtu 02 xxttuau），（txfuauxxtt 2 Ya 2若杆受迫振动，设单位长度单位面积上所若杆受迫振动，设单位长度单位面积上所受纵向

17、外力为受纵向外力为F（x，t）比较）比较P78例例222tuSdxSdxtxFdxxuYSx ），（02222 ），（txFxuYtu 在两端固定弦的自由问题中，若弦在两端固定弦的自由问题中，若弦受到一与速度成正比的阻力，试导受到一与速度成正比的阻力，试导出弦的阻尼振动方程。出弦的阻尼振动方程。xuxdxx 1 2 1T2T设单位长弦线所受阻力为设单位长弦线所受阻力为 b为常数为常数如图：任意小段如图：任意小段dx的受力情况。的受力情况。x0时，设时，设x段平均速度为段平均速度为则则x段所受阻力为段所受阻力为x方向：方向：u方向：方向：ubt ut ubxt 2211T cosT cos 22

18、2112uuT sinT sinbxxtt 在小振动情况下有在小振动情况下有11xusintanx 22xxusintanx 120 12coscos1 12TTTf阻阻2212xxxuuuuTTbxxxxtt 2xxx2uuTb uuxxxtt 2222Tub uuxtt 22222uuuacxtt2Ta bc 2xxttt(a uucu )课下作业：试推导课下作业：试推导一匀质细圆锥杆的一匀质细圆锥杆的纵振动方程纵振动方程要想将一个具体的物理过程完整的翻译成数学语言，必须要写出它的定解问题即： 泛定方程 数理方程定解问题 初始条件 定解条件 边界条件 衔接条件泛定方程即数理方程本身。泛定方

19、程只能反映和描绘同一类现象的共同规律。对于一个具体的物理问题的具体特殊的一面，还必须通过定解条件来反映，而欲正确的写出定解条件，必须注意以下几个方面的问题：1. 正确地理解题意，正确区分外源条件、边界条件、初始条件。2. 正确理解并运用物理学规律。3. 注意初始条件和边界条件的个数应恰如其分、不多不少。22222uua0tx例1：两端固定弦的自由振动问题，对于上文的结果可知仅由一维齐次方程 还不能得到确定的位移函数u(x,t)试求出其边界条件边界条件。由于弦的两端固定不动，所以不管什么时候u(x,t)在x=0和x=l处取值均为0，即x 0u0 x lu0即为位移函数u(x,t)在区间边界点的数

20、值的限定，称为第一类边界条件例例2：长为l的均匀弦两端x=0和x=l固定，弦中张力为T,在x=x0处以横向力F拉弦，达到稳定后放手任其振动，试写出初始条件初始条件。x01hxuF20设弦x0处受到横向力作用后所发生的位移为h，则t 0u0hxx00 xx0()hlxlx0 xxl其中h待求，又设x0 左右两边的弦中的张力分别为T1 、T2 由牛顿定律可得：1122sinsin0 FTT220sintan hlx2211coscos0 TT其中其中T1 T2 1 2均为辅助量，只要找出辅助量均为辅助量，只要找出辅助量和已知量和已知量h的关系后代入并求解上面的方程组，的关系后代入并求解上面的方程组

21、，即可求的即可求的h。由于在小振动情况下有：由于在小振动情况下有：110sintan hx12coscos1 12TTT00hhFTTxlx解得解得：00()Fx lxhTl代入上面方程中解得代入上面方程中解得：t 0u00 xx0()TFxlxl0 xxl0()TF lxxl例例3 一根长一根长 l 两端固定的弦，用手将其中点两端固定的弦，用手将其中点横向拨开距离横向拨开距离h，然后放手任其振动。写出，然后放手任其振动。写出弦振动方程和初始条件。弦振动方程和初始条件。0 xuhl2lx解解泛定方程：泛定方程：02 xxttuau初始条件：初始条件：00 ttu lllxllhxlhtxut，

22、）（）；（220220例例4 杆的纵向振动杆的纵向振动当两端（当两端（x = 0，x= l）受沿外法线纵向）受沿外法线纵向外力外力 f（t）作用时：）作用时：相对伸长：相对伸长：xtuxudxdu xuYSf 根据胡克定律：根据胡克定律：边界条件：边界条件：YStfxunuxx）（ 00YStfxunulxlx）（ YStfxux）（ 0YStfxulx）（ 当两端（当两端（x = 0，x= l）不受外力自由振动时：）不受外力自由振动时：边界条件：边界条件：00 xxu0 lxxu例例5 细杆的导热问题细杆的导热问题当一端（当一端（x= l）有热量流）有热量流q（t）沿端点外法）沿端点外法线方

23、向流出时：线方向流出时：lxlxxuKnuKtq ）（边界条件：边界条件：）（tqKxulx1 当一端（当一端（x= l）有热量流）有热量流q（t）沿端点外法）沿端点外法线方向流入时：线方向流入时：lxlxxuKnuKtq ）（边界条件：边界条件：）（tqKxulx1 当一端（当一端（x= 0）有热量流）有热量流q（t）沿端点外法）沿端点外法线方向流出时：线方向流出时：00 xxxuKnuKtq）（）（边界条件：边界条件：）（tqKxux10 当一端（当一端（x= 0）有热量流）有热量流q（t）沿端点外法）沿端点外法线方向流入时：线方向流入时：00 xxxuKnuKtq）（）（边界条件：边界条

24、件：）（tqKxux10 当两端（当两端（x= 0，x=l）绝热时：）绝热时：边界条件：边界条件：00 xxu0 lxxu例例6 杆的纵向振动杆的纵向振动设杆的一端（设杆的一端（x = l）与固定物作弹性连结）与固定物作弹性连结该端相对伸长：该端相对伸长：lxtxudxdu 杆中弹性力：杆中弹性力：lxxuYSp 弹簧恢复力：弹簧恢复力：lxkuf 根椐根椐 p = f 0 lxxukYSu）（lx x0 pf15 定解问题定解问题 达朗贝尔公式达朗贝尔公式一、定解问题一、定解问题 1 定解问题定解问题 = 泛定方程泛定方程 + 定解条件定解条件2 定解问题的适定性定解问题的适定性如果一个定解

25、问题的解满足：如果一个定解问题的解满足：（1）解的存在性）解的存在性有解有解（2）解的唯一性）解的唯一性只有唯一的解只有唯一的解（3）解的稳定性）解的稳定性对定解条件有连续依赖性对定解条件有连续依赖性则称这个定解问题是适定的。则称这个定解问题是适定的。怎样解一个定解问题？怎样解一个定解问题？通常必须将泛定方程和定解条件作为整体来解。通常必须将泛定方程和定解条件作为整体来解。极个别可先求泛定方程通解，再由定解条件确极个别可先求泛定方程通解，再由定解条件确定通解中的待定函数。定通解中的待定函数。二、达朗贝尔公式二、达朗贝尔公式求解一维齐次波动方程求解一维齐次波动方程022222 xuatu1 通解

26、：通解：作变量代换作变量代换atx atx ）（ 21x）（ at21tututu uaua）（ uua）（ uutatu22）（tutututua 222222 ）（）（ ututa）（222222222 uuuatuxuxuxu atx atx uu）（ uuxxu22xuxuxuxu 222222222222 uuu022222 xuatu02 u02 u0 ）（ u先对先对 积分：积分： ）（）（ fddu 0再对再对 积分：积分： ）（ 2fduu ）（）（ 2fdf ）（）（ 21ff ）（）（atxfatxfu 21通解：通解：表示两个以速度表示两个以速度 a 向左右两方传播的行

27、波向左右两方传播的行波）（ fu 2 由定解条件确定函数由定解条件确定函数 f1和和 f2（1）无界空间（无限长弦的振动）无界空间（无限长弦的振动）初始条件：初始条件：）（ x）（xut 0）（xtut 0）（）（atxfatxfu 21）（）（）（xxfxf 21将初始条件代入通解：将初始条件代入通解：）（）（）（xxafxaf 21 dxfxfaxfxfaxx 0022011）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（02012101xfxfdaxfxfxx 积分积分）（）（）（xxfxf 21）（）（）（）（）（02012101xfxfdaxfxfxx 解方程组解方程组 ）（）（）（）（）（020112121210 xfxfdaxxfxx ）（）（）（）（）（020122121210 xfxfdaxxfxx ）（）（atxfatxfu 21 ddaatxatxatxxatxx）（）（）（）（002121 daatxatxatxatx）（）（）（ 2121 daatxatxtxuatxatx）（）（）（），（ 2121达朗贝尔公式达朗贝尔公式初位移初位移例例 设初速设初速0 ）（x 212212111220121022022xxxxxxxxxxx