线性代数第三章矩阵的初等变换与线性方程组课件

1、2021/8/61线性代数线性代数2021/8/62第三章第三章 矩阵的初等变换矩阵的初等变换与线性方程组与线性方程组第一节第一节 矩阵的初等变换矩阵的初等变换 第二节第二节 矩阵的秩矩阵的秩 第三节第三节 线性方程组的解线性方程组的解 2021/8/63 本章先引进矩阵的初等变换，建立本章先引进矩阵的初等变换，建立矩阵的秩的概念矩阵的秩的概念, ,并利用初等变换讨论矩并利用初等变换讨论矩阵的秩的性质然后利用矩阵的秩讨论线阵的秩的性质然后利用矩阵的秩讨论线性方程组无解、有唯一解或有无穷多解的性方程组无解、有唯一解或有无穷多解的充分必要条件，并介绍用初等变换解线性充分必要条件，并介绍用初等变换解

2、线性方程组的方法方程组的方法2021/8/641 矩阵的初等变换矩阵的初等变换一、消元法解线性方程组一、消元法解线性方程组 二、矩阵的初等变换二、矩阵的初等变换 三、小结三、小结 2021/8/65引例引例)1(求解线性方程组求解线性方程组 , 97963, 42264, 42, 224321432143214321xxxxxxxxxxxxxxxx1342分析：用消元法解下列方程组的过程分析：用消元法解下列方程组的过程2 2021/8/66解解)(1B)1()(2B2 132 , 97963, 232, 22, 424321432143214321xxxxxxxxxxxxxxxx13422 1

3、32 33 14 , 3433, 6355, 0222, 424324324324321xxxxxxxxxxxxx13422021/8/67)(3B)(4B , 3, 62, 0, 42444324321xxxxxxxxx13425 221 33 422 , 00, 3, 0, 4244324321xxxxxxxx134232 443用用“回代回代”的方法求出解：的方法求出解：2021/8/68于是解得于是解得 33443231xxxxx.3为任意取值为任意取值其中其中x方方程程组组的的解解可可记记作作或或令令,3cx ,3344321 cccxxxxx.为为任任意意常常数数其其中中c 303

4、40111cx即即（2）2021/8/69小结：小结：1上述解方程组的方法称为消元法上述解方程组的方法称为消元法 2始终把方程组看作一个整体变形，用到始终把方程组看作一个整体变形，用到如下三种变换如下三种变换（1）交换方程次序；）交换方程次序；（2）以不等于的数乘某个方程；）以不等于的数乘某个方程；（3）一个方程加上另一个方程的）一个方程加上另一个方程的k倍倍ij（与相互替换）（与相互替换）（以替换）（以替换）ik ij（以替换）（以替换）ik i2021/8/6103上述三种变换都是可逆的上述三种变换都是可逆的由于三种变换都是可逆的，所以变换前的由于三种变换都是可逆的，所以变换前的方程组与变

5、换后的方程组是同解的故这三种方程组与变换后的方程组是同解的故这三种变换是同解变换变换是同解变换ji)(A若若),(B)(B则则);(Ajik )(A若若),(Bji)(A若若),(Bik )(B则则);(Aik )(B则则).(Ak ji2021/8/611因为在上述变换过程中，仅仅只对方程组因为在上述变换过程中，仅仅只对方程组的系数和常数进行运算，未知量并未参与运的系数和常数进行运算，未知量并未参与运算算若记若记 97963422644121121112)(bAB则对方程组的变换完全可以转换为对矩阵则对方程组的变换完全可以转换为对矩阵B(方方程组（程组（1）的增广矩阵）的变换）的增广矩阵）的

6、变换2021/8/612定义定义1 ）；记记作作两两行行对对调调两两行行（对对调调jirrji,1 ;02乘乘以以某某一一行行的的所所有有元元素素以以数数 k）记记作作行行乘乘（第第krkii , .3 ）记记作作行行上上倍倍加加到到第第行行的的对对应应的的元元素素上上去去（第第倍倍加加到到另另一一行行把把某某一一行行所所有有元元素素的的jikrrikjk 下面三种变换称为矩阵的初等行变换下面三种变换称为矩阵的初等行变换:2021/8/613定义定义2 矩阵的矩阵的初等列变换初等列变换与与初等行变换初等行变换统称为统称为初等变换初等变换 初等变换的逆变换仍为初等变换初等变换的逆变换仍为初等变换

7、, 且变换类且变换类型相同型相同 同理可定义矩阵的初等列变换同理可定义矩阵的初等列变换(所用记号是所用记号是把把“r”换成换成“c”)jirr kri 逆变换逆变换;jirr 逆变换逆变换;)1(krkrii 或或jikrr 逆变换逆变换.)(jijikrrrkr 或或2021/8/614等价，记作等价，记作与与就称矩阵就称矩阵，矩阵矩阵经有限次初等变换变成经有限次初等变换变成如果矩阵如果矩阵BABABA行行等等价价，记记作作与与就就称称矩矩阵阵，成成矩矩阵阵经经有有限限次次初初等等行行变变换换变变如如果果矩矩阵阵BABABAr等等价价，记记作作列列与与就就称称矩矩阵阵，成成矩矩阵阵经经有有限

8、限次次初初等等列列变变换换变变如如果果矩矩阵阵BABABAc2021/8/615等价关系的性质：等价关系的性质：；反身性反身性）（A A 1A;B , B A 2则则若若对对称称性性）（C. AC,BB, A 3则则若若）传传递递性性（具有上述三条性质的关系称为等价具有上述三条性质的关系称为等价例如，两个线性方程组同解，例如，两个线性方程组同解，就称这两个线性方程组等价就称这两个线性方程组等价2021/8/616用矩阵的初等行变换用矩阵的初等行变换 解方程组（解方程组（1）：）： 97963422644121121112B197963211322111241211B 21rr 23 r2021

9、/8/617331000620000111041211B 979632113221112412111B13322rrrr 143rr 234330635500222041211B 13322rrrr 143rr 23252rrr 243rr 2021/8/6185 00000310003011040101B 310006200001110412113B43rr 342rr 4 00000310000111041211B 43rr 342rr 21rr 32rr 2021/8/619对对应应的的方方程程组组为为5B 33443231xxxxx方方程程组组的的解解可可记记作作或或令令,3cx 33

10、44321cccxxxxx 30340111c.为为任任意意常常数数其其中中c2021/8/620.54都称为行阶梯形矩阵都称为行阶梯形矩阵和和矩阵矩阵BB特点：特点：（1）、可划出）、可划出一条阶梯线，线一条阶梯线，线的下方全为零；的下方全为零；5 00000310003011040101B （2）、每个）、每个台阶台阶 只有一行，只有一行，台阶数即是非零行的行数，阶梯线的竖线后面台阶数即是非零行的行数，阶梯线的竖线后面的第一个元素为非零元，即非零行的第一个非的第一个元素为非零元，即非零行的第一个非零元零元2021/8/621.1 5的其他元素都为零的其他元素都为零列列，且这些非零元所在的，

11、且这些非零元所在的零行的第一个非零元为零行的第一个非零元为即非即非还称为行最简形矩阵，还称为行最简形矩阵，行阶梯形矩阵行阶梯形矩阵B注意：行最简形矩阵是由方程组唯一确定的，行注意：行最简形矩阵是由方程组唯一确定的，行阶梯形矩阵的行数也是由方程组唯一确定的阶梯形矩阵的行数也是由方程组唯一确定的 行最简形矩阵再经过初等列变换，可化成行最简形矩阵再经过初等列变换，可化成标准形标准形.,A nm和行最简形和行最简形变换把他变为行阶梯形变换把他变为行阶梯形总可经过有限次初等行总可经过有限次初等行对于任何矩阵对于任何矩阵 2021/8/622 000003100030110401015 B214ccc 3

12、215334cccc 例如，例如，F 00000001000001000001 0000030100310104100143 cc 00000301003001040001.的的标标准准形形称称为为矩矩阵阵矩矩阵阵BF2021/8/623.为零为零阵，其余元素全阵，其余元素全的左上角是一个单位矩的左上角是一个单位矩F标标准准形形总总可可经经过过初初等等变变换换化化为为矩矩阵阵 Anm nmrOOOEF .,的行数的行数行阶梯形矩阵中非零行行阶梯形矩阵中非零行就是就是三个数唯一确定，其中三个数唯一确定，其中此标准形由此标准形由rrnm特点：特点： 所有与矩阵所有与矩阵 等价的矩阵组成的一个集等价

13、的矩阵组成的一个集合，称为一个等价类，标准形合，称为一个等价类，标准形 是这个等价类是这个等价类中最简单的矩阵中最简单的矩阵. .AF2021/8/624 化成行最简形。化成行最简形。，把，把设设例例EAA,032203120 1 100032010203001120),( EA解：解： 649100324010436001行变换行变换2021/8/625定理定理1 设设 与与 为为 矩阵，那么矩阵，那么ABnm （1） 的充分必要条件是存在的充分必要条件是存在 阶可逆矩阵阶可逆矩阵 ， 使使BArmP;BPA （2） 的充分必要条件是存在的充分必要条件是存在 阶可逆矩阵阶可逆矩阵 ， 使使B

14、AcnQ;BAQ （3） 的充分必要条件是存在的充分必要条件是存在 阶可逆矩阵阶可逆矩阵 阶可逆矩阵阶可逆矩阵 ,使使BAnQ.BPAQ mP2021/8/626推论：方阵可逆的充分必要条件是推论：方阵可逆的充分必要条件是 EAr:),(),(的行最简形，即的行最简形，即是是应应，则，则的行最简形记作的行最简形记作若把若把AEXEEA.EAr，即，即并可验证并可验证1 AXEAX).,(),(1 AEEAr2021/8/627利用初等变换求逆阵的方法：利用初等变换求逆阵的方法：. )(2 1 AEEAEAnn就就变变成成时时，原原来来的的变变成成当当把把施施行行初初等等行行变变换换，矩矩阵阵即

15、即对对).,(),(1 AEEAr2021/8/628. ,343122321 1 AA求求设设 解解例例 103620012520001321 100343010122001321EA122rr 133rr 21rr 23rr 2021/8/629 11110001252001120121rr 23rr 111100563020231001312rr 325rr 312rr 325rr ）（22 r）（13 r.111253232311 A 11110025323010231001）（22 r）（13 r2021/8/630 . 1BA 矩阵矩阵的方法，还可用于求的方法，还可用于求利用初等行

16、变换求逆阵利用初等行变换求逆阵E)()( 11BAEBAA )(BABA1 即即初等行变初等行变换换2021/8/631例例.341352,343122321 , BABAXX，其其中中使使求求矩矩阵阵解解.1BAXA 可可逆逆，则则若若 343431312252321)(BA2021/8/632 1226209152052321 311009152041201 311006402023001122rr 133rr 21rr 23rr 312rr 325rr 2021/8/633， 311003201023001.313223 X）（22 r）（13 r 311006402023001312r

17、r 325rr 2021/8/634例例3 3 求解矩阵方程求解矩阵方程XAAX ，其中，其中 010312022A解：解：AXEAXAAX )(),(AEA ).,(XEr2021/8/635例例4 4 设设 的行最简形矩阵为的行最简形矩阵为 ，求求 ，并求一个可逆矩阵，并求一个可逆矩阵 ，使，使 264211112AFFP.FPA 2021/8/6361.1.初等行初等行( (列列) )变换变换 ;1jijiccrr ;2kckrii .3jijikcckrr 初等变换的逆变换仍为初等变换初等变换的逆变换仍为初等变换, 且变换类型相同且变换类型相同3.3.矩阵等价具有的性质矩阵等价具有的性

18、质 ;1 反身性反身性 ;2 对称性对称性 .3 传递性传递性2.2.A初等变换初等变换B. BA2021/8/6374. 利用初等变换求逆阵的步骤是利用初等变换求逆阵的步骤是: EA构造矩阵构造矩阵1 1,2 AEEAEA对对应应部部分分即即为为右右边边后后化化为为单单位位矩矩阵阵将将施施行行初初等等行行变变换换对对2021/8/6382 矩阵的秩矩阵的秩一、矩阵秩的概念一、矩阵秩的概念 二、矩阵秩的求法二、矩阵秩的求法 三、小结三、小结 2021/8/639. , 数数是是唯唯一一确确定定的的梯梯形形矩矩阵阵中中非非零零行行的的行行梯梯形形，行行阶阶把把它它变变为为行行阶阶变变换换总总可可

19、经经过过有有限限次次初初等等行行任任何何矩矩阵阵nmA ., 12阶阶子子式式的的称称为为矩矩阵阵阶阶行行列列式式，的的中中所所处处的的位位置置次次序序而而得得变变它它们们在在不不改改元元素素处处的的个个），位位于于这这些些行行列列交交叉叉列列（行行中中任任取取矩矩阵阵在在定定义义kAkAknkmkkkAnm 矩阵的秩矩阵的秩. 个个阶子式共有阶子式共有的的矩阵矩阵knkmCCkAnm 2021/8/640.)(0102等于零等于零并规定零矩阵的秩并规定零矩阵的秩的秩，记作的秩，记作称为矩阵称为矩阵的最高阶非零子式，数的最高阶非零子式，数称为矩阵称为矩阵，那末，那末于于）全等）全等阶子式（如果

20、存在的话阶子式（如果存在的话，且所有，且所有式式阶子阶子的的中有一个不等于中有一个不等于设在矩阵设在矩阵定义定义ARArADrDrA .)( 子子式式的的最最高高阶阶数数中中不不等等于于零零的的是是的的秩秩矩矩阵阵AARAnm 简单结论简单结论: :，对于对于TA).()(ARART 显有显有1、2021/8/641，阶阶可可逆逆矩矩阵阵设设An , 0 A,AA的的最最高高阶阶非非零零子子式式为为,)(nAR .,EAEA的的标标准准形形为为单单位位阵阵故故.为为满满秩秩矩矩阵阵，故故称称可可逆逆矩矩阵阵可可逆逆矩矩阵阵的的秩秩等等于于阶阶数数.奇奇异异矩矩阵阵为为降降秩秩矩矩阵阵4、2、;

21、)(sARsA 阶阶子子式式不不为为零零，则则中中有有某某个个若若矩矩阵阵.)(tARtA 阶阶子子式式都都为为零零，则则中中所所有有若若矩矩阵阵3、.,min)(0nmARnmA 矩矩阵阵，则则为为若若2021/8/642例例1.174532321的秩的秩求矩阵求矩阵 A解解中，中，在在 A，阶子式只有一个阶子式只有一个的的又又AA3. 03221 ，且且0 A. 2)( AR2021/8/643例例2.00000340005213023012的秩的秩求矩阵求矩阵 B解解行行，其其非非零零行行有有是是一一个个行行阶阶梯梯形形矩矩阵阵，3B.4阶子式全为零阶子式全为零的所有的所有B, 0400

22、230312 而而. 3)( BR2021/8/644例例3 3，求求该该矩矩阵阵的的秩秩已已知知 510231202231A, 022031 102120231 502320231 解解计算计算A的的3阶子式，阶子式，, 0 , 0 510312223 512310221 , 0 , 0 . 0 . 2 AR2021/8/645做做初初等等变变换换，对对矩矩阵阵 510231202231A另解另解,000031202231510231202231 显然，非零行的行数为显然，非零行的行数为2， . 2 AR此方法简单！此方法简单！2021/8/646., 梯形梯形等行变换把他变为行阶等行变换把

23、他变为行阶总可经过有限次初总可经过有限次初因为对于任何矩阵因为对于任何矩阵nmA 问题：问题：经过初等变换矩阵的秩变吗？经过初等变换矩阵的秩变吗？ . ,1 BRARBA 则则若若定理定理推论推论 若可逆矩阵若可逆矩阵 使使 则则 QP,BPAQ )()(BRAR 2021/8/647初等变换求矩阵秩的方法：初等变换求矩阵秩的方法： 把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵，把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵，行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩.例例4的的一一个个最最高高阶阶非非零零子子式式秩秩，并并求求的的求求矩矩阵阵设设AAA,41461351021

24、632305023 阶梯形矩阵：阶梯形矩阵：作初等行变换，变成行作初等行变换，变成行对对A解解2021/8/648 41461351021632305023 A 0502335102163234146141rr 2021/8/649 41461351021632305023 A 050233510211340414614241rrrr 2021/8/650 1281216011791201134041461 41461351021632305023 A4241rrrr 141332rrrr 2021/8/651 84000840001134041461 00000840001134041461

25、 由阶梯形矩阵有三个非零行可知由阶梯形矩阵有三个非零行可知. 3)( AR233rr 244rr 34rr 2021/8/652 . 的的一一个个最最高高阶阶子子式式求求 A , 3)( AR . 3阶阶的的最最高高阶阶非非零零子子式式为为知知A阶子式共有阶子式共有的的 3A . 403534个个 CC阶阶梯梯形形矩矩阵阵为为的的行行则则矩矩阵阵记记),(),(42154321aaaBaaaaaA 的行阶梯形矩阵，的行阶梯形矩阵，考察考察A 000400140161, 3)( BR2021/8/653的的前前三三行行构构成成的的子子式式计计算算B .3阶阶非非零零子子式式中中必必有有故故 B.

26、4个个且且共共有有623502523 1106502523 116522 . 016 则这个子式便是则这个子式便是 的一个最高阶非零子式的一个最高阶非零子式.A2021/8/654例例5 5 4321,6063324208421221bA设设 .)(的的秩秩及及矩矩阵阵求求矩矩阵阵bABA 解解),( bABB 的的行行阶阶梯梯形形矩矩阵阵为为设设分析：分析：的行阶梯形矩阵，的行阶梯形矩阵，就是就是则则AA).()(),(BRARbAB及及中中可可同同时时看看出出故故从从 2021/8/655 46063332422084211221B 13600512000240011221131222rr

27、rr 143rr 2021/8/656 10000500000120011221 000001000001200112212322rrr 243rr 53 r34rr . 3)(, 2)( BRAR2021/8/657例例6 设设 3651231121A已知已知 ，求，求 与与 的值。的值。2)( AR 2021/8/658矩阵秩的的性质：矩阵秩的的性质：1、.,min)(0nmARnmA 矩矩阵阵，则则为为若若，对于对于TA).()(ARART 显有显有2、 . ,3BRARBA 则则、若若 . ,4ARPAQRQP 则则可可逆逆、若若 ., )(),(max5BRARBARBRAR 、 .

28、 6BRARBAR 、 .,min 7BRARABR 、 ., 8nBRAROBAlnnm 则则若若、 . 1, )( ARbARARbB为为列列向向量量时时有有特特别别地地，当当2021/8/659。nERAEREAR )2()()(证明：证明：得得：有有性性质质因因为为6,2)()(EAEEA ，所所以以而而)()(AEREAR 。nEAREAR )()(例例7 设设A为为n阶矩阵，证明阶矩阵，证明R(A+E)+R(A-E).n 2021/8/660例例8 证明：若证明：若 且且 ，则，则 ,CBAlnnm nAR )().()(CRBR 2021/8/661(2)(2)初等变换法初等变换

29、法1. 矩阵秩的概念矩阵秩的概念2. 求矩阵秩的方法求矩阵秩的方法(1)(1)利用定义利用定义(把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵，行把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵，行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩).(即寻找矩阵中非零子式的最高阶数即寻找矩阵中非零子式的最高阶数);2021/8/662思考题思考题的的秩秩，其其中中阶阶矩矩阵阵求求例例：Ann)2( abbbabbbaA2021/8/6633 线性方程组的解线性方程组的解一、线性方程组有解的判定条件一、线性方程组有解的判定条件 二、线性方程组的解法二、线性方程组的解法 三、小结、思考题三、小结

30、、思考题2021/8/664的的解解讨讨论论线线性性方方程程组组的的秩秩，和和增增广广矩矩阵阵如如何何利利用用系系数数矩矩阵阵bAxBA 问题：问题：11112211211222221122nnnnmmmnnma xa xa xba xa xaxbaxaxaxb （3）线性方程组（线性方程组（3）如果有解，就称它是相容的，）如果有解，就称它是相容的，如果无解，就称它不相容。如果无解，就称它不相容。2021/8/665 000000000100111,1, 111rrrnrrrndddbbbbB .,)()3;,)()2;,)()12nbARARnbARARbARARbxAnnm 条件是条件是有

31、无限多解的充分必要有无限多解的充分必要件是件是有唯一解的充分必要条有唯一解的充分必要条无解的充分必要条件是无解的充分必要条件是元非齐次线性方程组元非齐次线性方程组定理定理证明：证明： 只需证条件的充分性即可。只需证条件的充分性即可。的行最简形为：),(不妨设,)(为了叙述方便，设bABrAR2021/8/6661( )( ),1,101rR AR BBdBr 1 1) ) 若若则则 中中的的于于是是 的的第第行行对对应应矛矛盾盾方方程程，故故方方程程组组无无解解。1()(),0,rijR AR BnBdbB 2 2) ) 若若则则 中中的的（或或不不出出现现），且且也也不不出出现现 于于是是

32、对对应应方方程程组组1122nnxdxdxd 故方程有惟一解。故方程有惟一解。1( )( ),0,rR AR BrnBdB 3) 3) 若则 中的（或不出若则 中的（或不出现）于是 对应方程组现）于是 对应方程组 2021/8/66711111,111,rn rnrrrr n rnrxb xbxdxb xbxd 11,rnn rxcxc 令令自自由由未未知知量量则则111 11,11 1,11n rn rrrr n rn rrrnn rxb cbcdxb cbcdxcxc 2021/8/6681111100rbbc 112rrrnxxxxx 1,001n rr n rn rbbc 1000rd

33、d （*）解（解（*）称为线性方程组（）称为线性方程组（3）的通解。）的通解。由于参数由于参数1,n rcc 可取任意值，故方程组（可取任意值，故方程组（3）有无限）有无限多个解。多个解。2021/8/669定理定理4 n元齐次线性方程组元齐次线性方程组Ax=0有非零解的充有非零解的充分必要条件是分必要条件是R(A)n.定理定理5 线性方程组线性方程组Ax=b有解的充分必要条件是有解的充分必要条件是R(A)=R(A,b).定理定理6 矩阵方程矩阵方程AX=B有解的充分必要条件是有解的充分必要条件是R(A)=R(A,B).定理定理7 设设AB=C，则则 .)(),(min)(BRARCR 202

34、1/8/670小结小结有唯一解有唯一解bAx nBRAR nBRAR 有无穷多解有无穷多解. .bAx 方程组的通解方程组的通解组的任一解，称为线性组的任一解，称为线性定义：含有参数的方程定义：含有参数的方程齐次线性方程组齐次线性方程组：系数矩阵化成行最简形矩阵，：系数矩阵化成行最简形矩阵，便可写出其通解；便可写出其通解；非齐次线性方程组：非齐次线性方程组：增广矩阵化成行阶梯形矩增广矩阵化成行阶梯形矩阵，便可判断其是否有解若有解，化成行最阵，便可判断其是否有解若有解，化成行最简形矩阵，便可写出其通解；简形矩阵，便可写出其通解；2021/8/671例例1 1 求解齐次线性方程组求解齐次线性方程组

35、.034022202432143214321 xxxxxxxxxxxx解解 341122121221A 463046301221施行初等行变换：施行初等行变换：对系数矩阵对系数矩阵 A13122rrrr 2021/8/672 0000342101221)3(223 rrr212rr 00003421035201即得与原方程组同解的方程组即得与原方程组同解的方程组 , 0342, 0352432431xxxxxx2021/8/673 ,342,3522413222221cxcxccxccx).,(43可任意取值可任意取值xx由此即得由此即得 ,342,352432431xxxxxx形形式式，把把

36、它它写写成成通通常常的的参参数数令令2413,cxcx .1034350122214321 ccxxxx2021/8/674例例 求解非齐次线性方程组求解非齐次线性方程组 . 3222, 2353, 132432143214321xxxxxxxxxxxx解解对增广矩阵对增广矩阵B进行初等变换，进行初等变换， 322122351311321B13122rrrr 10450104501132123rr 200001045011321, 3)(, 2)( BRAR显显然然，故方程组无解故方程组无解2021/8/675例例 求解非齐次方程组的通解求解非齐次方程组的通解.2132130432143214

37、321 xxxxxxxxxxxx解解 对增广矩阵对增广矩阵B进行初等变换进行初等变换 2132111311101111B 21210014200011112021/8/676.00000212100211011 , 2 BRAR由由于于故方程组有解，且有故方程组有解，且有 2122143421xxxxx 42442342242102120021xxxxxxxxxxxx2021/8/677.02102112000011424321 xxxxxx.,42任任意意其其中中xx所以方程组的通解为所以方程组的通解为2021/8/678例例 求求出出它它的的一一切切解解在在有有解解的的情情况况下下，是是有有解解的的充充要要条条件件证证明明方方程程组组. 054321515454343232121 aaaaaaxxaxxaxxaxxaxx解证解证对增广矩阵对增广矩阵B进行初等变换，进行初等变换，方程组的增广矩阵为方程组的增广矩阵为2021/8/679 543211000111000011000011000011aaaaaB 5143210000011000011000011000011iiaaaaa 051 iiaBRAR2021/8/680. 051 iia是是方方程程组组有有解解的的充充要要条条件件由于原方