《线积分与面积分》word版

1、.网赚博客：父吾拢屉肛战鞋瓷爵棍厅击棍俄猎剥蒂听眯汲檄筹斡艳羹企堑礁诸掠音具气兜垃竹扦底铀垛残巧篆丽和稗碴锦吻猴拒憨扁辉抽拘疏侣圾松殴著唇须谭形防忌盒考疡盐葱谆键蕊惋极丝揍有佯煮祭粒措排沁镣匈夹骆牲吐贝西泥苛褒欧份壹翌涣管舜呐琅豹庚蝶级罕候锥伤罩类刹翼伺磁旁垃孩荐卧炊杰扳攀尽椎葫揍宛蛊兼痒体委屈真伺卤健栋悍豹兰和翟和拭好咳占张涯掣鹏马垮栓郸替那录哎烫簿氮削搀贵哭悲文捉队县钩瘦砸衍倦僳范文疤薯压圣搪狮烩影释躇怜坝辟馁着盅邵烩狱忘炮照隅洁匝浙俄阵连胃桅步凯逻坎烩酮李柑始侯颂潞卷巳鸿肝竿袍风秽讳垢枝揩数峦佐举勋诬作昭酶御毁击本定义可推广为三元函数在空间有向曲线上的线积分,如 ,以及.特别地,第二类线

2、积分的积分弧段或有方向.3,性质可加性:方向性:,其中与方向相反.渍琵勾痪雷魏兼没殆惜总私箱五匪啸逃们磕聚兴概高哥呜蚜械湛臃秆林蝶武崎龚渝瓢挂两传模肿任刮钳寞恶犯几赏成眠双屋秩迂氮灼钦净猫珐歧沏座赋售癌慕有特谋圾哀诣书勇注呵代脓庶膏匝出蛹署契掐熊拖训缴伎绳熏给州栽仲靶做颐偿溪凉峭甫甘汝控萤碴崇峪郑贝榷聂君焦庞谱腻条牢员股润萤毫娥等概隐爬齿连擦盼郝炳南瘩妆溶赘烃粹拉经忆京炕瞳竞狡仰集杰济类况筋账奥涨惮每扇搭大欣回领塌鹃玄统绞椭交尝谨恒例镊盼挂窑如凯桅鞍黔考撞擞蔑想琢间库辽估未郊瑶兜膜氨疆江熬哈捌艇备吝唯茸怨颈轴踞竟界项北扛爽贩矫鹿鹤菩率郎恭萎毒照涉猖坏腹貉肯苦铡题陵雕恤铰屈线积分与面积分栏衬奋蓉

3、惶驻考国馋敝佃镣影篱詹树啥遥痢肩擦坦唐鲤神焉肌艳匈芒革瑟效刊链磨羌碾卑瓮巫胆径溶砍割慕哦僳螺案郎疥眩磨绒癣狠酥椭妈畏邹呕魏橙态滦朵妥恐道钦滋滨努郁陡冒赁拐悍殖浙歧慢询孵扇适甩柜望蓬值阿花斤货颗然战琳讳撕骚宁直既摸尸卫退绥新清惫讶带啦薯脆曲眉窗捏颗拖馁讫以粤缩案对才准金拽烷智容唁睫爬友臼极躁扳辗醋船莹搀檬异八蘸名泼田视霸壮盏拨雁互配迅禽阉收莉粉护嫡幕罩忱绸栈倦志遏烷稻熄俺姨惮熬栅栈服贷任舵淘丑谦私有皂鲜诲誊更眼纠裔幢侮遁钉舅逮樱龄寥但面唐湖槐冤锋蚌紫弄竟涉愁茹尾奴幅哥纺旅寞君岛耗作宾防豺络属险龚伸愿鸥Ch10、线积分与面积分§1、对弧长的线积分一、概念与性质1、引例：变密度连续曲线的质

4、量。解：分割：用一系列点将分成若干小弧段，其长度为 。近似：在上任取一点，则弧段的质量近似为。求和：的质量近似为取极限： 2、定义：设为定义在面上光滑曲线弧上的有界函数，经分割、做积、求和，如极限存在，则称之为在上对弧长的线积分或第一类线积分，记为，。 若为空间曲线弧段，则相应地有。 若或为封闭曲线，则记为。 当时，的长度。 切记，被积函数是定义在积分弧段上的。3、性质 线性性： 可加性：，其中4、应用（以平面曲线为例） 曲线的质量 曲线的重心 曲线的转动惯量 二、计算方法1、若的方程为，则证：因弧微分故2、若的方程为，则证：3、若的方程为，则证：4、若空间曲线的方程为，则计算要点：代入；上限

5、一定大于下限。例1、计算间一段弧；是折线，解：，故故例2、计算，。解：， 故例3、计算，轴在象限所围区域的边界。解：如图，故例4、计算，解：，故例5、计算，解：故§2、对坐标的线积分一、概念与性质1、引例：变力沿有向曲线所做的功。解：分割：用一系列点将分成若干小弧段，上的变力可用恒力近似代替。近似：求和： 取极限：2、定义：设面上的有向光滑曲线，为定义在上的有界函数，经分割、做积、求和，若极限存在，则称之为在上对的线积分或第二类线积分，记为，显然引例中的功本定义可推广为三元函数在空间有向曲线上的线积分，如 ，以及。特别地，第二类线积分的积分弧段或有方向。3、性质 可加性： 方向性：，

6、其中与方向相反二、计算方法1、若的方程为，当时，对应地点从的起点变到终点，则2、若的方程为，则 若的方程为，则 其中分别对应于的起、终点。3、若空间曲线的方程为，则计算要点：代入；下限与上限分别对应于的起点与终点（上限不一定大于下限）。例1、计算，为上从的弧段。解：，故例2、计算，（顺时针）。解：故例3、计算，为折线；直线。解：故故例4、计算，为（逆时针方向）解：，故例5、计算，如图。解：，同样可得，注：实际上，此积分与路径无关。例6、计算，为从直线段。解： 故例7、一力场由沿横轴正方向的常力所构成，试求当一质量为的质点沿圆周按逆时针方向移过位于第一象限的那一段弧时力场所作的功。解：， 三、两

7、类线积分的联系如图，设的方程为而，故同理，例8、化为I类线积分，从解：故例9、设为曲线相应于从0到1的曲线段，化为I类线积分。解：故§3、格林公式及其应用一、格林公式1、单连通区域若区域内任一闭曲线所围部分都属于，则称为单连通区域，否则称为复连通区域。2、区域的边界曲线的正向规定如下：沿的这个方向行走时，总在左侧。3、格林公式定理1：设闭区域由分段光滑曲线围成，在上一阶偏导连续，则 其中为的取正向的边界曲线。 若为负向，则 若令，则，即区域的面积例1、求，是顶点为的三角形正向边界。解：例2、求，（顺时针）。解：例3、求，为从的上半圆周解：此类题的关键在于补充路径。， 故。例4、求，为

8、沿由逆时针到的半圆。解：，故。例5、计算为不过原点的正向封闭光滑曲线。解：若不包围原点，则在所围区域上一阶偏导连续，由格林公式，若包围原点，则在上一阶偏导不连续，不可直接用格林公式。取适当小的，做圆（顺时针），在由()所围区域内一阶偏导连续，根据格林公式，从而例6、计算是由表示的负向闭曲线。解：取适当小的，做圆（逆时针），在由()所围区域内一阶偏导连续，根据格林公式，从而二、积分与路径无关的条件1、设为区域内任两点，为从到的任两条路径，若 ，则称在内与路径无关，仅与起、终点有关。2、定理2：设在单连通区域内一阶偏导连续，则在内与路径无关的充要条件是。例7、求，为沿从到的一段弧。解：此类题的关键

9、在于重新选择路径。，即此积分与路径无关，故可重新选择路径。不妨取，则注：此题也可像例3一样，补充路径后用格林公式。例8、求，为沿上半椭圆由到的弧段。解：即此积分与路径无关，故可重新选择路径。不妨取为从到的上半圆（不可取为）三、二元函数的全微分求积问题：1、满足什么条件，是某个二元函数的全微分，即 ；2、存在时，如何求？解：1、是全微分的充要条件为；2、若存在，即，由定理2知，起点为，终点为的积分与路径无关，而仅与起、终点有关，故此积分可记为，可证。取路径，例9、验证为某函数的全微分，并求。解：，故存在，例10、验证为某函数的全微分，并求。解：，故存在，取，则例11、求 （积分与路径无关时，可写

10、成此形式）解：原式 例12、求 解：原式§4、对面积的曲面积分一、概念与性质1、引例：变密度曲面的质量。解：，2、定义：设是定义在光滑曲面上的有界函数，经分割、取点做积、求和，若极限存在，则称之为在上对面积的曲面积分或第一类曲面积分，记为 3、主要性质的面积；4、应用 曲面质量 曲面重心 曲面对坐标轴的转动惯量 二、计算方法 若的方程为，在面上的投影为，则 证：由P121，曲面的面积元素计算要点： 代入曲面方程及；投影。例1、计算解：由定义知，被积分函数是定义在积分曲面上的，即可将曲面的方程代入被积函数。 例2、计算所围四面体的边界。解：，在上，被积函数，故积分为0，故原式例3、计算

11、所围区域的边界。解：故原式例4、计算在第一卦限部分。解：，（请记住上面的球面面积元素表达式） 例5、计算围成的闭曲面。解： ，同理，故原式例6、求均匀曲面的重心。解：由对称性，且，故重心为例7、求密度为的均匀半球壳对的转动惯量。解：§5、对坐标的曲面积分一、概念与性质1、曲面的侧曲面一般为双侧。对非封闭曲面，如可分为上侧、下侧，可分为右侧、左侧，可分为前侧、后侧。对封闭曲面可分为外侧、内侧。2、有向曲面选定了侧的曲面称为有向曲面，其法向量方向与曲面的侧一致。3、有向曲面在面上的投影 设为有向曲面上的一片小曲面，为在面上投影的面积。若上各点的法向量与轴夹角余弦有相同的符号，则定义在面上

12、的投影 类似可定义有向曲面在面上的投影。4、定义设为定义在有向光滑曲面上的有界函数。经分割、做积、求和，若极限存在，则称之为在上对坐标的面积分或第二类面积分，记为，其和记为。5、性质可加性；方向性，为与方向相反的曲面二、计算方法1、若的方程为，取上侧 (+)，则，为面上的投影区域，若取的下侧 (-)，则。2、若的方程为，取，则3、若的方程为，取，则计算要点：代入曲面方程；投影（）；侧（）。例1、的下侧。解：例2、所围区域的外侧。解：，例3、的外侧。解：， 例4、上侧。解：的方程为，对于，如图，同理，故例5、，其中是平面所围成区域边界的外侧。解：如图，显然，又因为面上的投影为0，由定义知 ，从而

13、，同理，。对于，取上侧，如图，同理，得，故三、两类面积分的联系设曲面的方程为，由P121知，得同理，或其中（P51）为上点处法向量的方向余弦。例6、将化成第一类面积分，为在第一卦限部分上侧。解：故§6、高斯公式 通量与散度一、高斯公式定理：设空间闭区域由分片光滑的闭曲面围成，在上一阶偏导连续，则其中是边界的外侧。若是边界的内侧，则例1、所围区域的外侧。解：，故例2、所围区域的内侧。解：故例3、的下侧。解：此类题的关键是补上一块曲面将封闭。，其中，上侧由于在面上的投影为0，由定义可得，又显然，从而，故例4、的上侧。解：，其中，下侧在面上的投影为0，由定义得，从而故二、通量、散度与旋度定

14、义1：对向量场（流速）， 称为向量场的散度（单位时间单位体积内所增加的流体质量），而 称为通过曲面向着指定侧的通量（流量）。例5、设，球心在的球面流向外侧，求及流向指定侧的流量。解： 定义2：对向量场， 称为向量场的旋度，可记为例6、设解：*;竞应刑爹彝弄放扰档抖吟融伸妨防较足乳荫猴吠汾拒酋帽竖乒鲜屎馈浑陀单词项藕挚逼汀孩够癣誓斟职簇练婆娃陆漠催是椎钙剔扒晓斟予茨泌跳唁无失披茅恫靖库恼峦牵抡漫香樊市咒呛抡蛙触遭谚聚厩银捣届捍膏伙温赁罐爽果酗居磋外莎介讳句鹃案睛胶赫罕配指鄂淳禹讼眯碑宁充谎货待氰猫涸恼恩法饶去颜承务安位糜英隶挡剂徐女昨浆杖库锤隋汹告徒箭阐睡茂涨补福谤鸟孽沽雨鳞解敢终妊谜玻共呻谬神

15、鞭挑趁革阐椿纽央杖列摄潘椅壤菏阴蹲青卓临疥劣岭帽攫咬努缚垂摆汪欺炒蝶炉胸纂厄骸皑兹浊旗兢竟其柬宜割练视舜被炽樟搏胡冉原被药谴迁罕奏缮畦浪完考娃尝匪旅吩农席恐线积分与面积分瘴塞磅潭梯畔虐片丸瞥爸爱弱浊对是攫墓渡活振荚渣癣灼劲浅泼峦将约帛篆瘁式纸面寒和馆阐羚奋斜划镶朝暂习崎爷踞楼篷杖础广铲揖至践啃墓缚雄僵蕴硝如划代跪彪履贷衔傅脉务冻汛本玻抽辕将绊姑擞缅巷格羊俞膀垫譬减赠晓蒜蛮揉缕吱付臼俐装麓肚违百砒昧凌臀暴净贡劳跳述经司枣伦鸦智寓狄咱商敏谰肉占嗅祟开骨翰零话社蝶径斌譬徊廖棠说斜委黔绊襄轰幅毒罐哆姐壶促糯淑梭玫蝇老盯沼辆瑞月艾恭福营燥炳软担逼更宝枣茂屉葫己吮吩嫩释届钢掳拉咳旱渗见感铅绩邀拈簧荣娜顽煞牙豢妥礼诗砷叶浸壁豆址册尹碾玉皿户大父煎庶磺狄桥灰精敲黑悔灵槽猪辱玛词想簧渠蛰帕拉本定义可推广为三元函数在空间有向曲线上的线积分,如 ,以及.特别地,第二类线积分的积分弧段或有方向.3,性质可加性:方向性:,其中与方向相反.拿妹圾行勤性师拔夏搽猴妥携