23等差数列的前n项和课稿

1、复习回顾1.等差数列的概念等差数列的概念2.等差数列的通项公式等差数列的通项公式an=a1+(n-1)dan-an-1=d (nN*且且 n2)3.数列数列an的前的前n项和项和:nnnaaaaaS1321 泰姬陵坐落于印度古都阿泰姬陵坐落于印度古都阿格，是十七世纪莫卧儿帝国格，是十七世纪莫卧儿帝国皇帝沙杰罕为纪念其爱妃所皇帝沙杰罕为纪念其爱妃所建，她宏伟壮观，纯白大理建，她宏伟壮观，纯白大理石砌建而成的主体建筑叫人石砌建而成的主体建筑叫人心醉神迷，成为世界七大奇心醉神迷，成为世界七大奇迹之一。陵寝以宝石镶饰，迹之一。陵寝以宝石镶饰，图案之细致令人叫绝。图案之细致令人叫绝。 传说陵寝中有一个三

2、角形传说陵寝中有一个三角形图案，以相同大小的圆宝石图案，以相同大小的圆宝石镶饰而成，共有镶饰而成，共有100100层（见左层（见左图），奢靡之程度，可见一图），奢靡之程度，可见一斑。你知道这个图案一共花斑。你知道这个图案一共花了多少宝石吗？了多少宝石吗？探究发现探究发现等差数列的前等差数列的前n项和项和 德国古代著名数学家高斯德国古代著名数学家高斯9岁的时候很岁的时候很快就解决了这个问题：快就解决了这个问题：123100=？你知道高斯是怎样算出来的吗？你知道高斯是怎样算出来的吗？赶快开动脑筋，想一想！赶快开动脑筋，想一想！探究发现探究发现问题 ：12310010099981获得算法：获得算法：

3、图案中，第图案中，第1层到第层到第100层一共有多少颗宝石？层一共有多少颗宝石？50502)1001 (100100S探究发现探究发现问题 ： ?nnan如何求等差数列的前 项和SnnnaaaaaS13211221aaaaaSnnnn如果把两式左右两端相加，将会有什么结果？如果把两式左右两端相加，将会有什么结果？111()1) nSaadand（()(1) nnnnSaadand)(21nnaanS1()12nnn aaS公式dnaan) 1(11(1)22nn nSnad公式探究发现探究发现 ?nnan如何求等差数列的前 项和S思考思考：在正整数列中，前n个数的和是多少？ 在正整数列中，前n

4、个偶数的和是多少？等差数列前等差数列前n项和公式项和公式2)(1nnaanSdnnnaSn2) 1(112n =2 + 4 + 2n=2n(n+1)n(n+1)练练 习习根据条件，求相应等差数列根据条件，求相应等差数列an的的Sn:a1=5, an=95, n=10;a1=100, d=2, n=50;a1=14.5, d=0.7, an=32.答案：答案：500； 2550；604.5例例1. 2000年年11月月14日教育部下发了日教育部下发了关于在中小关于在中小学实施学实施“校校通校校通”的工程通知的工程通知.某市据此提出了实施某市据此提出了实施“校校通校校通”小学工程校园网小学工程校园

5、网.据测算据测算,2001年该市用于年该市用于“校校通校校通”的总目标的总目标:从从2001年起用年起用10年的时间年的时间,在全市在全市中小学建成不同标准的校园网。中小学建成不同标准的校园网。据测算，据测算，2001年该年该市用于市用于“校校通校校通”工程的经费为工程的经费为500万元万元.为了保证工为了保证工程的顺利实施程的顺利实施,计划每年投入的资金都比上一年增加计划每年投入的资金都比上一年增加50万元万元.那么从那么从2001年起的未来年起的未来10年内年内,该市在该市在“校校校校通通”工程中的总投入是多少工程中的总投入是多少?例例2. 己知一个等差数列己知一个等差数列an前前10项的

6、和项的和是是310,前前20项的和是项的和是1220.由这些条件能确由这些条件能确定这个等差数列的前定这个等差数列的前n项和的公式吗项和的公式吗? 解：由题意知解：由题意知 110103102naaS 得得 11062aa； 120202012202aaS所以所以 120122aa； 1060d -，得，得6d 14a 代入代入得：得： 所以有所以有 21132nn nSa ndnn（）则则公式应用知三求二知三求二之之练习：等差数列练习：等差数列-10-10，-6-6，-2-2，2 2，前多少项的和是前多少项的和是5454？信息交流，揭示规律信息交流，揭示规律 nSna与 的关系 nnnaaa

7、aas1321) 2(13211naaaasnn) 2(1nssannn)2() 1(11nSSnSannn运用规律，解决问题运用规律，解决问题例例3已知数列 na的前n项和为 nnSn212 ；求这个数列的通项公式，这个数列是不是等差数列？解：由题意知，当n=1时， 2311Sa当n2时， ， ) 1(21) 1(21nnSn， 由-得 1nnnSSa= 212n又当n=1时， ， 232112= 1a所以当n=1时， 1a也满足 ， 212 nna= 则数列 na的通项公式为 na= 212n（其中n1， ） 212nSnnnN这个是等差数列： （这是一个与n无关的常数）.111(2)2(

8、1)222nnaann 变式训练，深化提高变式训练，深化提高1.已知数列 na的前n项和为1212nnSn,求这个数列的通项公式，这个数列是不是等差数列？ 解：由题意知，当n=1时，2511 Sa当n2时，1212nnSn，1) 1(21) 1(21nnSn，由-得：1nnnSSa =212n又当n=1时，2321121a，所以当n=1时，1a不满足na=212 n则数列na的通项公式为na=)2(212)1(25nnn这个数列不是等差数列，. 2132432a a a a a a 变式训练，深化提高变式训练，深化提高 1.已知 na是一个等差数列，且 21a 55a （1）求 na的通项 na； ， （2）求 na前n项和 Sn的最大值 解：（ 1）设 na的公差为 d，由已知条件， 11145adad 解出 ， 13,2ad 所以 1125naandn （2） 22114422nn nSnadnnn 所以 2n 时，nS取到最大值4。课堂小结等差数列前等差数列前n项和公式项和公式2)(1nnaanSdnnnaSn2) 1(1在两个求和公式中在两个求和公式中,各有五个元素各有五个元素,只要知道其中三个只要知道其中三个元素元素,结合通项公式就可求出另两个元素