优化设计复习题

1、2填空题1.用最速下降法求f x =100(x2xj1论 2 最优解时，设x00.5,0.5丁,第一步迭代的搜索方向为103 -100T。2.机械优化设计采用数学的规划法，其核心一是最佳步长，二是搜索方向。3.当优化问题是凸规划的情况下，在任何局部最优解就是全域最优解。4.应用外推法来确定搜索区间时，最后得到的三点，即为搜索区间的始点，中间点 和终点，他们的函数值形成趋势 高-低-高。5.包含 n 个设计变量的优化问题，称为n 维优化问题。16.函数一xTHx BTx c的梯度为_ 。27.设 G 为n n对称正定矩阵，若 n 维空间中有两个非零向量d0,d1,满足d0Gd10，则d0，d1之

2、间存在共轭关系。8.与负梯度成锐角的方向为函数值 下降 方向，与梯度成直角的方向为函数值的不变方向。9.设计变量、目标函数、约束条件是优化设计问题的数学模型的基本要素。10. 对于无约束二元函数f X1,x2，若在X0X12,X34点处取得极小值，其必要条件是在x0点的梯度为 0,充分条件是 在x0点的海赛矩阵正定。11. K-T 条件可以叙述为在极值点处目标函数的负梯度为起作用的各约束函数梯度的非 负线性组合。12. 用黄金分割法求一元函数f xx210 x 36的极值点，初始搜索区间a,b 10,10，经第一次区间消去后得到新区间【-2.36,10】。13.优化设计问题的数学模型的基本要素

3、有 设计变量，目标函数，约束条件。14. 牛顿法搜索方向dk=(2f xk)1f xk，其计算是大，且要求初始在级极小 点附近位置。./211TT15. 将函数f xx.(x2%x210% 4x260表示成一x Hx B x c的形式为_16.存在矩阵 H,向量di,d2，当满足（dj）THdj0向量di和向量d?是关于 H 共轭。17. 采用外点法求约束优化问题时，将约束优化问题转化为外点形式时引入的惩罚因子 r 数列，具有_rr1r20_特点。18. 采用数学规划法求解多元函数极值点时，根据迭代公式需要进行一维搜索，即求 最佳步长。21、 对于一维搜索，搜索区间为a,b，中间插入两个点31

4、，b，31b1，计算出f a1f b，则缩短后的搜索区间为a,。22、由于确定搜索方向和最佳步长的方法不一致，派生出不同的无约束优化问题数值 求解方法。23、 内点惩罚函数求解约束优化问题过程中，惩罚因子具体有趋近于零变化规律。24、 寻出等式约束极值条件时，将等式优化问题转化为无约束问题的方法有消元法和 拉格朗日乘子法。25、 优化问题中二元函数等值线，从外层向内层函数值逐渐变小。26、 优化设计中，可行设计点为 可行域 内的设计点。27、 方向倒数定义为函数在某点处沿某一方向的变化率。28、 设f x为定义在凸集 R 上具有连续二阶导数的函数，则f x在 R 上为凸函数充 分必要条件是海赛

5、矩阵G x在 R 上处处半正定。29、 在 n 维空间中互相共轭的非零向量是个数最多有n 个。30、约束优化问题在 可行域内对设计变量求目标函数的极小点。31、 外点惩罚函数法的迭代过程在可行域外进行，惩罚项的作用是迫使迭代点逼近边界或等式约束曲面。二、 选择题1.下面 C方法需要求海赛矩阵。A最速下降法 B共轭梯度法C牛顿型法D.DFP 法2.对于约束问题f x2Xix4x；4YixXix；i 0丫2x3Xi0丫xX201T 根据目标函数等值线和约束曲线，判断x 1,1为_T23 i、x,为2 2勺。A 内点；内点B.外点；外点C 内点；外点D.外点；内点3.内点惩罚函数用于求解B 优化问题

6、。A无约束优化问题B 只含不等式的约束优化问题C 只含等式的优化问题D含有不等式和等式的约束的优化问题4.拉格朗日乘子法师求解等式约束优化问题的一种经典法，它是一种D 。A 降维法 B.消元法C数学规划法D.升维法5对于一维搜索，搜索区间为a,b，中间插入两个点ai，b,，aib,，计算出f aif bi，则缩短后的搜索区间为D 。A. ai,biB. bi,b C. ai,b D. a,bi6.D不是优化设计问题数学模型的基本要素。A.设计变量 B.约束条件C目标函数 D.最佳步长7. 变尺度发的迭代公式为xkixkakHkf xk，下列不属于Hk必须满足的条件是 C 。A.Hk之间有简单的

7、迭代形式B 拟牛顿条件C.与海赛矩阵正定D.对称正定8. 函数f x在某点的梯度方向为函数在该点的A 。A 最速上升方向B.上升方向C 最速下降方向D 下降方向9. 下面四种无约束优化方法中，C 在构成搜索方向时没有使用到目标函数的一阶或二阶导数。A.梯度法C.变尺度法B.牛顿法D.共轭梯度法10.设f x为定义在凸集 R 上且具有连续二阶导数的函数，则f x在 R 上为凸函数的充分必要条件是海赛矩阵G x在 R 上处处 BA正定B.半正定C.负定D 半负定11. 通常情况下，下面四种算法中收敛速度最慢的是B 。A 牛顿法B.梯度法C.共轭梯度法D.变尺度法12. 一维搜索试探方法中，黄金分割

8、法比二次插值法的收敛速度DC. 一样D.不确定13.- 下列关于最常用的一维搜索试探方法黄金分割法的叙述，错误的是假设要求在区间a,b插入两点a1，a2，3a2。A.其缩短率为 0.618B.a1b b aC.a2b b aD.在该方法中缩短搜索区间采用的外推法14.与梯度成锐角的方法为函数值AB 方向，与梯度成直角的方向为函数值的方向，与负梯度成锐角的方向为函数值C 方向。A.上升B 下降C.不变D.为零15.二维目标函数的无约束极小点就是A.等值线族的一个共同中心C.全局最优解A 。B.梯度为 0 的点D.海赛矩阵正定16.最速下降法相邻两搜索方向dk和dk+1必为向量BA.相切C.成锐角

9、B.正交D.共轭17.下列关于共轭梯度法的叙述，错误的是AA 需要求海赛矩阵B 除第一步以外的其余各步的搜索方向是将负梯度偏转一个角度C.共轭梯度法具有二次收敛性D.第一步迭代的搜索方向为初始点的负梯度18.下列关于内点惩罚函数法的叙述，错误的是A. 可用来求解含不等式约束和等式约束的优化问题B. 惩罚因子是不断递减的正值C. 初始点应该选择一个离约束边界较远的点D. 初始点必须在可行域内19. 设f x是定义在凸集 D 上具有连续二阶导数的函数，则f x在 D 上严格凸函数的充要条件是A :A.Hesse 矩阵处处半正定B.Hesse 矩阵处处正定C.Hesse 矩阵处处半负定 D. Hes

10、se 矩阵处处负定20. 下列几种无约束问题求解方法中，哪种算法需要计算海赛矩阵A 。A 牛顿法B.梯度法C.共轭梯度法D.变尺度法21. 关于正交方向和共轭方向之间的关系，下列说法正确的是D 。A.共轭矩阵是正交矩阵的特殊情况B.共轭矩阵是正交矩阵的推广C. n 维空间中相互共轭的非零向量个数可以为任一数量D.22.多元函数的海赛矩阵是其 B 偏导数所形成的对称矩阵A.上升 B.下降C.不变D.为零判断题1、 二元函数等值线密度的区域函数值变化慢。（x）2、 海赛矩阵正定的充要条件是它的各阶主子式都大于零。（V）A.一阶C.三阶23. 关于变尺度优化方法的变尺度矩阵A.Ak有简单的迭代形式C

11、.与海赛矩阵正交24. 关于梯度，下列说法不正确的是A.与切线方向垂直C.是函数变化率最大的方向25. 与梯度成锐角的方向为函数值B.二阶D 四阶Ak，下列说法不正确的是CB.应满足拟牛顿条件D. 应为对称正定D 。B.是等值面的切线方向D.函数最速下降方向A 方向。3、当迭代接近极值点时，最速下降法会出现锯齿现象，导致收敛速度慢。(4、 外点惩罚函数法的惩罚因子降低系数越小，则迭代次数越多。(V)5、梯度法求解无约束优化问题的迭代过程中相邻两次迭代方向对海赛矩阵共轭。(X)6、 数值迭代法求极值的核心就是建立搜索方向和计算最佳步长。(V)7、海赛矩阵负定的充要条件是它的各阶主子式都大于零。(

12、X)8、拉格朗日乘子法师求解无约束优化问题的一种方法。(X)9、 凸规划的任何局部最优解就是全局最优解。(V)10、一维搜索的二次插值法用到了点的函数值，一阶导数和二阶导数信息。(X)11、 二元函数等值线稀疏的区域函数值变化慢。(V)12、 海赛矩阵正定的充要条件是它的主子式都小于零。(X)13 、外点惩罚函数法师只试用于不等式约束问题(X)14、 变尺度法求解优化问题时需计算海赛矩阵(X)15、 梯度法求解无约束优化问题的迭代过程中相邻两次迭代方向相互垂直。(V)四、 问答题1、什么是一维搜索问题？答：当方向dk给定时，求最佳步长k就是求一元函数f(xk 1) f (xkkdk) (k)的

13、极值问题，它称为一维搜索。2、 试述两种一维搜索方向的原理，它们之间有何区别？ 答：区间消去法：搜索区间确定之后，采用区间消去法逐步缩短搜索区间，从而 找到极小点的数值近似解。黄金分割法： 所谓黄金分割是指将一段线段分成两端的方法，使整段与较长 段的比值等于较长段与较短段的比值，即1:(1)。3、共轭梯度法是利用梯度求共轭方向的，那共轭方向与梯度之间有什么关系？答： P704、惩罚函数法求解约束优化问题的基本原理是什么？V)答：惩罚函数求解约束优化问题的基本原理是将约束优化问题min f(x)s.t.gj(x) 0(j 1,2, m)hk(x) 0 (k 1,2,l)中的不等式和等式约束优化函

14、数函数-惩罚函数，即ml(x,jr2)f (x) riG(gj(x) “ H (hk(x)j 1k 1求解该新的目标函数的无约束极小值，以期得到原问题的约束最优解。5、与最速下降法和牛顿法比较，试述变尺度法的特点？答：P74-776、在变尺度法中，为使变尺度矩阵Hk与a：近似，并具有容易计算的特点，Hk必须附加哪些条件？答： （1）为保证迭代公式具有下降的性质，要求海塞矩阵中的每一个矩阵都是对 称正定的。（2 ）要求海塞矩阵之间具有简单的形式：Hk1HkEk。（3 ）要求海塞矩阵必须满足拟牛顿条件。7 试述数值解法求最佳步长因子的基本思路？答：8、写应用数学规划法求解优化设计问题的数值迭代公式

15、，并说明公式中各变量的 意义，并说明迭代公式的意义？答：9、变尺度的搜索方向是什么？变尺度矩阵应满足什么条件？变尺度矩阵在极小点 处逼近什么矩阵？并写出其初始形式？答：10、在变尺度法中，变尺度矩阵经过加权转化后，和原目标函数结合成新的目标Hk为什么要求都是对称正定的？答：因为若要求搜索方向dkHkgk为下降方向，即要求gkTdk0，也就是gkTHkgk0，这样gkTHkgk0,即Hk应为对称正定。11、什么是共轭方向？满足什么关系？共轭与正交是什么关系？答： P6712、请写出应用 MATLAB 优化工具箱处理约束优化设计问题的基本步骤 ?答：（ 1）编写定义目标函数的 M 文件 fun1.

16、m（ 2）编写定义约束方程函数的 M 文件 con.m（ 3）在窗口调用求解命令求解 .。求解格式为： x0=-1, 1Options=optimset（LargeScale off） ；x, fval=fmincon（fun1 ,x0 , , , , , , , con ,options）13、试述求解无约束优化问题的最速下降法与牛顿型方法的优缺点？答：最速下降法：由于它采用了函数的负梯度方向作为下一步的搜索方向，所以 收敛速度比较慢，越是接近极值点收敛越慢14、为何优化设计的可行设计域和可行设计点？答：15、无约束优化问题数值求解的一般步骤是什么？答：（ 1）编写 M 文件， fun1.m

17、 ，定义目标函数文件。（ 2）在命令窗口中调用无约束线性函数 fminunc 求解。求解格式为： x0=-1, 1Options=optimset（LargeScale off）x, fval=fminunc（fun1,x0, options）五、 解答题i .试用牛顿法求f x论2 $X|2X2$的最优解，设初始点x02,i丁。X22xf2X,X24xi，试利用极值条件求其极值点和极值。有极小值。6.设非线性规划问题7.给定约束优化问题g4X8.用共轭梯度法求函数fx-i, x2-xfx|xix22论的极小点2 29.已知目标函数为f X = XiX2，受约束于22.设有函数f X3.试用梯度法求目标函数f XT2,4，迭代精度4.求目标函数2x；5试证明函数f X2X25x；2 2i.50.5X2X/22为的最优解，设初始点0.02xx22X3（迭代一步） 。4X16X2i0的极值和极值点。2X3X22x3Xi6X23在点i,i, 2T处具min f X = x12X2s.tgiXg2XXig3Xx202Xi用 K-T 条件验证1,0为其约束