2章函数的极限

1、 有人说，极限的思想是微积分的灵魂。这句话形象地表明了极限概念的重要性。微积分的大多数概念和运算，就是建立在极限概念的基础上。如果在微分和积分的过程中，你见不到极限，那是因为在用极限建立起概念和运算的规则后，我们便沉浸在这些概念和规则之中，而忘记了它们本质上来自于极限概念。 本章主要介绍极限的概念和计算。理解极限概念，灵活的运用各种方法计算极限是本章的重点。 函数的极限要研究：随着自变量的变化，函数的变化趋势。 自变量的变化方式有六种，分别是： xxxxxxxxx,000其中： 表示x从x0的两侧趋于x0 ，读作“当x趋于x0”； 0 xx 表示x从x0的右侧趋于x0，读作“当x趋于x0右”；

2、 0 xx0 xx表示x从x0的左侧趋于x0，读作“当x趋于x0左”。 相应的，函数的极限也就有六种情况。我们重点介绍两种情况，其余情况只作简单介绍。 xx0时函数f (x)的极限表示，随着x无限趋于x0，函数f (x)的变化趋势。 若随着x无限趋于x0，f (x)无限趋于常数A (见图2.1-1)， 图2.1-1)(xfx0 xXx)(xfAYAxfxx)(,0时当O则称当x趋于x0时，f (x)的极限是A，记为 当x x0，f (x)A 或 Axfxx)(lim0上式中的lim是英语limit(极限)一词的缩写。上式读作 “当x趋于x0时，f (x)的极限是A”。 , 求 。22)(2xx

3、f)(lim2xfx1022lim)(lim222xxfxx, 求 。xxfsin)()(lim0 xfx0sinlim)(lim00 xxfxx, 求 。cxf)()(lim2xfxccxfxx22lim)(lim,见图2.1-2。 x2X图2.1-2xYcxf)(O 以后，对于函数的极限，我们不再先写出函数是什么，然后再写出极限式，而是直接在极限符号右边，写上函数的表达式。 例如， 表示当x2时，函数f (x) = 2x2 + 2的极限。 22lim22xx 当x从x0的右侧趋于x0时，若f (x)无限趋于常数A(见图2.1-3)，称f (x)在x0处的右极限为A，记为 或 f (x0+0

4、) = A Axfxx)(lim00 xX图2.1-3xY)(xfA处的右极限在0)(xxfO 将定义2.1.2中的“右”改为“左”就给出左极限的定义(见图2.1-4)。f (x)在x0处的左极限记为 或 f (x0-0) )(lim0 xfxx0 xX图2.1-4xY)(xfA处的左极限在0)(xxfO这样，函数在一点x0处的极限就有三种情况： x从右侧趋于x0(见图2.1-3)，x从左侧趋于x0(见图2.1-4)，x从x0 两侧以任意方式趋于x0(见图2.1-1)。 下述定理指出了三种情况的关系。 )(lim)(lim).3()(lim).2()(lim).1 ()(lim00000 xf

5、xfxfxfxfxxxxxxxxxx存在存在存在即，函数在x0处极限存在的充要条件是： 左极限存在，右极限存在，并且左右极限相等。 当函数在x0处两侧性态不一样，或表达式不一样，通常用上述定理确定函数在x0处的极限。 , 求 。111)(2xxxxxf)(lim1xfx1)(lim,2)(lim11xfxfxx。所以 不存在。 )(lim1xfxX图2.1-5Y1212xO见图2.1-5。 , 求 。00sin)(2xxxxxf)(lim0 xfx0sinlim)00(0 xfx0lim)00(20 xfx0)00()00(ff 0)(lim0 xfxx时函数f (x)的极限就是： 随着| x

6、 | 无限变大，函数f (x)的变化趋势。 若随着 | x | 无限变大，f (x)无限趋于常数A，见图2.1-6。 则称当时，f (x)的极限是A，记为 当，f (x)A 或 Axfx)(lim图2.1-6xxf11)(, 求 。)(limxfx111lim)(limxxfxx。见图2.1-6。 , 求 。)(limxfx2415)(xxf。5415lim)(lim2xxfxx图2.1-7见图2.1-7。 类似的，当x朝正方向无限变大时，若f (x)无限接近于常数A，则称当时，f (x)的极限是A，记为 当x朝着负方向无限变大时, 若f (x)无限接近于常数A，则称当时，f (x)的极限是A

7、，记为 Axfx)(limAxfx)(lim设数列的通项公式为 y (n) = f (n) 数列可以看作是定义在正整数集合上的函数。当函数的自变量是正整数时，人们习惯于把自变量n写成下标，即 yn = f (n) 例如，nnnyny21,2 对于数列，自变量n的变化方式只有一种，即n+，但人们习惯于记成n，由于没有其它情况，这样记也不会产生混乱。 01lim2nn212lim2nn 函数(包括数列)的变化趋势，有两种重要情况，一是趋于0，趋于0 的量叫无穷小量；一是趋于，趋于 的量叫无穷大量。对无穷小量和无穷大量的分析，将给极限的计算带来方便。 若 0)(lim0 xfxx则称当x x0时，f

8、 (x)为无穷小量,即：极限为0的量叫无穷小量。 对于自变量的其它几种变化过程，可类似地叙述上述定义。 例如： 注1对于函数f (x) 0，由于在自变量的任何变化过程中，都有lim0=0，所以，在任何变化过程中，都可以看作是无穷小量。 01limnn为无穷小量时当nn1,0sinlim0 xx为无穷小量时当xxsin,00lim10 xxe为无穷小量时当xex1,0 注2说一个变量f(x)是无穷小量，必须指明自变量的变化过程，不指明自变量的变化过程，而说f (x)为无穷小量，是没有意义的。 例如： ,0limxxe 当x-时ex为无穷小量； ,limxxe 当x+时ex为无穷大量。 若只说“e

9、x为无穷小量”，显然是没有意义的。 无穷大量的概念将在下面2.2.3段中给出。 无穷小量有下述定理所说的运算性质： (1). 有限个无穷小量的和，仍是无穷小量； (2). 有限个无穷小量的积，仍是无穷小量； (3). 有界量与无穷小量的积，仍是无穷小量。 注意：限定词“有限个”是必须有的，不能去掉，没有了“有限个”这个限定词，结论一般不成立。 设 0)(lim,0)(lim00 xgxfxxxx,即当x x0时,f (x),g (x)都是无穷小量 若 0)()(lim0 xgxfxx称：当x x0时，f (x)是比g (x)高阶的无穷小量， 记成 f (x) = o ( g (x) ) (当x

10、 x0) 通常也顺序读作：f (x) 等于小欧g (x)。 若 cxgxfxx)()(lim0称：当x x0时，f (x)是与g (x)同阶的无穷小量。 记作 f (x) = O(g(x) ) ( xx0 ) 读作“f (x) 等于大欧g (x)”。 若 称：当x x0时，f (x)是与g (x)等价的无穷小量。 记作 f (x) g(x) (当x x0)。 例如：因为 所以当x x0时，x3是比x2高阶的无穷小量。 因为 所以当x0时，4x2 + x3是与x2为等价的无穷小量。 1)()(lim0 xgxfxx0lim230 xxx14lim2420 xxxx当x x0，若f (x)的绝对值

11、 | f (x) | 可以无限变大，称 当x x0时，f (x)为无穷大量，记作 )(lim0 xfxx见图2.2-1、图2.2-2。 0 xX图2.2-2YO0 xX图2.2-1YO 注意：注意：上式不能说成是“f (x)的极限是”，因为函数的极限总是指“一个数”，而不是一个数。当x x0，| f (x) | ，是极限不存在的一种情况。 类似地可说 以及自变量的其它几种变化过程的情况。 )(lim0 xfxx)(lim0 xfxx无穷大量有如下运算性质： (1). 两个正无穷大量的和，仍为正无穷大量； (2). 两个负无穷大量的和，仍为负无穷大量。 但不能说： 两个无穷大量的和，仍为无穷大量

12、 例如,当两个无穷大量的方向相反,其和可能不再是无穷大量。 例如， ,1)(22xxxf2)(xxg当x时，f (x)与g(x)都为无穷大量， 但 f (x) + g(x) 却为无穷小量。 (3). 两个无穷大量的积仍为无穷大量。 下述两条定理，是常用得到的，其结论也很自然。 无穷大量的倒数，是无穷小量； 无穷小量的倒数，是无穷大量。 0)(lim)(lim00AxfAxfxxxx符号“”读作“当且仅当”。 于是，若 ,)(lim0Axfxx则 f (x) = A + 其中， = f (x) A(当x x0时)为无穷小量。 利用这一性质分析极限，有些情况下是很方便的。 极限的计算是微积分的基本

13、技能。极限计算有很多方法和技巧，应该注意不断地总结和归纳，以不断提高极限计算的能力。 下述定理给出了极限的四则运算法则： 设 )(lim,)(lim00 xgxfxxxx两个极限存在， 则：(1). )(lim)(lim)()(lim000 xgxfxgxfxxxxxx(2). )(lim)(lim)()(lim000 xgxfxgxfxxxxxx(3). 当 0)(lim0 xgxx)(lim)(lim)()(lim000 xgxfxgxfxxxxxx证：只证明第(2)条，其余两条可类似证明。 = 0 设 要证 ,)(lim,)(lim00BxgAxfxxxxABxgxfxx)()(lim0

14、只需证 。这由下面的推导可见。 0)()(lim0ABxgxfxxABxgxfxx)()(lim0ABxgAxgAxgxfxx)()()()(lim0BxgAxgAxfxx)()()(lim0证毕 在使用极限的四则运算法则时，应注意其使用的条件，那就是 都存在，以及商的极限中， 。忽视, )(lim0 xfxx)(lim0 xgxx0)(lim0 xgxx了这些条件，计算就可能出问题。在这些条件都满足的前提下，这个定理可简单地说成： 和、差、积、商的极限，等于极限的和、差、积、商 利用这些法则，可把较复杂的函数的极限，化为一些简单的函数的极限。 例例2.3.1求极限 .42lim22xxx42

15、lim22xxx)2)(2(2lim2xxxx21lim2xx41例例2.3.2求极限 46lim222xxxx46lim222xxxx)2)(2()3)(2(lim2xxxxx23lim2xxx45例例2.3.3求极限 321lim3xxx321xx)21)(3()21)(21(lim3xxxxx)21)(3(3lim3xxxx211lim3xx41例例2.3.2求极限 xxxx214lim2xxxx214lim2xxxxxxxx214)214)(214(lim222xxxxxx214414lim222xxxx2141lim22141lim2xx41若 (1)g(x) f (x) h(x)

16、(2)g(x) A，h(x) A (当x+ ) 则f (x) A (当x +) 在几何上，定理所阐述的事实几乎是显然的。见图2.3-1。 XY图2.3-1xA)(xh)(xf)(xgO在自变量的其它变化方式下，定理的结论仍然成立。例如 若 (1)g(x) f (x) h(x) (2)g(x) A，h(x) A (当xx0) 则 f (x) A (当xx0) 两边夹定理的使用方法：用简单夹复杂。 记 f (n) = 例例2.3.5)12111(lim222nnnnn求nnnn22212111找两个简单的函数夹住f (n)。 将f (n)中每一项根号下变化着的数字1,2,3,n 都看作n，f (n

17、)被缩小，即有 f (n) nnnnnn222111nnn2 将f (n)中每一项根号下变化着的数字1, 2, 3, n 都看作1，f (n)被放大，即有 f (n) 111111222nnn12nn于是有 由两边夹定理, 有 使用两边夹定理求极限，技巧比较高，但你也不必为此担心，我们只是在2.4中用一下这个定理，在之后的内容中，再没有使用这个定理。 nnn2 f (n) 12nn而当n时，有 ,12 nnn112nn1)12111(lim222nnnnn两个重要极限是指： 1sinlim0 xxx 之所以是两个重要极限，是因为好多极限，都可化归到这两个极限上来计算。 exxxxxx11lim

18、,1sinlim0对于函数 xxxfsin)(,当x 0时,分子、分母都趋于0,四则运算法则不适用。以下采取两边夹的处理方法，也就是找两个函数h(x),g(x)，把 xxsin夹起来，即 )(sin)(xgxxxh若有h(x)1，g(x)1，则也有 1sinxx由于f (x)是偶函数，只须考虑x 0的情况。 在图2.4-1所示的单位圆上，有 AOCAOBAOBSSS扇(1) OxABC图2.4-1XYDS表示面积。注意圆的半径OA为1，xDBOASAOBsin2121xxOASAOB21)(212扇xACOASAOCtan2121代入(1)式，有 由两边夹定理有 xxxtan2121sin21

19、两边同除以 xsin21xxxcos1sin1 1sincosxxx而 1coslim,11lim00 xxx1sinlim0 xxx(2) 一般的，若当时，有，则有 )()(sinlim0 xxxx1)()(sinlim0)(xxx(3) 这只要将 (x)看作(2)式中的x，即见上式第二个等号成立。由此，我们得到比(2)式更为一般的公式： 1)()(sinlim0 xxxx注：注：这式子表示， 。 0)(,)()(sinxxx当 从现在开始，要注意记住一些等价无穷小量，因为后面要介绍利用等价无穷小量替换求极限的方法。等价无穷小量记住的越多，极限计算越灵活。 例例2.3.2求极限 xxxtan

20、lim000tanlim0 xxx1sincos1lim0 xxxx(此例说明：tan xx，当x0。一般的tan(x)(x)，当(x)0) 例例2.4.2求极限 2cos1lim20 xxx2cos1lim20 xxx22sin2lim220 xxx2022sinlimxxx10,2cos1:2xxx当请记住例例2.4.3求极限 xxxarctanlim0令 arctanx = t，则 x = tant，且当 x0 时，t0。 xxxarctanlim0ttttanlim01(请记住：arctan x x,当x0) exxx11lim 这个极限的证明很复杂，需要较多的技巧，我们只要熟记这个式

21、子，会用就行了。 一般地，有 exxx)()()(11limexxx)(1)(1lim0)(注意这一重要极限的特点： 底数为1+0的形式(这里0表示无穷小量)，指数为(无穷大量)；重要的是，底数1+0的无穷小部分，与指数部分互为倒数。 清楚了这些之后，我们便可用下述易记忆的说法，来表述利用这一重要极限求极限的过程，即： 底是1+ 0， 其中：前两句说的是“识别” 确定所求极限可否用第二个重要极限计算；第三句说的是使用重要极限公式的“条件”；第四句指出，当这一条件不满足时，我们需要做的事情。 指数是， 指、底互为倒(指与底的无穷小部分互为倒数)， 不倒凑其成。 例例2.4.4求极限 xxxa1l

22、imxxxa1limaaxxxa1limae例例2.4.5求极限 xxx21lim0 xxx21lim0 xxx10)21 (limxxxxx2210)21 (lim2 e例例2.4.6求极限 xxaxax2limxxaxax2limxxaxa221limxaxaaaxxaxa22221limaaxxaaxxaxa22221limae4例例2.4.7求极限 xxx) 1ln(lim0 xxx) 1ln(lim0 xxx10)1ln(limeln1(请记住：ln(1+x)x,当x0,一般的ln(1+(x)(x),当(x)0) 例例2.4.8求极限 110)31 (limxxx110)31 (li

23、mxxx110)31 ()31 (limxxxxxxxxx3310)31 (lim3 e 在极限计算中，可用等价无穷小量替换极限式中分子或分母上的与其等价的因子，道理是很简单的。 设要计算极限 )()()()(lim0 xxgxxfxx假若知道 (x) (x)， (x) (x)，则 )( 1)()( )( )( )()()(lim)()()()(lim00 xxxxxxxgxfxxgxxfxxxx)( )()( )(lim0 xxgxxfxx 于是， 就被 ， 所替换。当 ， 比， 形式简单，这种替换会简化极限的计算。 上述推导中，第一步是恒等变形，第二步用到条件 注意，只能替换与其等价的无穷小量因子。 ,1)( )(lim0 xxxx1)()( lim0 xxxx例例2.5.1 求极限 xxx2sin3tanlim0 xxx2sin3tanlim0 xxx23lim0230,22sin,