同济大学固体物理课件11

1、第十一讲第十一讲 中子散射中子散射 晶格比热晶格比热 4 4. .6 6 声声子子谱谱的的中中子子散散射射实实验验测测定定 晶晶格格振振动动的的频频率率与与波波矢矢间间的的关关系系( (q q) )叫叫做做色色散散关关系系，也也称称为为声声子子谱谱（晶晶格格振振动动的的振振动动谱谱） 。实实验验上上可可利利用用中中子子（或或光光）与与晶晶格格振振动动的的相相互互作作用用来来测测出出( (q q) )一一 光光散散射射方方法法入入射射光光子子： ， k k散散射射光光子子： ，k k 产产生生（或或吸吸收收）一一个个声声子子：， q q 见见图图产产生生声声子子 动动量量守守恒恒：qkk 或或

2、qkk - - - - - - ( (1 1) ) 能能量量守守恒恒： - - - - - - ( (2 2) )二二 中子散射方法中子散射方法1 1 中子散射的优缺点中子散射的优缺点优点：优点：（1 1） 热中子在受声子散射过程中的动量和能量转移，与典型的声子热中子在受声子散射过程中的动量和能量转移，与典型的声子动量和能量范围相匹配，可测出整个波长范围内的振动谱。动量和能量范围相匹配，可测出整个波长范围内的振动谱。（2 2） 中子不带电荷，很易穿越样品，测到的是真实的体内信息。且中子不带电荷，很易穿越样品，测到的是真实的体内信息。且可测量复杂条件下可测量复杂条件下（高温、极低温、高压）的样品

3、。（高温、极低温、高压）的样品。（3 3） 中子散射对重原子和轻原子组成的固体都适用。中子散射对重原子和轻原子组成的固体都适用。缺点：中子源的设备昂贵；中子通量不易做高；对固态缺点：中子源的设备昂贵；中子通量不易做高；对固态3 3HeHe 不适用。不适用。 实际测量中，常控制入射中子的能量小于实际测量中，常控制入射中子的能量小于 mKh822， （K Kh h是是 晶体的最小的倒格矢） ，此时入射中子不能激发声子，只晶体的最小的倒格矢） ，此时入射中子不能激发声子，只 能吸收声子，公式能吸收声子，公式(6)(7)(6)(7)中均取中均取“- -”号。”号。 证明：证明： 公式公式(7)(7)也

4、可写为也可写为 qKkkh - - - (8) - - - (8) 假定入射中子既不产生也不吸收声子假定入射中子既不产生也不吸收声子（弹性散射） 。（弹性散射） 。 则则 q = 0, q = 0, = 0, = 0, | |kk 公式公式(8)(8)成为成为 hKkk 见图见图 ksin(ksin(/2)=(1/2)/2)=(1/2)K Kh h - - - (9) - - - (9) 这就是布拉格反射条件这就是布拉格反射条件 (sin( (sin(/2)/2)maxmax = 1 = 1 若若 k k (1/2)(1/2)K Kh h，公式，公式(9)(9)将不满足将不满足 此时动量守恒定

5、律必须写成此时动量守恒定律必须写成 qKkkh 即当即当 k k (1/2)(1/2)K Kh h时，中子只能吸收声子，不能发射声子。时，中子只能吸收声子，不能发射声子。 入射中子能量：入射中子能量： mKmKmkEhh82)2(2222222把公式把公式（1010）代入：）代入： )cos(expttRqRQiAjjj )cos(exp)(exptRqQitRQijjj展开展开 )cos(1)(exptRqQitRQijjj不计不计2 2项及更高价项，并用项及更高价项，并用 cos(qcos(qR Rj j- -t)=t)=21)()(tRqitRqijjee则则 )(exptRQiAjj

6、)()(exp2tRqQiQijj )()(exp2tRqQiQijj - - - (12) - - - (12)第第三三项项： 当当 Q Q - - q q = = K Kh h时时，求求和和有有最最大大值值，对对应应一一个个散散射射极极大大峰峰。散散射射中中子子 波波矢矢 k k= = k k Q Q = = k k - - q q - - K Kh h，振振荡荡频频率率 = = - - ，即即散散射射时时中中子子发发射射一一个个波波矢矢为为 q q、能能量量为为的的声声子子。这这是是非非弹弹性性散散射射一一 三三轴轴中中子子谱谱仪仪p p 7 75 52 2若若固固体体有有 N N 个个

7、原原子子，则则 U U = = 3 3N Nk kB BT T 固固体体定定容容比比热热： VVTUC)(= = 3 3N NK KB B - - - - - - （1 1） 摩摩尔尔原原子子比比热热： C CV V = = 3 3N No oK KB B = = 3 36 6. .0 02 23 31 10 02 23 31 1. .3 38 80 06 66 62 21 10 0- -2 23 3 J J/ /K K m mo ol l = = 2 24 4. .9 95 5 J J/ /K K m mo ol l 即即比比热热是是一一个个与与温温度度无无关关的的常常数数，这这就就是是杜杜

8、隆隆- -珀珀替替定定律律。 3 3讨讨论论：高高温温时时，杜杜隆隆- -珀珀替替定定律律和和实实验验符符合合得得很很好好， 低低温温时时，实实验验指指出出 绝绝缘缘体体 C CV V T T3 3 导导体体 C CV V T T 与与温温度度 T T 有有关关。 (2). (2).声子是玻色子。由玻耳兹曼统计理论，温度为声子是玻色子。由玻耳兹曼统计理论，温度为 T T 时，谐振子时，谐振子 处于能量为处于能量为 E En n的量子态的概率为的量子态的概率为 )exp(TkEBn，所以温度为，所以温度为 T T 时，频率为的谐振子的平均能量时，频率为的谐振子的平均能量 )exp()exp()(

9、00TknTknnEBnBn00)exp()exp(nnnxnxn - - - - （2 2） 这里这里 TkxB )exp(ln()(0nnxdxdE)exp(101lnxdxd )exp(1 ()exp()exp(1 (2xxx )exp(1)exp(xx1)exp(1x 1)exp(TkB - - - - - - （2a2a）2.2. 温度为温度为 T T 时、晶体平均能量和比热时、晶体平均能量和比热(1)(1) 晶体中有晶体中有 N N 个原子，每个原子有个原子，每个原子有 3 3 个自由度，晶体总自由度个自由度，晶体总自由度 为为 3N3N，因此有，因此有 3N3N 个正则频率。温度

10、为个正则频率。温度为 T T 时、晶格振动的平时、晶格振动的平 均能量均能量 U U 等于等于 3N3N 个频率为个频率为i i的谐振子的平均能量之和的谐振子的平均能量之和 )(31iNiEU1)exp(31TkBiiNi - - - - - - （3 3）(2)(2) 若不知道若不知道i i，公式，公式（3 3）是无法计算的。）是无法计算的。 设格波频谱密度设格波频谱密度 g(g(), g(), g()d)d表示角频率在和表示角频率在和+d+d 之间的格波数，且之间的格波数，且 m0g(g()d)d = 3N - - - (4) = 3N - - - (4) 则公式则公式（3 3）可改写为）

11、可改写为 U = U = dgTkBm)(1)exp(0 - - - - - - （5 5） 比热比热 dgTkTkTkTUCBBBVVm)()1() 1)(exp()exp() 1()(220 dgTkTkTkkBBBBm)() 1)(exp()exp()(220 - - (6) - - (6)这样，问题的关键变成求格波频谱密度这样，问题的关键变成求格波频谱密度 g(g() )。对于具体的。对于具体的晶体，晶体，g(g() )的计算非常复杂，常用的有两种简化模型。的计算非常复杂，常用的有两种简化模型。三三 爱爱因因斯斯坦坦模模型型1 1. . 模模型型：认认为为晶晶体体中中所所有有原原子子都

12、都以以相相同同的的频频率率振振动动。即即 只只有有一一个个频频率率E E，g g( () )= = 3 3N N（ - - E E）2 2. . 现现在在公公式式（5 5）表表示示的的晶晶格格振振动动的的平平均均能能量量为为 1)exp(3TkNUBEE - - - - - - （7 7） )1() 1)(exp()exp() 1(3)(22TkTkTkNTUCBEBEBEEVV 22) 1)(exp()exp()(3TkTkTkNkBEBEBEB )(3TkfNkBEEB - - - - - - ( (8 8) ) 这这里里 f fE E( (x x) ) = = 22) 1(xxeex 称

13、称为为爱爱因因斯斯坦坦比比热热函函数数。 3. 3. 爱因斯坦温度爱因斯坦温度E E： E E = = BEk - - - (9) - - - (9) 公式公式（）化为：（）化为： 22) 1)(exp()exp()(3TTTNkCEEEBV - - (10) - - (10) E E的决定：选取合适的的决定：选取合适的E E值，使得在比热显著改变的广大值，使得在比热显著改变的广大 温度范围内，理论曲线和实验数据相当好地符合。温度范围内，理论曲线和实验数据相当好地符合。例：金刚石，例：金刚石， p78 p78图图 4.164.164.4. 讨论：讨论：( (i)i)高温情况：高温情况： T T

14、E E 22) 1)(exp()exp()(3TTTNkCEEEBV222) 1)(exp()2exp()(3TTTNkEEEB 22)2exp()2(exp(1)(3TTTNkEEEB 2222)2(! 21)2(! 111)2(! 21)2(! 111 1)(3TTTTTNkEEEEEB 22)(1)(3TTNkEEB C CV V 3Nk3NkB B与杜隆与杜隆- -珀替定律一致，和实验符合得较好珀替定律一致，和实验符合得较好(3) U(3) U 和和 C CV V 把公式把公式（1212）代入）代入（5 5）和）和（6 6） U = U = dTkvVBpD1)exp(233032 -

15、 - - - - - （1313） C CV V = = dTkTkTkkvVBBBBpD222032) 1)(exp()exp()(23 - - （1414）把公式把公式（1212）代入）代入（4 4） ，求出积分上限） ，求出积分上限D D NdvVDp3232032 NvVDp3323332 VNvpD3236 pDvVN3/12)6( - - - (15) - - - (15) C Cv v = = 2233pvVdxTkeTxkexkBxBxBxD2220) 1()( = = 3 3k kB B332332pBvTVkdxexexxxD240) 1( - - - - - - ( (1

16、 14 4a a) )= = 3 3k kB BVNkTVkBDB2333323362dxexexxxD240) 1(= = 9 9N Nk kB B( (DT) )3 3TD/0dxexexx24) 1( - - - - - - ( (1 14 4b b) ) 摩摩尔尔比比热热： C Cv v 3 3R R f fD D( (TD) ) - - - - - - ( (1 14 4c c) ) 这这里里 气气体体常常数数 R R = = N No ok kB B = = 8 8. .3 31 1 J J/ /m mo ol l. .K K f fD D( (TD) ) = = 3 3( (DT

17、) )3 3TD/0dxexexx24) 1( 称称为为德德拜拜比比热热函函数数(6)(6)德拜温度德拜温度D D的计算的计算 (i)(i)由由 v vp p = = effC，再由公式（，再由公式（1616）求）求D D (ii)(ii)由比热的实验数据按（由比热的实验数据按（14b14b）式求）式求D D (iii) (iii) D D在不同温度在不同温度 T T 时有不同的值。时有不同的值。 表表 4.14.1 是一些晶体德拜温度是一些晶体德拜温度D D的数值。的数值。 作业作业: p 86 : p 86 习题习题 4 4，5 5 （补充）（补充） 1. 1. 设有一维复式格子，设有一维复式格子，m=8.4m=8.41010242