周衍柏《理论力学教程(第三版)》电子教案第三章1-3刚体力学

1、 第三章第三章刚刚 体体 力力 学学刚体学习方法刚体学习方法类比法类比法LpMFJmav JLvmPMddArdFdAJEmvEJMamFdtLdMdtpdFrkk 21 21 22导读导读 刚体运动分类：平动、转动刚体运动分类：平动、转动 角位移、角速度矢量角位移、角速度矢量 欧勒角和欧勒运动学方程欧勒角和欧勒运动学方程形状和大小都不变的物体形状和大小都不变的物体任意两质点之间的距离保持不变的质点系任意两质点之间的距离保持不变的质点系刚体：刚体：3.1 刚体运动的分析刚体运动的分析1 平动平动: 刚体在运动过程中刚体在运动过程中, 其上任意两点的连线始其上任意两点的连线始终保持平行终保持平行

2、. 可以用可以用一个质点的运动来描述一个质点的运动来描述刚体的刚体的平动平动. 刚体平动刚体平动 质点运动质点运动2 转动转动: 刚体上所有质点都绕同一直线作圆周运动刚体上所有质点都绕同一直线作圆周运动. 这这条直线称为转轴条直线称为转轴. 转轴固定不动的转动转轴固定不动的转动.转轴上的质点不动转轴上的质点不动. 只需只需一个量描述一个量描述刚体绕该刚体绕该轴转动的角度轴转动的角度, 就确定了刚体的位置就确定了刚体的位置(一个变量一个变量).转动由转轴位置参量和圆周运动参数来描述。转动由转轴位置参量和圆周运动参数来描述。 一点始终在固定平面内运动一点始终在固定平面内运动. 这时运动可分解为一平

3、面内一点的这时运动可分解为一平面内一点的平平动及绕通过此动及绕通过此点且垂直于固定平面的固定轴的转动点且垂直于固定平面的固定轴的转动(三三个变量个变量). 一点一点固固定不定不动动, 刚刚体围绕过这点的某一体围绕过这点的某一瞬时轴转动瞬时轴转动(三三个变量个变量). 刚体不受任何约束，可以在空间任意运刚体不受任何约束，可以在空间任意运动动. 质心的平动质心的平动绕质心的转动绕质心的转动+xzP3.2 角速度矢量角速度矢量)()(ttt角位移角位移)(t 角坐标角坐标约定约定沿逆时针方向转动沿逆时针方向转动 沿顺时针方向转动沿顺时针方向转动 1 1 有限转动与无限小转动有限转动与无限小转动当刚体

4、围绕固定点转动时，转动轴方向也是时间的当刚体围绕固定点转动时，转动轴方向也是时间的函数，这时角位移不是矢量。函数，这时角位移不是矢量。xyzxyzxyzxyzxyzxyz（a）原来位形）原来位形（a）原来位形）原来位形（b）绕）绕z轴转轴转 /2（c）绕）绕y轴转轴转 /2（b）绕）绕y轴转轴转 /2（c）绕）绕z轴转轴转 /2 nr+ rrPPMO无限小转动时无限小转动时. 绕定点绕定点O的某的某轴转动了轴转动了, 其方向和大小用其方向和大小用转轴上的有方向线段转轴上的有方向线段 n来表来表示示, 叫做角位移叫做角位移.P为转动前位置为转动前位置, P绕定点绕定点O的的某轴转动了某轴转动了后

5、位置后位置.即即 nr+ rrPPMO如果刚体先后绕过如果刚体先后绕过O点的轴线点的轴线作了两次微小转动作了两次微小转动 n和和 n, 则则P点的位矢分别为点的位矢分别为(1)转动前转动前: r (2)转动了转动了 n后后: r + nr(3)再转动了再转动了 n后后: r + nr + n(r + nr)略去二阶项略去二阶项, 则得则得所以微小转动的合成可以对易所以微小转动的合成可以对易. 遵守矢量合成法则遵守矢量合成法则.xzP角坐标角坐标d角位移角位移角速度大小：角速度大小：由右手螺旋法则确定由右手螺旋法则确定. 角速度角速度 的方向：的方向：P点线速度与角速度的关系：点线速度与角速度的

6、关系：rvzPzP(定轴定轴)P点线加速度与角量的关系：点线加速度与角量的关系：vrrdtddtvda )(ravan对于定轴转动对于定轴转动2raran刚体各质元的角量相同刚体各质元的角量相同, 线量一般不同线量一般不同. 刚体定点转动时刚体定点转动时, 选定点为坐标系原点选定点为坐标系原点, 用三个独用三个独立角度来确定转动轴在空间的取向和刚体绕这轴所转立角度来确定转动轴在空间的取向和刚体绕这轴所转过的角度过的角度. 这三个能够独立变化的角度叫做欧勒角这三个能够独立变化的角度叫做欧勒角.3.3 欧拉角欧拉角xyzNy (1) 取两组右手正交坐标系取两组右手正交坐标系, 它们的原点都在定点它

7、们的原点都在定点O上上. (2) 坐标系坐标系O- 固定不动固定不动, 坐标系坐标系 O-xyz 固定在刚体上固定在刚体上随之一起转动随之一起转动. 1 1 欧勒角欧勒角zxyO假定假定O- 系系和和 O-xyz系开始重合系开始重合, 令令O-xyz绕绕 轴逆时轴逆时针转动针转动 , 于是于是x轴和轴和 轴分开，轴分开，y 轴和轴和 轴分开轴分开, 而且而且Ox轴转到轴转到Ox(即即ON); 进动 zxyONOzyx然后令活动系绕然后令活动系绕ON 转动转动 ,于是于是 z 轴和轴和 轴分开轴分开, 活活动系三个轴变到动系三个轴变到x, y和和z, z轴和轴和 轴夹角是轴夹角是 , x Oy平

8、面和平面和 O 平面夹角也是平面夹角也是 . 章动 NOzyxx y z ON最后，令活动系绕最后，令活动系绕 z轴转动轴转动 , 这时这时Ox和和Ox夹角是夹角是 , Oy 和和Oy夹角也是夹角也是 , 这时这时, 活动系为活动系为Ox y z.自转x y z x y z ONx y z ONzyxzyxzyxxyz 变化范围： 20 20 0NOzyxx y z ONx y z x y z ON O 平面平面和和xOy 平面的交线平面的交线ON 称节线称节线. ON和和O 间的夹角间的夹角 是一个欧勒角是一个欧勒角(进动角进动角). ON和和Ox间的夹角间的夹角 是另一个欧勒角是另一个欧勒

9、角(自自转角转角). O 和和Oz间的夹角间的夹角 是第三个欧勒角是第三个欧勒角(章动角章动角). 从图知从图知: z轴垂直轴垂直ON, 故故 z轴位置与轴位置与N有关有关, 因此因此 z轴位置要用轴位置要用 与与 两个角来确定两个角来确定. 为系统绕为系统绕 z轴转动的角轴转动的角. xyzNy O 刚体绕着通过定点刚体绕着通过定点O某一轴线以角速度某一轴线以角速度 转动转动, 在在活动系活动系Oxyz上的投影是上的投影是 x , y和和 z, 则则 kjizyx也可以认为也可以认为 是绕轴是绕轴O 的角速度的角速度 ,绕绕ON轴的角速度轴的角速度 及绕及绕Oz轴的角速度轴的角速度 三者的矢量和三者的矢量和.欧勒角好处：欧勒角好处： 简明、单值地确定刚体地位置简明、单值地确定刚体地位置 三个角度变化相互独立三个角度变化相互独立2 欧勒运动学方程欧勒运动学方程联系动系和静系角速度的方程联系动系和静系角速度的方程x0y0z0coscossincossinsinsin在动系上的分量cossincossincossinsinzyx欧勒运动学方程欧勒运动学方程小结小结刚体各种运动形式刚体各种运动形式: 平动平动 定轴转动