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1、例谈充要条件的证明问题 充要条件是本章的一个重要内容,也是高考及其他考试的一个热点。证明是“为真,前者证明的是充分性,后者证明的是必要性。以下两例,供参考。 例1 数列的前项和为,是不等于0和1的常数,求证数列为等比数列的充要条件是。 分析:证明充分性就是证明条件能推出结论,证明必要性那么是证明结论能推出条件。 证明:1先证充分性。 ,。,又,。 故数列是公比为的等比数列。 2再证必要性 数列为等比数列,。,。 综上所述,数列为等比数列的充要条件是。 评注:证明充要条件,首先要找到条件和结论,如此题“证明数列为等比数列的充要条件是说的很明白,条件是,结论是数列为等比数列。充分性和必要性要逐一证
2、明,并有必要的文字说明。例2 ,求证:的充要条件是。分析:此题中是大前提,证明充要条件,即证明既是充分条件又是必要条件,必须证明必要性与充分性都成立。证明:先证必要性:,即,必要性成立。再证充分性: ,即,。又,且,从而,即,充分性也成立。故时,的充要条件是。 评注:证明充要条件时,要分清充分性是证明怎样的一个式子成立,必要性又是证明怎样的一个式子成立。例3 方程,求使方程有两个大于1的根的充要条件。 分析:求充要条件,那么推理的各步应是可逆的,是有实根的充要条件。 解析:设方程的两根为、,使、都大于1的充要条件是 ,即。 由韦达定理得,解得。 故所求的充要条件为。 评注:“,但反过来,“,例如取,有,且,但没有
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