2011届高三数学一轮复习 第2知识块第10讲函数与方程课件

1、【考纲下载考纲下载】1. 结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的关系，判断一元二次方程结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的关系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数根的存在性及根的个数2根据具体函数的图象，能够用二分法求相应方程的近似解根据具体函数的图象，能够用二分法求相应方程的近似解.第第1010讲讲 函数与方程函数与方程1函数零点函数零点 (1)对于函数对于函数yf(x)，我们把使，我们把使 叫做函数叫做函数yf(x)的零点的零点 (2)方程方程f(x)0有实根有实根函数函数yf(x)的图象的图象 函数函数 y f(x) . (3)如果函数如果函数yf(x)在区间在区间a，b

2、上的图象是连续不断的一条曲线，并且上的图象是连续不断的一条曲线，并且 有有 ，那么，函数，那么，函数yf(x)在区间在区间(a，b)内有内有 ，即存在，即存在c(a，b)， 得得 ，这个，这个c也就是方程也就是方程f(x)0的根的根f(x)0的实数的实数x与与x轴有交点轴有交点有零点有零点f(a)f(b)0零点零点f(c)0【思考思考】 函数的零点是函数函数的零点是函数yf(x)与与x轴的交点吗？轴的交点吗？答案：答案：函数的零点不是函数函数的零点不是函数yf(x)与与x轴的交点，而是轴的交点，而是yf(x)与与x轴交点轴交点的横坐标，也就是说函数的零点不是一个点，而是一个实数的横坐标，也就是

3、说函数的零点不是一个点，而是一个实数b24ac000ax2bxc0(a0)x1,2x1x2方程无方程无实根实根yax2bxc(a0)的图象的图象函数函数yax2bxc(a0)的零点的零点 . . .2二次函数二次函数y bxc(a0)的图象与零点的关系的图象与零点的关系有两个不同的零点有两个不同的零点有一个零点有一个零点无零点无零点提示：提示：二次函数二次函数yax2bxc(a0)的零点就是相应的一元二次方程的零点就是相应的一元二次方程ax2bxc0的实数根，也是二次函数的图象与的实数根，也是二次函数的图象与x轴交点的横坐标轴交点的横坐标3二分法二分法 (1)对于在区间对于在区间a，b上连续不

4、断且上连续不断且f(a)f(b)0的函数的函数yf(x)，通过不断地把函数，通过不断地把函数 f(x)的零点所在的区间的零点所在的区间 ，使区间的两个端点逐步逼近，使区间的两个端点逐步逼近 ， 进而得到零点近似值的方法叫做二分法进而得到零点近似值的方法叫做二分法一分为二一分为二零点零点(2)给定精确度给定精确度，用二分法求函数，用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤如下：零点近似值的步骤如下：确定区间确定区间a，b，验证，验证f(a)f(b)0，给定精确度，给定精确度；求区间求区间(a，b)的中点的中点c；计算计算f(c)；()若若f(c)0，则，则c就是函数的零点；就是函数的零点；()若若f

5、(a)f(c)0，则令，则令bc(此时零点此时零点 (a，c)；()若若f(c)f(b)0，则令，则令ac(此时零点此时零点 (c，b)判断是否达到精确度判断是否达到精确度.即：若即：若|ab|，则得到零点近似值，则得到零点近似值a(或或b)；否则重复；否则重复.1函数图象与函数图象与x轴均有交点，但不宜用二分法求交点横坐标的是轴均有交点，但不宜用二分法求交点横坐标的是() 解析：解析：B中中x0左右两边的函数值均大于零，不适合二分法求零点的条件左右两边的函数值均大于零，不适合二分法求零点的条件 答案：答案：B2函数函数f(x)xlog2x的零点所在区间为的零点所在区间为() A. B. C.

6、 D. 解析：解析：因选项中只有因选项中只有f f 0，所以函数的零点在区间，所以函数的零点在区间 上上 答案：答案：C3(2009青岛一检青岛一检)根据表格中的数据，可以判定方程根据表格中的数据，可以判定方程exx20的一个根所在的的一个根所在的 区间为区间为()x10123ex0.3712.727.3920.09x212345A.(1,0) B(0,1) C(1,2) D(2,3)解析：解析：令令f(x)exx2，由，由f(0)0，f(1)0，f(2)0，可以判定方程，可以判定方程exx20的一个根所在的区间为的一个根所在的区间为(1,2)答案：答案：C4(2009安徽名校联考二安徽名校联

7、考二)函数函数f(x)ln xx22x5的零点个数为的零点个数为_ 解析：解析：令令ln xx22x50得得ln xx22x5，画图可得函数，画图可得函数yln x与函数与函数 yx22x5的图象有的图象有2个交点，即函数个交点，即函数f(x)的零点个数为的零点个数为2. 答案：答案：2求函数求函数f(x)零点的方法：零点的方法：1代数法：即求方程代数法：即求方程f(x)0的实根的实根2几何法：即利用函数几何法：即利用函数yf(x)的图象和性质找出零点的图象和性质找出零点 【例例1】 求下列函数的零点：求下列函数的零点： (1)f(x)x31；(2)f(x) . 思维点拨：思维点拨：令令f(x

8、)0，通过因式分解等手段求方程，通过因式分解等手段求方程f(x)0的根的根解：解：(1)f(x)x31(x1)(x2x1)，令令(x1)(x2x1)0，解得解得x1，f(x)x31的零点是的零点是x1.(2)f(x) 令令 0，解得解得x1，f(x) 的的零点是零点是x1.函数零点个数的判定有下列几种方法：函数零点个数的判定有下列几种方法：1直接求零点：令直接求零点：令f(x)0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点，如果能求出解，则有几个解就有几个零点2零点存在性定理：利用该定理不仅要求函数在零点存在性定理：利用该定理不仅要求函数在a，b上是连续的曲线，上是连续的曲线，f(a)f(b)0.还

9、必须结合函数的图象和性质还必须结合函数的图象和性质(如单调性如单调性)才能确定函数有多少个零点才能确定函数有多少个零点3画两个函数图象，看其交点的个数有几个，其中交点的横坐标有几个不同的值，画两个函数图象，看其交点的个数有几个，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点就有几个不同的零点【例例2】 求函数求函数yln x2x6的零点个数的零点个数 思维点拨：思维点拨：该问题转化为求函数该问题转化为求函数yln x与与y62x的图象的交点个数，的图象的交点个数， 因此只需画出图，数形结合即可因此只需画出图，数形结合即可解：解：在在同一坐标系画出同一坐标系画出y=ln x与与y=6-2x的

10、图象，由图可知两图象只有一个的图象，由图可知两图象只有一个交点，故函数交点，故函数y=ln x+2x-6只有一个零点只有一个零点 变式变式2：f(x) 的零点个数为的零点个数为() A1 B2 C3 D0 解析：解析：f(x)0，即，即 0， 即即x10或或ln x0，得，得x1. 答案：答案：A解此类问题，通常有两种方法一种是利用方程中根与系数的关系或利用函数思想结合解此类问题，通常有两种方法一种是利用方程中根与系数的关系或利用函数思想结合图象求解，二是构造两个函数分别作出图象，利用数形结合法求解此类题目也体现了图象求解，二是构造两个函数分别作出图象，利用数形结合法求解此类题目也体现了函数与

11、方程、数形结合的思想函数与方程、数形结合的思想【例例3】 (2009山东山东)若若函数函数f(x)axxa(a0，且，且a1)有两个零点有两个零点， 求实数求实数a的取值范围的取值范围解：解：函数函数f(x)的零点的个数就是函数的零点的个数就是函数yax与函数与函数yxa交点的个数，由函数的图象交点的个数，由函数的图象可知可知a1时两函数图象有两个交点时两函数图象有两个交点，0a1时两函数图象有唯一交点，故时两函数图象有唯一交点，故a1.变式变式3：已知函数已知函数f(x)mx2(m3)x1的图象与的图象与x轴的交点至少有一个在原点右侧，轴的交点至少有一个在原点右侧， 则实数则实数m的取值范围

12、是的取值范围是() A(0,1 B(0,1) C(，1) D(，1解析：解法一：解析：解法一：取取m0，有，有f(x)3x1的根的根x 0，即，即m0应符合题设，应符合题设，所以排除所以排除A、B；当；当m1时，时，f(x)x22x1(x1)2，它的根是它的根是x1符合要求，排除符合要求，排除C.解法二：解法二：直接法，直接法，f(0)1，(1)当当m0时必成立，排除时必成立，排除A、B. (2)当当m0时，要使与时，要使与x轴交点至少有一个在原点右侧，则轴交点至少有一个在原点右侧，则 ，0m1.(3)当当m0时，根为时，根为x.综上综上m1.答案：答案：D二分法是把函数二分法是把函数f(x)

13、的零点所在区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进的零点所在区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而求零点近似值的方法它适合于而求零点近似值的方法它适合于yf(x)的图象在的图象在a，b连续不间断，连续不间断，f(a)f(b)0，满足这两个条件，才能利用二分法求函数零点的近似值满足这两个条件，才能利用二分法求函数零点的近似值【例例4】 (2009(2009盐城模拟盐城模拟)在用二分法求方程在用二分法求方程x32x10的一个近似解时，的一个近似解时， 现在已经将根锁定在区间现在已经将根锁定在区间(1,2)内，则下一步可断定该根所在的区内，则下一步可断定该根所在的区 间为间为_ 思维

14、点拨：思维点拨：令令f(x)x32x1，在区间，在区间(1,2)内取中间值，内取中间值， 利用利用f(a)f(b)0判断判断解析：解析：在在(1,2)内取中点内取中点x0，令，令f(x)x32x1，f 40，f(2)8410.f(x)0的根在的根在 内内答案：答案：【方法规律方法规律】1对函数零点存在的判断中，必须强调：对函数零点存在的判断中，必须强调：(1)f(x)在在a，b上连续，上连续，(2)f(a)f(b)0.事实上，这是零点存在的一个充分不必要条件事实上，这是零点存在的一个充分不必要条件2用二分法求函数零点的近似值时，最好是将计算过程中所得到的各个区间、用二分法求函数零点的近似值时，

15、最好是将计算过程中所得到的各个区间、区间中点坐标、区间中点的函数值等列在一个表格中，区间中点坐标、区间中点的函数值等列在一个表格中，这样可更清楚发现零点所在区间这样可更清楚发现零点所在区间.【高考真题高考真题】(2009天津天津)设函数设函数f(x) xln x(x0)，则，则yf(x)()A在区间在区间 ，(1，e)内均有零点内均有零点B在区间，在区间，(1，e)内均无零点内均无零点C在区间内有零点，在区间在区间内有零点，在区间(1，e)内无零点内无零点D在区间内无零点，在区间在区间内无零点，在区间(1，e)内有零点内有零点【规范解答规范解答】解析：解析：由题意，得由题意，得ff(1)0且且f(1)f(e)0，又，又f(x) ，当当0 x3时，时，f(x)0，f(x)在在(0,3)上单调递减所以上单调递减所以D正确正确答案：答案：D【探究与研究探究与研究】本题考查函数零点的相关知识考题的命制，直接给出函数解析式，然后设计本题考查函数零点的相关知识考题的命制，直接给出函数解析式，然后设计了四个选项，意在通过对问题的判断，直接考查函数零点的定义了四个选项，意在通过对问题的判断，直接考查函数零点的定义本题是江苏版数学必修本题是江苏版数学必