2011年高考一轮数学复习 9-6棱柱、棱锥的概念和性质理 同步练习（名师解析）

1、第9章 第6节 知能训练·提升考点一：棱柱、棱锥的概念与性质1设有四个命题：底面是矩形的平行六面体是长方体；棱长相等的直四棱柱是正方体；有两条侧棱都垂直于底面一边的平行六面体是直平行六面体；对角线相等的平行六面体是直平行六面体以上四个命题中，真命题的个数是()A1B2C3 D4解析：命题不是真命题，因为底面是矩形，若侧棱不垂直于底面，这时四棱柱仍然是斜平行六面体命题不是真命题，若底面是菱形，底面边长与棱长相等的直四棱柱不是正方体命题也不是真命题，因为有两条侧棱垂直于底面一边，这时两个对的侧面是矩形，但是不能推出侧棱与底面垂直命题是真命题，由对角线相等，可得出平行六面体的对角面是矩形，

2、从而推出侧棱与底面垂直，这个平行六面体是直平行六面体答案：A2下面是关于三棱锥的四个命题：底面是等边三角形，侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥；底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥；底面是等边三角形，侧面的面积都相等的三棱锥是正三棱锥；侧棱与底面所成的角都相等，且侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥其中真命题的编号是_(写出所有真命题的编号)解析：正确如图，可令ABVBVCBCAC，则VBC为等边三角形而VAB和VCA均为等腰三角形，故不能判定为正三棱锥；侧面积相等只能证明斜高相等，并不能表示侧面为全等三角形，故不能判定为正三棱锥；正确答案：考点二：棱柱

3、、棱锥的平行与垂直问题3在正四棱锥PABCD中，PAAB，M是BC的中点，G是PAD的重心，则在平面PAD中经过G点且与直线PM垂直的直线有_条解析：如图，若设正四棱锥的底面边长为a，则侧棱为a，由于PMBC，所以PMa，连结PG并延长与AD相交于N点，则PNa，又MNABa，所以PM2PN2MN2，于是PMPN，又PMAD，所以平面PAD，因此在平面PAD中经过G点的任意一条直线都与PM垂直答案：无数4如图所示，在底面为平行四边形的四棱锥PABCD中，ABAC，PA平面ABCD，且PAAB，点E是PD的中点(1)求证：ACPB；(2)求证：PB平面AEC；(3)求二面角EACB的大小解：(1

4、)证明：由PA平面ABCD可得PAAC，又ABAC，AC平面PAB，ACPB.(2)证明：如图所示，连结BD交AC于点O，连结EO，则EO是PDB的中位线，EOPB，PB平面AEC.(3)取AD的中点F，连结EF，FO，则EF是PAD的中位线，EFPA，又PA平面ABCD，EF平面ABCD，同理FO是ABD的中位线，FOAB，POAC.由三垂线定理可知，EOF是二面角EACD的平面角又FOABPAEF，EOF45°，而二面角EACB与二面角EACD互补，故所求二面角EACB的大小为135°.考点三：棱柱、棱锥中角与距离的计算5(2010·昆明)三棱锥SABC中，S

5、A底面ABC，SA4，AB3，D为AB的中点，ABC90°，则点D到面SBC的距离等于()A. B. C. D.答案：C6如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ACB90°，CB1，CA，AA1，M为侧棱CC1上一点，AMBA1.(1)求证：AM平面A1BC；(2)求二面角BAMC的大小；(3)求点C到平面ABM的距离解：(1)证明：在直三棱柱ABCA1B1C1中，易知面ACC1A1面ABC，ACB90°，BC面ACC1A1.AC面ACC1A1，BCAM.AMBA1，且BCBA1B，AM平面A1BC.(2)设AM与A1C的交点为O，连结BO，由(1)可知AMOB，

6、且AMOC，BOC为二面有BAMC的平面角在RtACM和RtA1AC中，OACACO90°，AA1CMAC.RtACMRtA1AC.AC2MC·AA1.MC.在RtACM中，AM.AC·MCAM·CO，CO1.在RtBCO中，tanBOC1.BOC45°，故所求二面角的大小为45°.(3)设点C到平面ABM的距离为h，易知BO，可知SABM·AM·BO××.VCABMVMABC，hSABMMC·SABC.h.点C到平面ABM的距离为.考点四：棱柱、棱锥的面积与体积计算7在三棱锥PABC

7、中，BC3，CA4，AB5，若三侧面与底面所成二面角ABCP为45°，BACP为45°，CABP为45°，则三棱锥PABC的体积为()A1 B2C3 D4解析：设三棱锥PABC的高为h，底面三角形的内切圆的半径为r，则hr，由r(345)×3×4，所以r1，因此VSABCh2.答案：B8(2010·东北模拟)正三棱锥底面边长为a，侧棱与底面所成角为60°，过底面一边作一截面使其与底面成30°的二面角，则此截面的面积为()A.a2 B.a2C.a2 D.a2解析：如图，E为AB中点，CEBCa，DEC30°

8、，DCE60°，EDC90°DECE·sin60°a·a，SACB·a·aa2.答案：D1.(2009·辽宁)正六棱锥PABCDEF中，G为PB的中点，则三棱锥DGAC与三棱锥PGAC体积之比为()A11 B12C21 D32解析：由题意可知VBGACVPGAC，三棱锥VBGACVGBAC，VDGACVGADC，又三棱锥GBAC与三棱锥GADC等高，且SBACSADC12，综上可知VDGACVPGAC21，故选择C.答案：C2(2008·全国卷)正四棱锥的侧棱长为2，侧棱与底面所成的角为60°，

9、则该棱锥的体积为()A3 B6C9 D18解析：高h2sin60°3，又因底面正方形的对角线等于2，底面积为S2××2×6，体积V×6×36.答案：B3(2009·全国)如图，直三棱柱ABCA1B1C1中，ABAC，D、E分别为AA1、B1C的中点，DE平面BCC1.(1)证明：ABAC；(2)设二面角ABDC为60°，求B1C与平面BCD所成的角的大小解法一：(1)取BC中点F，连接EF，则EF綊B1B，从而EF綊DA.连接AF，则四边形ADEF为平行四边形，从而AFDE.又DE平面BCC1，故AF平面BCC1，

10、从而AFBC，即AF为BC的垂直平分线，ABAC.(2)作AGBD，垂足为G，连接CG.由三垂线定理知CGBD，故AGC为二面角ABDC的平面角由题设知，AGC60°.设AC2，则AG.又AB2，BC2，故AF.由AB·ADAG·BD得2AD·，解得AD，故ADAF.又ADAF，四边形ADEF为正方形BCAF，BCAD，AFADA，故BC平面DEF，因此平面BCD平面DEF.连接AE、DF，设AEDFH，则EHDF，EH平面BCD.连接CH，则ECH为B1C与平面BCD所成的角四边形ADEF为正方形，AD，故EH1，又ECB1C2，ECH30°

11、，即B1C与平面BCD所成的角为30°.解法二：(1)以A为坐标原点，射线AB、AC、AA1分别为x轴、y轴、z轴的正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz.设B(1,0,0)，C(0，b,0)，D(0,0，c)，则B1(1,0,2c)，E(，c)于是(，0)，(1，b,0)由DE平面BCC1知DEBC，·0，求得b1，ABAC.(2)设平面BCD的一个法向量为(x，y，z)，则·0，·0.又(1,1,0)，(1,0，c)，故令x1，则y1，z，(1,1，)又平面ABD的一个法向量为(0,1,0)，由二面角ABDC为60°知，60°，故·|·|·cos60°，求得c.于是(1,1，)，(1，1，)，cos，60°.B1C与平面BCD所成的角为30°.如图，已知在斜三棱柱ABCA1B1C1中，侧面A1C底面ABC，ABACAA11.ABAC，且侧棱AA1与底面ABC所成的角为60°.(1)求证：ABA1C；(2)求二面角C1BCA大小的正切值；(3)求该三棱柱的侧面积解：(1)证明：面A1C面ABC，面A1C面ABCAC且ABAC，AB面A1C，从而ABA1C.(2)过C1作C1MA