2011年高考一轮数学复习 8-1椭圆 理 同步练习（名师解析）

1、第8章 第1节 知能训练·提升考点一：椭圆定义的应用1设椭圆1上一点P到左准线的距离为10，F是该椭圆的左焦点，若点M满足()，则|_.解析：设右焦点为F，则|PF|10×6，|PF|1064，|OM|PF|2.答案：22椭圆1的左、右焦点分别为F1、F2，点P在椭圆上，如果线段PF1的中点在y轴上，则|PF1|是|PF2|的()A7倍B5倍C4倍 D3倍解析：a212，b23，c29，c3，即F1(3,0)，F2(3,0)由PF1的中点在y轴上，知点P的横坐标为3，将x3代入椭圆方程求得y±.|PF2|.由椭圆定义，知|PF1|PF2|4，|PF1|.|PF1|

2、7|PF2|.答案：A3已知点A(4,0)和B(2,2)，M是椭圆1上的动点，求|MB|MA|的最小值，并求此时点M的坐标解析：由椭圆方程知a225，b29，c216，e.如图，过M点向椭圆的右准线作垂线，垂足为T，则由椭圆第二定义知， |MT|MA|，|MB|MA|MB|MT|，显然M、B、T共线时，|MB|MT|最小，最小值为|BT|22，此时点M的坐标为(，2)答案：(，2)考点二：椭圆的方程4(2010·北京东城目标检测)离心率为e的椭圆，它的焦点与双曲线y21的焦点重合，则此椭圆的方程为_解析：由y21得双曲线的焦点在x轴上，且坐标分别为(2,0)，(2,0)，椭圆的焦距2

3、c4，又椭圆的离心率e，椭圆的长轴长2a8，短轴长2b4，椭圆的方程是1.答案：15已知椭圆中心在原点，一个焦点为F(2，0)，且长轴长是短轴长的2倍，则该椭圆的标准方程是_解析：依题意，得c2，2a2·2b，即a2b，又a2b2c2，解之得a4，b2.椭圆标准方程为1.答案：16根据下列条件求椭圆的标准方程：(1)两准线间的距离为，焦距为2；(2)和椭圆1共准线，且离心率为；(3)椭圆经过点M(2，)和N(1,2)解：(1)设椭圆长轴长为2a，短轴为2b，焦距为2c，则解得所以所求椭圆方程为1或1.(2)设椭圆方程1(a>b>0)，则其准线为x±12.所以解得

4、所以所求椭圆方程为1.(3)由题设，可知椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴上，因而可设所求椭圆的方程为mx2ny21(m>0，n>0，mn)，又M(2，)，N(1,2)在椭圆上，由解之得m，n，所求椭圆方程为1.考点三：椭圆的性质7(2010·衡阳联考)如图，已知A、B两点分别是椭圆C：1(ab0)的左顶点和上顶点，F为椭圆的右焦点，若·0，则椭圆的离心率e的取值范围是_解析：A(a,0)，B(0，b)，F(c,0)，(a，b)，(c，b)，由·0得acb20，而b2a2c2，a2c2ac，1e2e，即e2e10，解得e或e，又0e1，e1.答案：(，1)

5、8(2010·山西晋城一中模拟)已知椭圆M的两焦点坐标分别为F1(1,0)，F2(1,0)，离心率e，P是椭圆M上的动点(1)求椭圆M的方程；(2)设|m，求m的取值范围(3)求·的取值范围解：(1)由已知得c1，a2，b，即椭圆M的方程为1.(2)设P点的坐标为(x0，y0)，则x02,2，又|e(x0)aex0，|e(x0)aex0，m|2ex0x02,2(3)|m，|4，|，|.·|·|cos，|·|·(|PF1|2|2|2)()2()222.又m2,2， ·2,3.1.(2009·全国)已知椭圆C：y21的

6、右焦点为F，右准线为l，点Al，线段AF交椭圆C于点B.若3，则()A. B2C. D3解析：作BB1l于B1，依题意得.又3，因此|AB|2|BF|，即cosABB1，ABB145°，所以直线FB的倾斜角是45°.又点F(1,0)，因此直线FB的方程是yx1，右准线l的方程是x2，因此点A的坐标是(2,1)，|，选A.答案：A2(2009·山东)设椭圆E：1(a，b>0)过M(2，)，N(，1)两点，O为坐标原点(1)求椭圆E的方程(2)是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A，B，且？若存在，写出该圆的方程，并求|AB|的取值

7、范围；若不存在，说明理由解：(1)将M、N的坐标代入椭圆E的方程得解得a28，b24.所以椭圆E的方程为1.(2)证明：假设满足题意的圆存在，其方程为x2y2R2，其中0<R<2.设该圆的任意一条切线AB和椭圆E交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，当直线AB的斜率存在时，令直线AB的方程为ykxm，将其代入椭圆E的方程并整理得(2k21)x24kmx2m280.由韦达定理得x1x2，x1x2.因为，所以x1x2y1y20.将代入并整理得(1k2)x1x2km(x1x2)m20，联立得m2(1k2)因为直线AB和圆相切，因此R.由得R，所以存在圆x2y2满足题意当切线AB的斜

8、率不存在时，易得xx，由椭圆E的方程得yy，显然.综上所述，存在圆x2y2满足题意解法一：当切线AB的斜率存在时，由得|AB|4.令t，则<t1，因此|AB|232t(1t)(t)212.所以|AB|212，即|AB|2.当切线AB的斜率不存在时，易得|AB|，所以|AB|2.综上所述，存在圆心在原点的圆x2y2满足题意，且|AB|2.解法二：过原点O作ODAB，垂足为D，则D为切点，设OAB，则为锐角，且|AD|，|BD|tan，所以|AB|(tan)因为2|OA|2，所以tan.令xtan，易证：当x，1时，|AB|(x)单调递减当x1，时，|AB|(x)单调递增所以|AB|2.3(

9、2009·安徽)点P(x0，y0)在椭圆1(a>b>0)上，x0acos，y0bsin，0<<.直线l2与直线l1：xy1垂直，O为坐标原点，直线OP的倾斜角为，直线l2的倾斜角为.(1)证明点P是椭圆1与直线l1的唯一交点；(2)证明tan，tan，tan构成等比数列证明：(1)证法一：由xy1得y(a2x0x)，代入椭圆方程1，得()x2x(1)0.将代入上式，得x22acos·xa2cos20，从而xacos.因此，方程组有唯一解即l1与椭圆有唯一交点P.证法二：显然P是椭圆与l1的交点，若Q(acos1，bsin1),01<2是椭圆与l

10、1的交点，代入l的方程xy1，得coscos1sinsin11，即cos(1)1，1，故P与Q重合证法三：在第一象限内，由1可得y，y0，椭圆在点P处切线的斜率ky(x0)，切线方程为y(xx0)y0，即1.因此，l1就是椭圆在点P处的切线根据椭圆切线的性质，P是椭圆与直线l1的唯一交点(2)tantan，l1的斜率为，l2的斜率为tantan，由此得tantantan20，tan，tan，tan构成等比数列.1.以椭圆的右焦点F2为圆心作一个圆，使此圆过椭圆中心O并交椭圆于点M、N，若过椭圆左焦点F1的直线MF1是圆F2的切线，则椭圆的右准线与圆F2()A相交 B相离C相切 D位置关系随离心率改变解析：由已知得|MF2|c，|MF1|2ac，又MF1MF2，(2ac)2c24c2. 解得4a24ac2c2