浙教出版八学年三角形中几种模型

1、一、手拉手模型：1手的判别：判断左右，将等腰三角形顶角顶点朝上，左边为左手顶点，右边为右手顶点。2手拉手的定义两个顶角相等且有共顶点的等腰三角形形成的图形。（左手拉左手，右手拉右手）3手拉手基本结论AB*zAB'C'(SAS) /BAB'= /BOB'AO平分/ BOC'、例题例1、在直线 ABC的同一侧作两个等边三角形 ABD和ABCE,连接AE与CD ,证明:(1) MBEJDBC(2) AE=DC(3) AE与DC的夹角为60(4) MGBdDFB(5) 在GBzCFB(6) BH 平分/AHC(7) GF /AC接AE与CD,证明:B变式练习1、

2、如果两个等边三角形 ABD和ABCE,连(1) MBEJDBC(2) AE=DC(3) AE与DC的夹角为60(4) AE与DC的交点设为 H,BH平分/AHC变式练习2:如果两个等边三角形 ABD ABCE,连接AE与CD,证明:(1) MBEJDBC(2) AE=DC(3) AE与DC的夹角为60。(4) AE与DC的交点设为 H,BH平分/AHC变式训I练3:两个等腰三角形 ABD与BCE,其中AB=BD,CB=EB, /ABD= /CBE=a连接AE与CD.问(1) 9BE/DBC是否成立？(2) AE是否与 CD相等？(3) AE与CD之间的夹角为多少度?(4) HB是否平分/ AH

3、C ?例2:如图，两个正方形 ABCD和DEFG,连接AG与CE,二者相交于 H问：(1) AADGzCDE是否成立？(5) AG是否与 CE相等？(6) AG与CE之间的夹角为多少度?(7) HD是否平分/ AHE ?例3:如图两个等腰直角三角形ADC与EDG,连接AG,CE,二者相交于H.问 (1 ) AADG 且/CDE是否成立？(2) AG是否与 CE相等？(3) AG与CE之间的夹角为多少度?(4) HD是否平分/ AHE ?1800.二、半角模型-且1、条件： 22、思路：截长补短旋转MN=BM + DN ,例1、在正方形 ABCD中，若 M、N分别在边 BC、CD上移动，且满足求

4、证：./MAN= 45e C cmn 2AB.AM、AN分别平分ZBMN和ZDNM.例2拓展：在正方形 ABCD中，已知/ MAN= 45 ,若M、N分别在边CB、DC的延长线上移动,.试探究线段 MN、BM、DN之间的数量关系.求证：AB=AH.例3.在四边形 ABCD中，ZB+ ZD= 180,AB=AD ,若E、F分别在边 BC、CD上，且满足 EF=BE +DF.求证:1EAF BAD.2练习巩固1: (1)如图1,在正方形 ABCD中,BOE、F分别是 BC、CD上的点，且/ EAF = 45,试判断BE、DF与EF三条线段之间的数量关系，直接写出判断结果:(2)如图2,若把(1)问

5、中的条件变为“在四边形ABCD 中，AB=AD, ZB+ZD = 180 ° , E、F分另是边 BC、CD1 4八一、r 4 八上的点，且/ EAF= /BAD"，则(1)问中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明，若不成立,2请说明理由;(3)在(2)问中，若将 AEF绕点A逆时针旋转，当点分别 E、F运动到BC、CD延长线上时,如图3所示，其它条件不变，则(1)问中的结论是否发生变化？若变化，请给出结论并予以证明AB练习巩固2：已知：正方形 ABCD中， MAN 45°,绕点A顺时针旋转，它白两边分别交 CB、DC (或它们的 延长线)于点M、N .(1)如

6、图1 ,当 MAN绕点A旋转到BM DN时，有BM DN MN .当 MAN 绕点A旋转到BM DN时，如图2,请问图1中的结论还是否成立？如果成立，请给予证明，如果不成立，请说明理由;(2)当 MAN绕点A旋转到如图3的位置时，线段BM ,DN和MN之间有怎样的等量关系？请写出你的猜想,并证明.练习巩固3:在等边 ABC的两边AB , AC所在直线上分别有两点 M ,N,D为 ABC外一点，且 MDN 60 ,BDC 120 , BD CD ,探究：当点M , N分别爱直线AB , AC上移动时，BM , BN , MN之间的数量关系及AMN的周长Q与等边ABC的周长L的关系.图图图(1)如

7、图，当点M , N在边AB , AC上，且DM DN时，BM , NC , MN之间的数量关系式 Q(2)如图，当点M , N在边AB , AC上，且DM DN时，猜想(1)问的两个结论还成立吗？写出你的猜想并加以 证明；(3)如图，当点 M ,N分别在边AB,CA的延长线上时，若 AN x,则Q 用x , L表示)练习巩固4:如图，已知在正方形 ABCD中，MAN45 ° ,连接BD与AM , AN分别交于E、F两点。求证：(1) MN=MB+DN ;(2)点A到MN的距离等于正方形的边长；(3) VCMN1周长等于正方形 ABCD边长的2倍；(4)SWABCD2ABS/CMNMN

8、'(5)若 MAB20,求 AMN(6)若 MAB 0 p p 45 ,求 AMN(7)EF2 EB2 DP；(8) VAEFNTVAFM1等腰三角形;(9)SVAEFSVAMN三、三垂直模型（一线三等角）（K型）1、常见的一线三垂直的模型。例1:如图，正方形 ABCD中，E、F分别为BC、CD上的点，且 AEXBF,垂足为点 G.U求证：AE=BF .变式训练：等腰 RtMBC中，AC=AB , /BAC=90，点D是AC的中点，AFXBD于点E,交BC于点F,连接DF,求证：/ 1 = /2。例2:如图，点P是正方形ABCD边AB上一点(不与点A. B重合)，连接PD并将线段PD绕

9、点P顺时针方向旋转90°得到线段PE, PE交边BC于点F.连接BE、DF。求证：Z ADP= /EPB;求/CBE的度数;例3:等腰直角 ABC,其中AB=AC , /BAC=90 ° ,过B、C作经过A点直线L的垂线，垂足分别为 M、N.(1)你能找到一对三角形的全等吗？并说明.(2) BM , CN , MN之间有何关系？若将直线 l旋转到如图2的位置，其他条件不变，那么上题的结论是否依旧成立？Vmi四、角平分线模型如图，P是/MON 的平分线上一点，过点 P作1、边垂直PAXOM 于点 A, PBXON 于点 B。结论：PB=PA例1: (1)如图，在AACC中，/

10、C=90AD平分/CAB,BC=6 ,BD=4，那么点D到直线 AB的距离是(2)如图，/ 1= /2 , + /3= /4。AP 平分/BAC。例2:如图， ABC的外角/ACD的平分线CP与内角/ ABC的平分线BP交于点P,若/BPC=40O,则 zCAP=例3:.如图，在四边形 ABCD中，BC>AB , AD=DC , BD平分/ABC。求证：/ BAD+ ZBCD=180 ° 。2、翻折全等(对称)如图，P是/MON 的平分线上一点，点 A是射线OM 上任意一点，在 ON上截取 OB=OA ,连接PB。结论：OPBzOPA。例1: (1)如图所示，在那BC中，AD是

11、那BC的外角平分线，P是AD上异于点A的任意一点，试比较PB+PC与AB+AC的大小，并说明理由;(2)如图所示，AD是GABC的内角平分线，其他条件不变，试比较PC-PB与AC-AB的大小，并说明理由。例 2:.已知，在 ABC 中，/A=2 ZB, CD 是/ACB 的平分线，AC=16 , AD=8 。求线段BC的长。例3:如图所示，在那BC中，/A=100/A=40BD是/ABC的平分线，延长BD至E, DE=AD。求证：BC=AB+CE。例 4:已知，在 ABC 中，AB=AC , ZA=108 ° , BD 平分/ABC。求证：BC=AB+CD 。3、角平分线+垂线一等腰

12、（三线合一）如图，P是/MO的平分线上一点， APLOP于P点，延长 AP于点Bo例1:如图，已知等腰直角三角形 ABC中，/A=90 ° ,AB=AC , BD平分/ABC,CEXBD,垂足为 E。求证：BD=2CE 。AD E例2:如图，在 ABC中，BE是角平分线， AD ± BE,垂足为 D。求证：Z 2= Z1+ ZCo例3: (1)如图，BD、CE分别是4ABC的外角平分，过点 A作ADLBD、AEXCE,垂足分别为 D、E,连接 DE。求证：(1)AB+AC+BC=MN成立请说明理由，若不成(2)如图，BD、CE分别是4ABC的内角平分，其它条件不变。上述结论是否成立？立，那MN与AABC三边又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并进行证明。与"BC三边又有怎样的数(3)如图，BD是那BC的内角平分，CE>AABC的外角平分，其它条件不变。MN量关系？请写出你的猜想，并进行证明。4、角平分线+平行线一等