深度学习学会反思提高高考数学成绩

1、深度学习一学会反思，提高高考数学成绩方金斌（歙县中学）反思是指主动地对已完成的思维过程进行周密且有批判性的再思考，是对已形成的数学思想、方法和知识从另一角度， 以另一方式进行再认识以求得新的深入认识， 或提出疑问作 为新的思考起点。课堂教学是培养学生反思习惯的主渠道，而解题教学是数学课堂教学的主体。著名数学家波利亚在“怎样解题”表中给出了解答数学问题的 4个阶段：弄清问题一一拟定计划一一 实现计划一一回顾。其中“回顾”就是解题后的反思，它是解题思维过程中的深化和提高。因此，在解题教学中不能满足于获得正确答案，教师要引导反思解题的思维过程，总结解题经验教训。具体地说就是对解题思路、解题规律、解题

2、结果进行反思。一、反思解题思路，激发并培养学生数学学习兴趣与热情。对一道数学题，往往由于审题的角度不同得出多种解题方法。解完一道题后不能停留在所得出结论上，应引导学生再回过头来思考。 教师向学生提出：你是怎么想的？为什么这样 想？用发问的方式将学生的思维一步步展开，重现学生的思维过程并引导学生根据题目的基本特征，进行多角度观察、联想，找到更多的思维通道，去探索更好的解题途径。例如：在一次数学复习课上，我曾把2000年高考理科第14题作为例题：如下图，椭圆22x y一+，=1的两焦点为, F2,点P为椭圆上的动点，当 /F1PF2为钝角时，点P横坐标 94的取值范围是。当时我讲了两种解法:解法=

3、1的两焦点为F1（J5,0）,f2（J5,0）。当点p在上半椭圆上时,kpF2 一 kpF1NF1PF2为钝角匕 tan，F1PF2 = ( < 01 kpF2 kPF1设点P坐标为（x,y）,则kpF2T7F,kpF1代人，整理得户5/ <0,等价于x2 +y2 -5<0O将y2 =4(1 L)代入,x y -595 23.535得x2 <1O解得-<x<。当点P在下半椭圆上时，也可得到相同的结论。955解法二：同上，由余弦定理可知/F1PF2为钝角的另一充要条件是cos. F1PF222PFi| -|PF2|Fi F22PFi |PF2|:二 0等价于

4、PF1|2 + PF2 2 - F1F2 2 <0。即（x +V5）2 + y2 +（x-<5）2 + y2 20 <0心 2x2、5 23. 53、5将 y = 4（1 一 一）代入，得 一 x < 1 解得 一< x <。9955以上是按常规的解题思路最容易想到的思想方法，但我并没有终止解题活动， 而是引导学生从各个不同角度， 运用不同思维方式探求最佳解题方法。一位同学在我讲完了这两种方法以后提出了一种巧妙的解法：由于椭圆的对称性，只考虑点P自长轴的右端点运动至短轴的上端点B的过程。当点P重合于A时，/F1PF2 =0，随着点逐渐向点B运动时，ZF1PF

5、2 逐渐增大，由锐角到直角，再由直角的钝角，当/F1PF2 =90°时，点P在以椭圆两焦点的22连线F1F2为直径的圆上，这时点 P坐标满足x2 + y2 =5与 A+2=1联立，并消去V， 9453 5得一x2 =1,解得x = ±，由此可得当NF1PF2为钝角时，953 5 3 5x= | , I。,5 5这个同学在解这个题时合理运用了运动变换的思想方法，有效地降低了运算量， 解法独具一格，对此，我将这些见解及时地记录下来。二、反思解题规律，培养学生良好性格和品质，维持与强化数学学习。数学习题千变万化，要引导学生反思解题规律，同一类型的数学问题，其求解方法往往有其规律性

6、。解完一道题要学生思考此题是否可作一般性推广和引申，这样学生能解决的就 不是一道题，而是一串题。例如：若圆柱有内切球，求证圆柱与内切球的体积比等于它们的表面积之比。V圆柱_ 2 _ 3 1 _ _ 21_ _=- R 2R = 27R R （6二R ） R S圆柱表33证明：设圆柱的轴截面如图(1),内切球的半径为 R。4 _31 一, 一久 1 _ 一VL 丁 R3=1R.（4nR2） =3R.S 球表V圆柱S圆柱表V球S球表在课堂上我让学生仔细观察、互相探讨，能否把命题的条件改变一下，得到与原命题相 同的结论。经过学生一番讨论后，从学生中得到两道变题:（1） 若圆锥有内切球，则圆锥与内切球

7、的体积比等于它们的表面积之比。（如图2）（2） 若圆台有内切球，则圆台与内切球的体积比等于它们的表面积之比。（如图3）然后我对这两道题分别加以赞赏和评价， 并且引导学生就这一问题进行深入思考，不依 常规，寻求变异。猜想（3）:若凸多面体有内切球，则凸多面体 与内切球的体积比等于它们的表面积之比。对由教师引导和补充的第三个猜想，让学生 动手画、动口说、动脑筋思考，启发学生得到求 多面体、旋转体的体积的重要的思想方法 割补法。证明：设凸多面体有n个面，把每个面的凸多边形的顶点都与内切球球心相连接，可将凸多面体分割成 n个棱锥，这n个棱锥有公共顶点，即球心O,棱锥的底面是凸多面体的 各个面，它们的高

8、都相等，且等于内切球的半径 RoV凸多面体1 一一 -=R ( S1 + S2 +311, ,Sn )=1R , S凸多面体表34 _31 一/ _2、1 _ _V球=nR3 = R (4nR2) = -R S球表333V凸多面体S凸多面体表" V球S球表总之，利用多题一解、一题多变，促使学生反思解题规律，做到举一反三，触类旁通，提高学生的解题能力。反思解题规律，有利于提高学生整理、归纳能力。三、反思解题结果，培养学生的研究性、探索性学习的活动，使学生在数 学学习中具有坚强意志。解完一道题后，还须引导学生思考：解题结果是否合理？解题过程有没有漏洞。例如：已知1 <a +b &l

9、t;5,-1 <a -b <3,求3a2b的取值范围。解法一：v 1 <a +b <5,-1 <a -b <3,0 < a < 4又< 1 Ea +b E5,3 E-(a b) W1,-1 <b <3"0 <a <4, -1 <b <3,0 < 3a <12,-6 < -2b < 2-6£3a-2bE14 r,N+v N",解法一：设 a+b = N,ab=v,则 a =,b =，且1 E N W 5-1 < v < 3O2215.3a -

10、2b = 口 -2155515- < <-,- << ,222222八5-二一2E 十 <10,22即-2E3a-2b10。两相对照，促使学生反思解题的结果， 探索找出解法一的病因： 事实上，由lMa + bM5 与-1 wab W3,得到0Wa44, 1 w b w 3 ,但这并不意味着 a与b可各自独立地取得区间0,4旧1,3的一切值。如取a=4,b=3时，a + b = 7就已超出题设条件: 1 wa + b w5中的范围，细究缘由，就是推出关系并非等价关系。解法二中，N与v可各自独立地取得区间 1,5与-1,3的一切值，因此 匕与 史 可 22各自独立地取得区间 ：1 2与5 15的一切值，从而 t + 5p3a_2b可取区间_2 ' 2 J 2 ' 2221-2,10的一切值。综上所述，在解题教学中教师可以从以下几个方面指导学生进行反思：(1)有关的基本概念和基本公