4.5两角和与差的正弦、余弦和正切公式

1、 第网章二角函数、解三角形 4.5两角和与差的正弦、余弦和 正切公式 基础知识自主学习 fl 知识梳理 姜融解屎层突破 1. 两角和与差的余弦、正弦、正切公式 cos( a3 = cos acos 3+ sin sin 3 (C( a 3) cos( a+3 = cosocosB sin asin 3 (C (卄 3) sin( a 3= sin acos 3 cos osin 3 (S(a-3) sin( a+ 3= sin acos 3+ cos osin 3 (S(a +3) tan a tan 3 tan( a 3 = 1 + tan aan 3 (T(山 tan a+ tan 3 t

2、an(a+ 3 = 1 tan aan 3a+3) 2. 二倍角公式 sin 2 a= 2sin acos a； cos 2 a= cos2 a sin2 a= 2cos2 a 1 = 1 2sin2a: 3. 公式的逆用、变形等 (1)ta n a tan= tan( a 3(1 ?tan aan 3: (3)1 + sin 2 a= (sin a+ cos 2,1 sin 2 a= (sin a cos a)2, sin a cosa= 2sin a4 . 【思考辨析】 判断下面结论是否正确（请在括号中打“V 或“Xtan 2 a= 2ta n a 1 tan2 (2)cos2 a= 1

3、+ COS 2 a sin2 a= 1 COS 2 a (1)存在实数 a,伏 使等式 sin( a+ = sin a+ sin B成立.( V ) 在锐角厶 ABC 中，sin As in B 和 cos Acos B 大小不确定.(x ) (3)公式 tan(a+ B)= an#an#a+a+ f fn n 可以变形为 tan a+ tan B= tan( a+ B)(1 tan aan ,且对任意 1 tan aan p 角a, P都成立.(X ) 存在实数 a,使 tan 2 a= 2tan a( V ) (5)两角和与差的正弦、余弦公式中的角 a, p是任意的. 快速解答自巨自纠 1

4、 1 由 sin a+ cos a= 3 两边平方得 1 + sin 2 a=-, n 1 cos 2 2a 1 sin 2 a 贝U tan 2 a= 2ta n a 3 1 tan2 a 3 4 5 2 = 18 2若 =；,贝y tan 2a= sin a cos a 2 答案 解得 8 sin 2 a= 9, 解析 sin a+ cos a 1 由 =* 1 * 1 2? sin a cos a 等式左边分子、分母同除 cos tan a+ 1 1 a得，tOTO； = 2，解得 tan a= 3, 考点自测 答案 17 18 解析 所以 sin2 n a 1 1 3. (2015 重

5、庆改编)若 tan a= 3, tan( a+ p = 2，贝U tan p= _ 3 2 1 答案 7 tan a+ p tan a 解析 tan p= tan( a+ p a=1 + tan a+ p tan a 4. (教材改编)sin 347 cos +JSin 77 cos 58 答案-2 解析 sin 347 cos 14+ sin 77 cos 58 =sin(270 + 77 )cos(9+ 58 + sin 77 cos 58 =(cos 77 sin5( +s)77 cos 58 sin( a+ n = 5 n sin(2 a+ 3)= 2sin( a+ &cos(

6、 a+ 6)= n 2 n 7 cos(2 a+ 3)= 2cos2( a+ 1 =亦, 1 + 2X 3 1 7. =sin 58 co+ISBs 58 sin 77 =sin(58 + 77 V sin 135 冷 5.设a为锐角，若 n 4 n cos( a+ 66)= 5，则 sin(2 a+ 12)的值为 解析 T a为锐角， cos( a+ n = 5, 7t n 24 25, sin(2 a+ n = sin(2 a+ 3 n .2 n n ysin(2 a+ 3) cos(2 a+ 3)= 17 2 50 题型分类深度剖析 题型 COS 2 a n 2sin a+ 4 2 2

7、COS2 a Sin2 a =COs a Sin a, . 3 n -Sin a= 5， a 2， n , 4 COS a= 一 5 原式=-7. (2) / sin 2 a= 2sin ODOS a= sin a, 1 -COS a= 2 n 又 a 2, n , sin a= ， tan a= . 3, tan 2 a= 2tan a = 1 tan2 a 1 *3 2 值，应先求出相关角的函数值，再代入公式求值. 思维升华 (1)使用两角和与差的三角函数公式, 首先要记住公式的结构特征. (2)使用公式求 设 答案 3 (1)已知 sin a=-，a 5 . . n sin 2 a= s

8、in a, a ， (1) 5 .3 COS 2 n )则 .2sin a+ 4 n,贝U tan 2a的值是 解析 in a+ 22cos a 23 = 3. .2 銀踪训练 1 (1)若 a (才，n , tan( a+ 4)= 1，则 sin a= _ 已知 COs(x 6)= 3COS x+ COs(x 3)的值是 _ . 3 答案(1)3 (2) 1 5 n tan a+1 1 解析(1) T tan( a+ -)= 4 1 ta n a .丄 3 sin a -tan a= 一 _= - 4 cos a 4 -cos a= 3sin a , 2 2 又 T sin a+ COS a

9、= 1, .2 _9 sin a= 25. n (2)cos x+ cos(x 3) =cos x+ 2cos x + sin x =|cos x+ 23sin x 3 1、 =.3(亍 cos x + qsin x) =： 3cos(x 一 6)= 1. 例 2 (1)sin(65 x)cos(x 20 ) cos(65 x) cos(11(Px)的值为 n cos a和 (2015 重庆改编)若 tan a= 2tan 5 贝 U sin a 5 答案子(2)3 解析 原式=sin(65 x) cox20) cos(65。一 x)cos90。一 (x 20 ) = sin(65 x)cos

10、(x 20 -) cos(65 x)sin(x 20 = sin(65 x)+ (x 20 =sin 45 =22. 题型二 三角函数公式的灵活应用 3 n n 3 n cos a 10 sin 2+ a10 - ； sin a一 匕 n sin a+ 5 sin a 5 sin a 5 tan a 思维升华 运用两角和与差的三角函数公式时，不但要熟练、准确，而且要熟悉公式的逆用 及变形，如tan a+ tan 3= tan(a+ 3 tan atan 3和二倍角的余弦公式的多种变形等.公式 的逆用和变形应用更能开拓思路，培养从正向思维向逆向思维转化的能力. 銀琮训练 2 (1)在斜三角形 A

11、BC 中，sin A =2cos B coC,且 tan B taC= 1则角 A 的值为 _ . n 函数 f(x) = 2sin2(4 + x) , 3cos 2x 的最大值为 _ . n 答案(1)4 (2)3 解析 由题意知：sin A= 2cos B coC= sin(B + C)= sin B coC+ cos B sinC，在等式 2cos B cos= sin B cos+ cos B sC 两边同除以 cos B cos 得 tan B+ tan C= .2,又 tan B + tan C n tan(B + C) = = 1 = tan A,所以 A = 1 tan Bta

12、n C 4 n _ n (2)f(x)= 1 cos 2 4+ x 3cos 2x= sin 2x 3cos 2x+ 1 = 2sin 2x 3 + 1，可得 f(x)的最大 值是3. 题型三角的变换问题 例 3 (1)设 a、3 都是锐角，且 cos a= 乂 5, sin( a+ 3) = 3，贝“ cos 3= 5 5 n 4 厂 7 % 已知 cos( a 6) + Sin a= 5 . 3,贝y sin( a+石)的值是 _ 答案器(2) 4 解析(1)依题意得 sin a= 1 cos2 a=牛5, 又 a, 3 均为锐角，所以 0 aCOS( a+ 3).n, . n sin 0

13、COS5+ cos osing n n sin ocos cos csin 5 5 tan 5 tan a n tan 5 3. cos( a+ 3 = 1 sin? a+ 3 = 4. 4 ；5 4 因为 4g 5, 4 所以 COS( a+ 3= 5. 是 cos 3= cos( a+ 3) a =cos( a+ 3cos a+ sin( a+ sin a =-软寻卜器器 .J3 3 . 4 c -2 cos a+ in a= 5,3, , 3sin(f+ a = ； *3, # n 4 -sin(6+ a = 5, .7 n n 4 sin( a+ )= sin(6 + a)= 5. 思

14、维升华 （1）解决三角函数的求值问题的关键是把 “所求角”用“已知角”表示.当“已 知角”有两个时，“所求角” 一般表示为两个 “已知角”的和或差的形式； 当“已知角” 有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把求角”变成“已知角”.（2）常见的配角技巧: a+ 3 2 a= ( a+ 3)+ ( a 3), a= ( a+ 3)3? 3= 2 a 3 2， a= a+ 3 a一 3 a 2 + 2 ， (a+ 2) (2+ B)等. n 2V 1 n 3 3 3 3V 0 ,cos 4 + a = 3, cos 4 2 =3，贝 y cos a+ 7t 答

15、案 5 .3 9 解析 3 cos a+ 2 = cos n 4+ =COS n n 3 4 + a cos 4 一 2 n + sin 4+ .n 3 a sin 4 一 2 , / 0 V n n n aV 2， 4V 4+aV -, “n (2) / cos(a 6)+ sin a= ,1 . 3 . ,3(cos a+ -sin a = n . n n S n 又一 2 3 o,则 4 4-2 2, , ,S 迥2 亿 V6 塑 故 cos a+ 2 = 3 x-7 + 3 x-y = 9 . 5.三角函数求值忽视角的范围致误 典例 已知 0 S n a n，且 COS a- =- 1

16、 , sin 2- S = 3，贝 U COS(a+ 的值 为 . 2 3 已知在厶 ABC 中，sin(A + B) = 3, cos B =-4,贝 U cos A = _ . 易错分析 (1)角a- S a- S的范围没有确定准确，导致开方时符号错误. (2)对三角形中角的范围挖掘不够，忽视隐含条件， B 为钝角. n 解析/ 0 S 2 a n n a n n S -4 2 S 2, 4 a-2 n， a+ S S cos 2 = cos a- 2 =cos a- 2 cos 2- S+ sin a-2 sin ?- S 2 a+ S . cos( a+ S = 2COS22 1 I

17、729 729 在 ABC 中，/ cos B=- 4， sin + 4 2*2 3 sin 4 S 6 2 = 3. cos 2 S = . S sin a 2 nBn sin B =寸 1 cogB=、 . n . 2 T 2 B A+ B n sin(A + B) = 3, cos(A + B)=门si n5 6 7 A + B =专, cos A= cos(A+ B) B =cos(A + B)cos B + si n(A + B)sin B =更 乂 3 , 2 x/7 = 3& + 2 百 =3 4 于 3 4 = 12 答案(1) - 729竿产 温馨提醒 在解决三角函数

18、式的求值问题时，要注意题目中角的范围的限制，特别是进行开 方运算时一定要注意所求三角函数值的符号另外，对题目隐含条件的挖掘也是容易忽视的 问题，解题时要加强对审题深度的要求与训练，以防出错. - 息IB方法感悟提高 1 方法与技巧 i 巧用公式变形： 和差角公式变形： tan xtanytan(xy) ?tan x tany);倍角公式变形：降幂公式 cos2 1 + cos 2a . 2 1 cos 2a ,Sin a= 配方变形：1 sina= sin土 coj 2, 1 + cos a= 2cos2j, 1 cos a= 2si 门岁 2 .重视三角函数的“三变”：“三变”是指“变角、变

19、名、变式”；变角：对角的分拆要尽 可能化成同名、同角、特殊角；变名：尽可能减少函数名称；变式：对式子变形一般要尽可 能有理化、整式化、降低次数等在解决求值、化简、证明问题时，一般是观察角度、函数 名、所求(或所证明)问题的整体形式中的差异，再选择适当的三角公式恒等变形. 失误与防范 6 运用公式时要注意审查公式成立的条件，要注意和、差、倍角的相对性，要注意升次、降 次的灵活运用，要注意 “1”的各种变通. 7 在三角函数求值时，一定不要忽视题中给出的或隐含的角的范围 sin 5 丰 2 若 氏扌，nl，sin 2 0=誓，贝V sin 0= _ 3 答案 3 4 解析 由 sin 2 0=牛7

20、和 sin2 0+ cos2 0= 1 得 8 (sin 0+ cos 0)2=讦 + 1 = (3+ 7 8 cos 85 丰 sin 25 cos 25 cos 30 练出高分 A 组专项基础训练 （时间：40 分钟） 又0 n . 2,二 sin 0+ cos 3 + J 0= 同理， sin 0 cos 3 若 tan 0= , 3, 答案 3 解析 sin 2 0 1 + cos 2 0 4 .已知 cos a=- 答案 5 4 n 解析 因为 n 3 J 0= 4，sin 0= 4. 4 4 则 sin 20 1 + cos 2 0 2sin 0cos 0 1 + 2cos2 1

21、=tan 0= . 3. 5 1 V，tan 3= 3, 3 n n2 n 0 32，贝y a 3 的值为 3 _5 5 1 cos a= 5，所以 sin a= 5 , tan a= 2, 又 tan 3= 3,所以 tan(a 解析 原式= sin cos 25 cos 25 2. 4 )2, cos 25 30 25 + 1 qcos 25 1 1一 由 3 3) = | = 1,由 na 0, I cos a Sin a= 0 , tan a= 1.5 .已知 tan( a+ 3 = I，tan n 1 3- 4 = 4,那么 tan n a+ 4 答案 3 | 解析 因为 a+ n+

22、 3-才=a+ 所以 n / 、 a+ 4= ( a+ 3) 一 所以 n tan a+ 4 =tan a+ 3 冗 3 4 解析点| 1 cos 100 1 + sin 10 n /口 n | 一 30 得| a 3 5 3| n,所以 a 3= 4 n. n 8 .函数 f(x)= 2cos xsin x 3 的最大值为 答案 n / f(x)= 2cos xsin x 3 3 =2cos x!sin x-李 cos x 2 2 1 3 3 =尹 n 2x -cos 2x2- =sin 2x扌身 f(x)的最大值为 (1)求 sin 2 a的值; 1 求 tan a翫的值. n 2 a+

23、3 = . . n n - sin 2 a= sin 2 a+ 3 1 2. n / a 3,i n 9 已知 cos g+ n * co$3 a 1，aC n n 3，2 . n =sin 2 a+ 3 COS n 3cos 2 a+ n n 3 sin 3 解析 n 解(1)cos g+ a n cos n =COs g + a n si6+ 即 sin c n 1 2 a+ 3 = 2. I a n厂 2a+ 3C n, CO n 2 a+ 3 = 2n 3， 1 占 又由(1)知 sin 2 a= 2, cos 2 a= 2 2 2 丄 1 Sin a COS a Sin a cos

24、a tan a = tan a cos a sina 解(1)因为 sin + cos p = 1 两边同时平方，得 sin a= 2. n 又 2 a n所以 並 COs a= 2 =cos acos( a 3+ sin 况sin( a 上 X 4+ !X 3 2 5+ 2 5 4 ,3+ 3 10 B 组专项能力提升 （时间：20 分钟） .2 . 一、 n 1 口 n _ 2sin a+ sin 2 a 11. 已知 tan(a+；)=，且一二 a0 ,贝 U 4 2 2 n n (2)因为 2 a n n 2 3 n 所以一n- 3 故-2a COS 3= COS a ( a 3) a

25、 Sin 久COS a 2cos 2 a =2 X sin 2 a 2 .3. 10.已知 a n， a a 6 sin + cos = (1)求 cos a的值; 若 sin（ a 3 = 3 5, 3 n, n ,求 cos 3 的值. 3 COS a / 4 答案 n tan a+ 1 1 1 解析 由 tan( a+ 4)= = 2，得 tan a= 3. 4 1 tan a 8 9 8 .3 1 2 .3+ 1 8 5,3 8 5,3 12 1 = 11 n 又一n a0,所以 sin a= ,10 茄. 2sin2 a+ sin 2 a 2sin a sin a+ COS a n

26、COS a 7 sin a+ COs a =2 _ 2sin a 12. 已知 a 0,才，且 sin2a sin acos a 2cos2a= 0，贝U tan a sin2 asin acos a 2cos2 a= 0, cos a 0, tan2 a tan a 2= 0. tan a= 2 或 tan a= 1, tan a= 2, n tan 7 tan a . n 3 tan a = 3 n 1 + tan tan a .3 2 1 + 2.3 ；3 2 2 .3 1答案 8 5,3 11 解析 答案 解析 n 又 a 0, , n 1 3 .cos 2 a+ 3 = cos 2 a sin 2 a =1 x 2x5= 215 =2 3 2 3 = 6 =(,2+