西南大学线性代数作业答案

1、第一次行列式部分的填空题i .在5阶行列式a。中，项ai3a24a32a45a51前的符号应取_号。2.排列45312的逆序数为54-13.行列式2215x_1中元素x的代数余子式是-2-34 .行列式 524 x5 .行列式2 21504一11-2 3中元素-2的代数余子式是01-1-1中，x的代数余子式是20a06.计算b0c0d0行列式部分计算题1 .计算三阶行列式2 011-4 -1-183解：原式=2x (4) x 3+0x (1) x (1) +1X1X81X (1) x ( 4) 0X1X32X (1) X8=42.决定i和j,使排列1 2 3 4 i 6 j 9 7为奇排列.解

2、：i=8, j=5o31x3. (7分)已知4x0#0,求x的值.10x解：原式=3x2x2-4x=2 x24x=2x(x 2)=0解得：x=0； x2=2所以 x=x |xw0;xw2 xC R 4. (8分)齐次线性方程组x y z = 0x .y z =0|x-y -z =0有非零解，求- -12=1由D=0 得入=15.用克莱姆法则求下列方程组:x 2y 4z =315x y 2z = 293x - y z解：因为二10221-9-17-18-11120-100-2=1 父（一1）父3 = 3¥0所以方程组有唯一解，再计算:3131D129一-81D229-1 0810-11

3、031D3 二29 =135-110因此，根据克拉默法则，方程组的唯一解是:x=27 , y=36, z= -45第二次线性方程组部分填空题1 .设齐次线性方程组 Ax=0的系数阵A的秩为r,当r=_n时, 则Ax=0只有零解；当Ax=0有无穷多解时，其基础解系含有解向量 的个数为 n-r .2 .设刀1, T 2为方程组Ax=b的两个解，则一刀1一刀2或刀2一刀1 是其导出方程组的解。3 .设 0是线性方程组Ax=b的一个固定解，设z是导出方程组的某 个解，则线性方程组Ax=b的任意一个解(3可表示为B=%0+z.4 .若n元线性方程组 Ax=b有解，R (A) =r,则当r=n 时，有惟一

4、解；当_,r<n时，有无穷多解。5 . A是mxn矩阵，齐次线性方程组 Ax=0有非零解的充要条件是 R (A) <n.6 . n元齐次线性方程组Ax=0仅有零解的充分必要条件是网不等于0。7线性方程组Ax=b有解的充要条件是r(Ab)=r(A) 。8.设ui是线性方程组Ax=b的一个特解，vi»,，vn是其导出组的基 础解系，则线性方程组 Ax=b的全部解可以表示为u 二Ui ClVl c2V2 一 . Fn-Vn 上1 .求线性方程组2 X1 - X 2 11 X 4 - -1% +3X2 7x3 +4X4 =3 的通解.一11k1,k2 - R)3x1 -2X2 七

5、3 七4 _ -2答案：通解为:12X=k 1+k21x1 2x2 -,-x3 x4 -03x1 +6x2 _x3 _3x4=0的一个基础解系. 5x1 10 x2 - x3-5x4 =0答案：基础解系为v23.求非齐次线性方程组的通解2x1，x2 - x3« x1 + 2x2 +x3-x4二2x1x22x3x4答案：同解方程组为x1x2x33x23-x21 x2二1R)=0 ,通解为4求方程组的通解2x1 x2 -x3«3x1 -2x2 +x3 - 3x4 = 4xi 4x2 - 3x3 5x4 =-2x1答案：化为同解方程组通解为x = k1k2x21-x375_ x3

6、71 x79 一x7x2 2x3 3x4x1 2x2 3x3 - x43x1 一 x22x1 3x2 - x3 - x4 = 6(1)求增广矩阵(Ab)的秩r (Ab)与系数矩阵A的秩r (A);(2)判断线性方程组解的情况，若有解，则求解。答案：(1) r (Ab) =r (A) =4(2)有唯一解。x1=-1;x2=-1;x3=0;x4=1第三次向量的线性关系填空题1.向量 = (1, 3, 5, 7), B = (a,b,5,7),若 = B ,贝U a= 1,b=3.2.已知向量以二(1, 2, 3) , «2= (3, 2, 1),贝U 3% +2%= (9,10, 11)

7、 , %-。2= (-2, 0, 2) .3 .设向量组%,人线性无关，则向量组 ,%+，5+%+5线 性 无关 .4 .设向量a22q线性无关，则a1Za,线性 无关。5 .设向量21aa线性无关，则向量21凡凡,0线性 相关.6 .。1,%,小3,% 是3维向量组，则%,口2,。394线性 相 关.7 .零向量是线性相关 的；非零向量”是线件 无关 的.线性关系部分证明题1 证明：如果向量组a,优¥线性无关，则向量组a +P,B+¥Q+o（亦 线性无关.证明：设有一组数kk2，k3,使ki （：工，旦） k2（ ；，'）, k3 （'，=）=0成立，整理

8、得（k 1k3）:l （k1k2） , （k2 » k3） = 0由于口, FT线性无关，所以k1k3 = 0 13k1 k2 =0 k2 k3 = 010 1因为其系数行列式1 1 0 =2 #0 ,所以方程组只有零解， 0 11即k1 = k2 = k3 = 0 .向量组a + B, P + ?, 丁 +a线性无关得证.2,设向量B可由向量1，% 2,，叫线性表示，但不能由 1，% 2,，r-1线性表水，同向量组 1, % 2,， r-1 , %r与向 量组0C 1 , %2,，r-1, B是否等价？为什么？答案：等价。因为B可由2,， r线性表不，所以有入1,入2,，入r,使B

9、 =入1 % 1+入2 % 2+入r % r,入产。又 1=%1,，%r-1=%r-1,故向量组 1, %2,， r-1 , B 可由向量1，2,， r线性表不。由式有% r也可由向量组 1, % 2,r- r-1 , (3线性表瓜 % 1,% 2 ,示，故两向量组等价。3 .设% 1, % 2是某个齐次线性方程组的基础解系，问 1+ % 2, 2%1 - % 2是否也可构成该方程组的基础解系？答案：1+%2, 2% 1 % 2显然是方程组的解。所以以下只证 1 +% 2, 2 % 1 % 2线性无关。设有一组数 入1,入2,使得入 1 (%1+%2,) + 入 2 (2%1 %2)=。，即

10、(入 1+2 入 2) % 1+ (入 1 入 2)% 2=0,因 1, % 2线性无关，故 +2 %=0, ?l2 =0 .而 12 =40,1-1所以入1=入2=0,则 1+%2, 2% 1 % 2线性无关，仍是基础解系。4 .已知 % =(1,0,-1), 1 =(-2,2,0),口3 =(3,5,2),判定此向量组是线性 相关还是线性无关。答案：线性相关。5 .设。产(1, 1, 2) T, 口= (1, 2, 3) T, q= (1, 3, t) T请问当t为何值时，巴，灯2,。3线性相关？并将。3用。1,。2线 性表示.答案：当t=4时，巴，仃2, J线性相关。仃3=仃1 + 2仃

11、2 .6,设%“，J线性无关，而%«2,Qs, P线性相关，则P能由0(1,0(2，cts线性表不，且表不法惟一飞答案：因口1，汽2,，, P线性相关，故有ki, k2,，ks,k不全为零，使 ki ： 1- k2 ： 2 ,ks： s , k 0.要证p可由四,匕,，J线性表示，只要证明k¥。，假设k=0,则 ki M，ks不全为零，且有k1：1 k2： 2 ks：s = 0.故口1,口2，,J线性相关，矛盾，所以k#。设有个表示式一 -'1>1''2 >2's'ski 2:2两式相减得(11 - 七)二：1 . ( 2

12、 - -2 )-：2 .'(1 s -' s) -：s = 0因%,%,q线性无关，所以九一叫=0,即i = )(i =1,2, - .s)所以表示法惟一。第四次特征值部分选择题1. A是n阶正交矩阵，则A (A) |a| =±1(B) AA* = E (C) AT=A (D) A,= A2. A与B是两个相似的n阶矩阵，则A (A)存在非奇异矩阵 P,使P，AP = B(B) |A| # |B|(C)存在对角矩阵D,使A与B都相似于D(D) A =九I B3下列结论中，错误的有(B)(A) 若向量口与P正交，则对任意实数a,b, ac(与bP也正交（B） 若向量P与

13、向量8,0（2都正交，则P与8 ,口2的任一线性组合也正交（C） 若向量Ct与P正交，则a与B中至少有一个是零向量（D）若向量a与任意同维向量正交，则a是零向量1104 设矩阵A = 1 0 1 ,则A的特征值为C 0 11（A）1,0,1（B）1,1,2（C） -1,1,2（D）-1,1,15 n阶矩阵A与对角矩阵相似的充分必要条件是B（A） A有n个特征值（B） A有n个线性无关的特征向量（C） A的行列式不等于零（D） A的特征多项式没有重根线性代数1 .下列n阶（n>2）行列式的值必为 0的有：B：行列式非零元素的个数小于n个。2 .有二阶行列式，其第一行元素是（1,3）,第二行

14、元素是（1,4）,该行列式的值是：B:13有二阶行列式，其第一行元素是（2, 3）,第二行元素是（3,-1）,则该行列式的值是：A:-114 .有三阶行列式，其第一行元素是（0, 1, 2）,第二行元素是（-1,-1, 0）,第三行元素是（2, 0,-5）, 则该行列式的值是：B:-15 .有三阶行列式，其第一行元素是（1,1,1）,第二行元素是（3, 1, 4）,第三行元素是（8, 9, 5）,则 该行列式的值是：C：56 .行列式A的第一行元素是（k,3,4）,第二行元素是（-1,k,0）,第三行元素是（0,k,1）,如果行列式 A的值等 于0,则k的取值应是：C:k=3或k=17 . 6

15、.排列3721456的逆序数是：C:88.行列式A的第一行元素是（-3, 0, 4）,第二行元素是（2, a, 1）,第三行元素是（5, 0, 3）,则其中元 素a的代数余子式是：B:-299已知四阶行列式D中第三行元素为（-1,2, 0, 1）,它们的余子式依次分别为5, 3,-7, 4,则D的值等于.C:-1510 .矩阵A适合下面哪个条件时，它的秩为 r. B:A中线性无关的列向量最多有r个。11矩阵A的第一行元素是（1, 0, 5）,第二行元素是（0, 2, 0）,则矩阵A乘以A的转置是：C:第一行元素是（26, 0）,第二行元素是（0, 4）。12 .若矩阵A的行数不等于矩阵B的列数

16、，则矩阵 A乘以B没有意义。正确答案：错误13 .齐次线性方程组 AX=0是线性方程组 AX=b的导出组，则C: u是AX=0的通解，X1是 AX=b的特解时，X1+u是 AX=b的通解。D: V1, V2是AX=b的解时，V1-V2 是 AX=0 的解。14 . n阶矩阵可逆的充要条件是：A ： r（A）=n B : A的列秩为n。15 .向量组a1,a2,.,as的秩不为零的充分必要条件是：A: a1,a2,as中至少有一个非零向量。D:a1,a2,as中有一个线性无关的部分组。16向量组a1,a2,.,as线性相关的充分必要条件是：C: a1,a2,as中至少有一个向量可由其余向量线性表示。D： a1,a2,as中至少有一部分组线性相关17 . 矩阵 A 为三阶矩阵，若已知|A|=m, 则 |-mA| 的值为 C:-m*m*m*m18 .若矩阵A可逆，则它一定是非奇异的。正确答案：正确19 .向量组a1,a2,as线性无关的必要条件是：A: a1,a2,as都不是零向量。C：a1,a2,as中任意两个向量都不成比例 D: a1,a2,as中任一部分组线性无关20 .若矩阵A的列数等于矩阵B的行数，则矩阵 A乘以B有意义正确答案：正确 .初等数论&g