3.7分式方程及应用

1、学习目标学习目标：1、理解整式方程、分式方程及增根的概念；、理解整式方程、分式方程及增根的概念；2、掌握可化为一元一次、一元二次方程的、掌握可化为一元一次、一元二次方程的分式方程的解法；分式方程的解法；3、了解分式方程产生增根的原因及掌握验、了解分式方程产生增根的原因及掌握验根的方法。根的方法。引例引例: 列方程列方程某数与某数与1的差除以它与的差除以它与1的和的商等于的和的商等于,求这个数求这个数.解解 :设某数为设某数为x, 得得12 =X-1X+1121 1、2 2( (x x1 1) )= =x x1 1; x; x2 2x x-20=0; -20=0; x x+2+2y y=1=12

2、、 整式方程整式方程: 方程两边都是整式的方程方程两边都是整式的方程.分式方程：分式方程：方程中只含有分式或整式方程中只含有分式或整式,且且分母含有未知数的方程分母含有未知数的方程.观察下列方程观察下列方程：19511 ; 1111 ;2111 ; 0112xxxxyxxxxx 概概 念念一元一次方程一元一次方程一元二次方程一元二次方程找一找：找一找： 1. 下列方程中属于分式方程的有（下列方程中属于分式方程的有（ ）;属于一元分式方程的有（属于一元分式方程的有（ ）. x2 +2x-1=0 巩巩 固固 定定 义义1312xxx124131xyx734yx2、已知分式、已知分式 ,当当x= 时

3、时, 分式无意义分式无意义.1322xx3、分式、分式 与与 的最简公分母的最简公分母 是是 .) 3( 22xxxx332X2-1=0-1=0X(x3)3)12X(x3)例例1 解分式方程解分式方程 化简化简,得整式方程得整式方程 2(x1)=x1解整式方程解整式方程,得得 x=3. 把把x=3代入原方程代入原方程 左边左边= , 右边右边= . 左边左边=右边右边 原方程的根是原方程的根是 x=3. 分式方程分式方程整式方程整式方程解整式方程解整式方程检检 验验转化转化 2111xx检验：检验：解分式方程解分式方程解解: 方程的两边同乘以最简公分母方程的两边同乘以最简公分母2(x1), 得

4、得 2(x1) 2(x1)2111xx21131321例例2 解分式方程解分式方程 解解 方程两边同乘以方程两边同乘以(x1)(x1),解整式方程解整式方程,得得 x1=1, x2=8 得得 （x-1)2 =5x+9195112xxxxx2-2x+1=5x+9 -2x+1=5x+9 X X2 2-7x-8=0-7x-8=0(x+1)(x-8)=0(x+1)(x-8)=0例例2 解分式方程解分式方程 解解 方程两边同乘以方程两边同乘以(x1)(x1),解整式方程解整式方程,得得 x1=1, x2=8检验检验:把把x1=1，x2=8代入原方程代入原方程当当x1=1时时, 原方程的两个分母值为零原方

5、程的两个分母值为零,分分式无意义，因此式无意义，因此x1=1不是原方程的根不是原方程的根.当当x2=8时时, 左边左边= , 右边右边= 左边左边=右边右边, 因此因此x2=8是原方程的根是原方程的根. 原方程的根是原方程的根是x=8. 得得 （x-1)2 =5x+9195112xxxx+1+1(x+1)(x-1)(x+1)(x-1)9797例例2 解分式方程解分式方程 解解 方程两边同乘以方程两边同乘以(x1)(x1),解整式方程解整式方程,得得 x1=1, x2=8检验检验:把把x1=1，x2=8代入原方程代入原方程当当x1=1时时, 原方程的两个分母值为零原方程的两个分母值为零,分分式无

6、意义，因此式无意义，因此x1=1不是原方程的根不是原方程的根.当当x2=8时时, 左边左边= 7 / /9 , 右边右边=7 / /9左边左边=右边右边, 因此因此x2=8是原方程的根是原方程的根. 原方程的根是原方程的根是x=8. 得得 （x-1)2 =5x+9195112xxxx增根增根增根的定义增根的定义增根增根:在去分母在去分母,将分式方程转化为整将分式方程转化为整式方程的过程中出现的不适合于原方式方程的过程中出现的不适合于原方程的根程的根.产生的原因产生的原因:分式方程两边同乘以一个分式方程两边同乘以一个后后,所得的根是整式方程的根所得的根是整式方程的根,而不是分式方程的根而不是分式

7、方程的根.使分母值为零的根使分母值为零的根(填空填空)1、解方程、解方程:解解:方程两边同乘以最简公分母方程两边同乘以最简公分母 , 化简化简,得得 . 解得解得 x1= , x2= . 检验检验:把把x1= ,代入最简公分母代入最简公分母, x(x-2)= = 0;0; 把把x2= ,代入最简公分母代入最简公分母, x(x-2)= =0 x=x= 是增根是增根, ,舍去舍去. . 原方程的根是原方程的根是x=x= . .026212xxxxx(x- -2)x 2+ x - -6=0 或或x(x+1)-6=0-3 2-3 2- -3 - -3(- -3- -2) 152 2(2- -2) 2-

8、 -3练练 一一 练练 (填空填空)1、解方程、解方程:解解:方程两边同乘以最简公分母方程两边同乘以最简公分母 , 化简化简,得得 . 解得解得 x1= , x2= . 检验检验:把把x1= ,代入最简公分母代入最简公分母, x(x-2)= = 0;0; 把把x2= ,代入最简公分母代入最简公分母, x(x-2)= =0 x=x= 是增根是增根, ,舍去舍去. . 原方程的根是原方程的根是x=x= . .026212xxxxx(x- -2)x 2+ x - -6=0 或或x(x+1)-6=0-3 2-3 2- -3 - -3(- -3- -2) 152 2(2- -2) 2- -3练练 一一

9、练练 7 (填空填空)1、解方程、解方程:解解:方程两边同乘以最简公分母方程两边同乘以最简公分母 , 化简化简,得得 . 解得解得 x1= x2= . 检验检验:把把x1= ,代入最简公分母代入最简公分母, x(x-2)= ; ; 把把x2= ,代入最简公分母代入最简公分母, x(x-2)= .原方程的根是原方程的根是x x1 1= ,x= ,x2 2= =02212xxxxx(x- -2)x 2+ x - -7=0练练 一一 练练 2291 22912291) 22291(229122917) 22291(2291002291 2291 2、分式方程、分式方程 的最简公分母是的最简公分母是

10、.1211xx3、如果、如果 有增根有增根,那么增根为那么增根为 .xxx213215、若分式方程、若分式方程 有增根有增根x=2,则则 a= .04422xxaX=2X- -1分析分析: 原分式方程去分母原分式方程去分母,两边同乘以两边同乘以(x2 -4),得得 a(x+2)+4=0 把把x=2代入代入,得得 4a+4=0, a=- -1 a=-1时时,x=2是原方程的增根是原方程的增根.- -14、关于、关于x的方程的方程 =4 的解是的解是x= ,则则a= .xax 12126、解下列方程：、解下列方程： ； ； ； . .3132xx253xx1211xx1212xxx x= x= x

11、=-3 x=-3 x x1 1= , x= , x2 2= = x=-2 (x=1x=-2 (x=1是增根是增根, ,已舍去已舍去) )2941714171思思 考考:解分式方程的验根与解一元一次、解分式方程的验根与解一元一次、一元二次方程的验根有什么区别？一元二次方程的验根有什么区别？小小 结结:1、整式方程、分式方程的概念；、整式方程、分式方程的概念；2、解分式方程；（注意检验）、解分式方程；（注意检验）3、增根及增根产生的原因；、增根及增根产生的原因；4、体会数学转化的思想方法。、体会数学转化的思想方法。 分式方程的应用分式方程的应用34211xxxx6272332xx432425222

12、xxxxx( (1)1)( (2)2)( (3)3) 问题：问题：某校招生录取时，为了防止数据某校招生录取时，为了防止数据输入出错，输入出错，26402640名学生的成绩数据分别由名学生的成绩数据分别由两位程序操作员各向计算机输入一遍，然两位程序操作员各向计算机输入一遍，然后让计算机比较两人的输入是否一致后让计算机比较两人的输入是否一致. .已知已知甲的输入速度是乙的甲的输入速度是乙的2 2倍，结果甲比乙少用倍，结果甲比乙少用2 2小时输完小时输完. .问这两个操作员每分钟各能输问这两个操作员每分钟各能输入多少名学生的成绩？入多少名学生的成绩？课前热身课前热身列方程解应用题的列方程解应用题的步

13、骤是怎样的呢？步骤是怎样的呢？ 602264022640 xx解设乙每分钟能输入解设乙每分钟能输入x x名学生的成绩，名学生的成绩，则则甲每分能输入甲每分能输入2x2x名学生的成绩，根据题意得名学生的成绩，根据题意得解得解得x x1111经检验，经检验，x x1111是原方程的解是原方程的解. .并且并且x x1111，2 2x x2 211112222，符合题意，符合题意. .答：甲每分钟能输入答：甲每分钟能输入2222名学生的成绩，乙每分钟名学生的成绩，乙每分钟能输入能输入1111名学生的成绩名学生的成绩. .三、例题讲解与练习三、例题讲解与练习 已知两边的速度之比为已知两边的速度之比为5

14、 5：2 2，所以设大车，所以设大车的速度为的速度为2x2x千米千米/ /时，小说车的速度为时，小说车的速度为5x5x千米千米/ /时，而时，而A A、B B两地相距两地相距135135千米，则大车行驶时间千米，则大车行驶时间 小时，小车行驶小时，小车行驶时间时间 小时，由题意可知大车早出发小时，由题意可知大车早出发5 5小时，又比小车小时，又比小车早到早到3030分钟，实际大车行驶时间比小车行驶时间多分钟，实际大车行驶时间比小车行驶时间多4.54.5小时，由此可得等量关系小时，由此可得等量关系x2135x5135解：设大车的速度为解：设大车的速度为2x2x千米千米/ /时，小车的速度时，小车

15、的速度为为5x5x千米千米/ /时，根据题意得时，根据题意得解之得解之得 x=9x=9x2135x513521=5-=5-经检验经检验x=9x=9是原方程的解是原方程的解当当x=9x=9时，时，2x=182x=18，5x=455x=45答：大车的速度为答：大车的速度为1818千米千米/ /时，小车的速时，小车的速度为度为4545千米千米/ /时时三、例题讲解与练习三、例题讲解与练习1)1)甲乙两人同时从甲乙两人同时从A A地出发，骑自行车到地出发，骑自行车到B B地，已知两地，已知两地地ABAB的距离为的距离为3030，甲每小时比乙多走，甲每小时比乙多走3 3，并且比乙，并且比乙先到先到404

16、0分钟设乙每小时走分钟设乙每小时走x x，则可列方程为，则可列方程为（ ）（2 2）我军某部由驻地到距离）我军某部由驻地到距离3030千米的地方去执行任务，千米的地方去执行任务，由于情况发生了变化，急行军速度必需是原计划的由于情况发生了变化，急行军速度必需是原计划的1.51.5倍，才能按要求提前倍，才能按要求提前2 2小时到达，求急行军的速度。小时到达，求急行军的速度。课堂小结课堂小结(1)(1)列分式方程与列一元一次方程解应用题列分式方程与列一元一次方程解应用题的差别是什么？的差别是什么？(2)(2)你能总结一下列分式方程应用题的步骤吗？你能总结一下列分式方程应用题的步骤吗？王明同学准备在课外活动时间组织