3.3二元一次不等式组与平面区域与简单的线性规划

1、必修必修 第三章第三章 不等式不等式3.3.1二元一次不等式（组）与二元一次不等式（组）与平面区域平面区域1 1、二元一次不等式（组）、二元一次不等式（组）（1 1）含有）含有 未知数，并且未知数的次数是未知数，并且未知数的次数是 的的 不等式称为二元一次不等式不等式称为二元一次不等式( (Ax+By+C0 ) )。（2 2）由几个）由几个 组成的不等式组称为二组成的不等式组称为二元一次不等式组。元一次不等式组。一一: :相关概念相关概念2 2、二元一次不等式（组）的解集、二元一次不等式（组）的解集满足二元一次不等式（组）的满足二元一次不等式（组）的x x和和y y的取值构成有序数对的取值构成

2、有序数对 （x , yx , y）, ,所有这样的所有这样的 构成的集合称为二元一次构成的集合称为二元一次不等式（组）的解集不等式（组）的解集。二元一次不等二元一次不等式式两个两个一次一次有序数对有序数对 二元一次不等式二元一次不等式 Ax+By+CAx+By+C00的解集表示什么图形？的解集表示什么图形？ 探究探究不等式探究不等式x+y-1x+y-10 0的解集表示的图形的解集表示的图形问题问题在平面直角坐标系中，在平面直角坐标系中，直线直线x+y-1=0 x+y-1=0将平面将平面分成几部分呢？分成几部分呢？不等式不等式x+y-1x+y-10 0对应平面内哪部分的点呢？对应平面内哪部分的点

3、呢？0 xy11x+y-1=0想一想？想一想？右上方点右上方点左下方点左下方点区域内的点区域内的点x+y-1x+y-1值值的正负的正负代入点的坐标代入点的坐标（1,1）（2,0）（0,0）（2,1）（-1,1）（-1,0）（-1,1）（2,2）直线上的点的坐标满足直线上的点的坐标满足x+y-1=0 x+y-1=0，那么直，那么直线两侧的点的坐标代入线两侧的点的坐标代入x+y-1x+y-1中，也等于中，也等于0 0吗吗? ?先完成下表，再观察有何规律呢？先完成下表，再观察有何规律呢？探索规律探索规律0 xy11x+y-1=0同侧同号，异侧异号同侧同号，异侧异号正正负负x+y-10 x+y-10结

4、论结论 不等式不等式x+y-10表示直线表示直线x+y-1=0的右上的右上方的平面区域方的平面区域 不等式不等式x+y-10表示直线表示直线x+y-1=0的左下的左下方的平面区域方的平面区域 直线直线x+y-1=0叫做这两个区域的边界叫做这两个区域的边界一般地，一般地，在平面直角坐标系中在平面直角坐标系中, ,不等式不等式A Ax x+B+By y+C+C 0 0表表示直线示直线A Ax x+B+By y+C+C=0=0某一侧某一侧所有点组成的所有点组成的平面区域平面区域（不不包含包含边界）边界），把直线画成，把直线画成虚线虚线; ;不等式不等式 A Ax x+B+By y+C+C0 0表表示

5、示直线直线Ax+By+C=0某一侧某一侧所有点组成所有点组成的平面区域（的平面区域（包括包括边边界），把直线界），把直线画成画成实线实线。结论推广：结论推广：提问提问 我们知道不等式我们知道不等式Ax+By+C0表示直线表示直线Ax+By+C=0的某一侧的平面区域，那么的某一侧的平面区域，那么如何去判断它在哪一侧呢？如何去判断它在哪一侧呢？由于直线同侧的点的坐标代入由于直线同侧的点的坐标代入Ax+By+CAx+By+C中，所得中，所得实数符号相同，所以只需在直线的实数符号相同，所以只需在直线的某一侧某一侧取一个取一个特殊点代入特殊点代入Ax+By+CAx+By+C中，从所得结果的中，从所得结果

6、的正负正负即可即可判断判断Ax+By+CAx+By+C00表示哪一侧的区域。表示哪一侧的区域。例例1 1：画出不等式：画出不等式 x x + 4+ 4y y - 4- 40表示的平面表示的平面区域区域 x+4y4=0 x+4y4=0 xy解：解：(1)(1)直线定界直线定界: :先画直线先画直线x + 4y 4 = 0 x + 4y 4 = 0（画成虚线）（画成虚线）(2)(2)特殊点定域特殊点定域: :取原点（取原点（0 0，0 0），代入），代入x + 4y - 4x + 4y - 4， 因为因为 0 + 40 + 40 4 = -4 00 4 = -4 0所以，原点在所以，原点在x +

7、4y x + 4y 4 0 4 0表示的平面区域内，表示的平面区域内，不等式不等式x + 4y 4 0 x + 4y 4 0表示的平面区域的步骤：表示的平面区域的步骤：1 1、直线定界（注意边界的虚实）、直线定界（注意边界的虚实）2 2、特殊点定域（代入特殊点验证）、特殊点定域（代入特殊点验证） 一般地，当一般地，当C0C0时常把原点（时常把原点（0,00,0）作为特殊点）作为特殊点当当C=0C=0时把（时把（0 0，1 1）或（）或（1,01,0）作为特殊点）作为特殊点课堂练习课堂练习1:(1)画出不等式画出不等式4x3y12表示的平面区域表示的平面区域xy4x3y-12=03y-12=0

8、xyx=1(2)画出不等式画出不等式x1表示的平面区域表示的平面区域0 xy3x+y-12=0 x-2y=0y -3x+12 x2y 的解集。例2、用平面区域表示不等式组画二元一次不等式组表画二元一次不等式组表示的平面区域的步骤：示的平面区域的步骤：1.1.线定界线定界2.2.点定域点定域3.3.交定区交定区由于所求平面区域的点的坐由于所求平面区域的点的坐标需同时满足两个不等式，标需同时满足两个不等式，因此二元一次不等式组表示因此二元一次不等式组表示的区域是各个不等式表示的的区域是各个不等式表示的区域的区域的交集交集，即，即公共部分公共部分。分析分析：3 3、画出不等式组、画出不等式组表示的平

9、面区域。表示的平面区域。 x-y+5x-y+50 0 x+yx+y0 0 x x3 3x xo oy y4 4-5-55 5x-y+5=0 x-y+5=0 x+yx+y=0=0 x=3 x=3 课堂练习课堂练习2：解析：边界直线方程为解析：边界直线方程为 x+y-1=0 x+y-1=0 代入原点（代入原点（0 0，0)0) 得得0+0-10+0-10 0 即所求不等式为即所求不等式为 x+y-10 x+y-10典例精析典例精析题型三：根据平面区域写出二元一次不等式（组）题型三：根据平面区域写出二元一次不等式（组）例例3 3、写出表示下面区域的二元一次不等式、写出表示下面区域的二元一次不等式x

10、xy y-2-2o o1 11 1-1-1x-2y+2x-2y+20 0y-1y-1绿色区域绿色区域蓝色区域蓝色区域x-2y+2x-2y+20 0y-1y-1x+y-10 x+y-10 x+y-10 x+y-10紫色区域紫色区域黄色区域黄色区域根据平面区域写出二元一次根据平面区域写出二元一次不等式（组）的不等式（组）的步骤：步骤：方法总结方法总结求边界直线的方程求边界直线的方程代入区域内的点定号代入区域内的点定号写出不等式（组）写出不等式（组）题型五：综合应用题型五：综合应用解析：解析： 由于在异侧，则（由于在异侧，则（1 1，2 2）和（）和（1 1，1 1）代入代入3x-y+m 3x-y+

11、m 所得数值所得数值异号异号，则有（则有（3-2+m3-2+m）（）（3-1+m3-1+m） 0 0所以（所以（m+1m+1）(m+2) 0(m+2) 0即：即：-2m-1-2m-1试确定试确定m m的范围，使点（的范围，使点（1 1，2 2）和）和（1 1，1 1）在）在3x-y+m=03x-y+m=0的的异侧异侧。例例4 4、变式变式: :若在若在同侧同侧，m m的范围又是什么呢？的范围又是什么呢？解析解析：由于在同侧，则（由于在同侧，则（1 1，2 2）和（）和（1 1，1 1）代入代入3x-y+m 3x-y+m 所得数值所得数值同号同号，则有（则有（3-2+m3-2+m）（）（3-1+

12、m3-1+m） 0 0所以（所以（m+1m+1）(m+2)(m+2) 0 0即：即：m -2m -2或或m m-1-1题型四：综合应用题型四：综合应用求二元一次不等式组求二元一次不等式组所表示的平面区域的面积所表示的平面区域的面积例例5 5、 x-y+50 y2 0 x22 2x xo oy y-5-55 5D DC CB BA Ax-y+5=0 x-y+5=0 x=2x=2y=2y=22 2如图，平面区域为直角梯形如图，平面区域为直角梯形, ,易得易得A(0,2),B(2,2),C(2,7),D(0,5)A(0,2),B(2,2),C(2,7),D(0,5)所以所以AD=3,AB=2,BC=

13、5AD=3,AB=2,BC=5故所求区域的面积为故所求区域的面积为S=S=解析：解析：825321题型四：综合应用题型四：综合应用若二元一次不等式组若二元一次不等式组所表示的平面区域是一个三角形，所表示的平面区域是一个三角形，求求a a的取值范围的取值范围变式：变式： x-y+50 ya 0 x2变式训练变式训练题型四：综合应用题型四：综合应用若二元一次不等式组若二元一次不等式组所表示的平面区域是一个三角形，所表示的平面区域是一个三角形，求求a a的取值范围的取值范围变式：变式： x-y+50 ya 0 x22 2x xo oy y5 5D DC Cx-y+5=0 x-y+5=0 x=2x=2

14、-5-5y=y=ay=y=ay=y=ay=y=5y=y=77 7数形结合思想数形结合思想答案答案:5a5a 7 7 求求z=2x-yz=2x-y最大值与最小值最大值与最小值 。设设x,y满足约束条件：满足约束条件：作可行域（如图）因此z在A（2，-1）处取得最大值，即Zmax=22+1=5；在B（-1，-1）处取得最小值，即Zmin=2（-1）-（-1）=-1。由z=2x-y得y=2x-z,因此平行移动直线y=2x，若直线截距-z取得最大值，则z取得最小值；截距-z取得最小值，则z取得最大值.综上,z最大值为5；z最小值为-1.举一反三举一反三x-y0 x+y-1 0y -1解：y=-1x-y

15、=0 x+y=1(-1,-1)xy011A AB BC（2，-1）y=2x作出下列不等式组的所表示的平面区域作出下列不等式组的所表示的平面区域1255334xyxyx问题思考23x+5y25x- -4y- -3x1在该平面区域上 问题 1 1：有无最大(小)值？问题：有无最大(小)值？xyox-4y=-33x+5y=25x=1问题：2 2+ +有无最大(小)值？CAB二二.提出问题提出问题把上面两个问题综合起来把上面两个问题综合起来:1255334xyxyx设设z=2x+y,求满足求满足时时,求求z的最大值和最小值的最大值和最小值.55x=1x-4y+3=03x+5y-25=01ABCC: (

16、1.00, 4.40)A: (5.00, 2.00)B: (1.00, 1.00)Oxy.1255334. 1所表示的区域所表示的区域先作出先作出 xyxyx02 yx02:. 20 yxl作直线作直线Rttyxll ,2:. 30直线直线平行的平行的作一组与直线作一组与直线直线直线L L越往右平移越往右平移,t,t随之增大随之增大. .以经过点以经过点A(5,2)A(5,2)的的直线所对应的直线所对应的t t值值最大最大; ;经过点经过点B(1,1)B(1,1)的直线所对的直线所对应的应的t t值最小值最小. .3112,12252minmax ZZ1255334xyxyx设设z=2x+y,

17、求满足求满足时时,求求z的最大值和最小值的最大值和最小值.线性目线性目标函数标函数线性约线性约束条件束条件线性规线性规划问题划问题任何一个满足任何一个满足不等式组的（不等式组的（x,yx,y）可行解可行解可行域可行域所有的所有的最优解最优解有关概念有关概念由由x，y 的不等式的不等式(或方程或方程)组成的不等式组称为组成的不等式组称为x，y 的的约束条件约束条件。关于。关于x，y 的一次不等式或方程的一次不等式或方程组成的不等式组称为组成的不等式组称为x，y 的的线性约束条件线性约束条件。欲达。欲达到最大值或最小值所涉及的变量到最大值或最小值所涉及的变量x，y 的解析式称的解析式称为为目标函数

18、目标函数。关于。关于x，y 的一次目标函数称为的一次目标函数称为线性线性目标函数目标函数。求线性目标函数在线性约束条件下的。求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题称为最大值或最小值问题称为线性规划问题线性规划问题。满足线。满足线性约束条件的解（性约束条件的解（x，y）称为）称为可行解可行解。所有可行。所有可行解组成的集合称为解组成的集合称为可行域可行域。使目标函数取得最大。使目标函数取得最大值或最小值的可行解称为值或最小值的可行解称为最优解最优解。B Cxyox4y=33x+5y=25x=1 例例1：设：设z2xy,式中变量式中变量x、y满足下列条件满足下列条件 求的最大值和最小值

19、。求的最大值和最小值。3x+5y25x 4y3x1解：作出可行域如图解：作出可行域如图：当当0时，设直线时，设直线 l l0 0：2xy0 当当l l0 0经过可行域上点经过可行域上点A时，时，z 最小，即最小，即最大。最大。 当当l l0 0经过可行域上点经过可行域上点C时时，最大，即最大，即最小。最小。由由 得得A点坐标点坐标_； x4y3 3x5y25由由 得得C点坐标点坐标_； x=1 3x5y25zmax2528 zmin214.4 2.4(5,2)(5,2)(1,4.4)(1,4.4)平移平移l l0 0，平移平移l l0 0 ，(5,2)2xy0(1,4.4)(5,2)(1,4.

20、4)典例讲评解线性规划问题的步骤：解线性规划问题的步骤： 2 2、 在线性目标函数所表示的一组平行线在线性目标函数所表示的一组平行线 中，用平移的方法找出与可行域有公中，用平移的方法找出与可行域有公 共点且纵截距最大或最小的直线；共点且纵截距最大或最小的直线； 3 3、 通过解方程组求出最优解；通过解方程组求出最优解； 4 4、 作出答案。作出答案。 1 1、 画出线性约束条件所表示的可行域；画出线性约束条件所表示的可行域；画画移移求求答答例例2某工厂生产甲、乙两种产品，生产某工厂生产甲、乙两种产品，生产1t甲甲种产品需要种产品需要A种原料种原料4t、 B种原料种原料12t，产，产生的利润为生

21、的利润为2万元；生产万元；生产1t乙种产品需要乙种产品需要A种原料种原料1t、 B种原料种原料9t，产生的利润为，产生的利润为1万万元。现有库存元。现有库存A种原料种原料10t、 B种原料种原料60t，如何安排生产才能使利润最大？如何安排生产才能使利润最大？A种原料 B种原料利润甲种产品4 122 乙种产品1 9 1现有库存10 60 在关数据列表如下：在关数据列表如下：设生产甲、乙两种产品的吨数设生产甲、乙两种产品的吨数分别为分别为x、y0060912104yxyxyxyxP 2利润利润何时达到最大？何时达到最大？三、当堂检测三、当堂检测已知已知（1）求）求z=2x+y的最大值和最小值。的最大值和