实验三,四连续时间傅立叶级数

1、实验三 连续时间傅立叶级数 成谐波关系的复指数信号就是它们的频率互为整数倍的信号，傅立叶级数将周期信号表示成谐波关系的复指数信号的加权和,如（3.1）和（3.2）式。因为复指数信号是LTI系统的特征函数。所以这种表示能够直接计算在一给定周期输入下一个系统的输出. （3.1） （3.2）§3.1 连续时间傅立叶级数的性质目的 本练习要检验连续时间傅立叶级数（CTFS）的性质。相关信号考虑信号，式中。x=sym('cos(w*t)+sin(2*w*t)');>> x1=subs(x,2*pi,'w');>> ezplot(x1,-1

2、:1);>>x=sym('cos(w*t)+sin(2*w*t)');x1=subs(x,2*pi,'w');syms t;n=-6:6Fn=int(x1*exp(-i*n*2*pi*t),0,1);F=abs(Fn);F=double(F);stem(n,F); 中等题1满足的最小周期T是多少？利用这个值，用定义求的CTFS系数。2考虑信号，利用CTFS的时间倒置和共轭性质求的CTFS系数。syms t;x=sym('cos(2*pi*t)+sin(2*2*pi*t)');x1=subs(x,'-t','t&

3、#39;);y=x+x1;n=-6:6;Fn=int(y*exp(-1i*n*2*pi*t),0,1);F=abs(Fn);F=double(F);stem(n,F);3在上画出信号。能预计出什么样的对称性？能够利用CTFS的对称性说明它吗？>> syms t;x=sym('cos(2*pi*t)+sin(2*2*pi*t)');x1=subs(x,'-t','t');y=x+x1;ezplot(y,-1:1);§3.2 连续时间傅立叶级数中的能量关系目的 分别在时域和频域求信号能量，验证帕斯瓦尔定理。相关知识 一个硬限幅器

4、是一种器件，其输出是即时输入信号符号的函数，具体说就是当输入信号是正时，输出信号等于1；而当是负时，输出信号等于1。调频（FM）的某些部分或雷达系统中都常用硬限幅器处理某一即时输入信号的相位，而不管任何可能的幅度失真。在本练习中要考虑将信号通过硬限幅器的输出的问题。中等题1求信号的CTFS表示。提示：利用CTFS性质，并根据周期为T的对称方波 具有CTFS系数为 的知识。syms t;k=-50:50;ak=sin(k)*pi/2)./(k)*pi);Fy=ak.*(1-exp(-1i*(k)*pi);figure(1);stem(k,abs(Fy);f=Fy.*exp(1i.*(k)*pi*

5、t);y=simple(sum(f);figure(2);ezplot(t,y);2一个周期信号的基波分量的能量可以定义为，其中是该信号的CTFS。试计算输出和输入中的基波分量的能量，能量有增益或损失吗？能说明能量变化的原因吗？3利用帕斯瓦尔定理求该信号一个周期内的总能量，利用前100个频率，即近似这个和式，这个和式收敛到何值？4为了观察该能量估计值收敛得有多快，试画出该信号能量估计值作为在和式中所用项数个数的函数图。 §3.3 用傅立叶级数综合连续时间信号目的 学习CTFS系数的连续时间信号的傅立叶分析与综合。 相关知识 一大类连续时间周期信号可以表示成如下和式 式中是连续时间傅立

6、叶级数（CTFS）。本练习要综合具有较少非零系数个数的信号，将考虑具有无限个非零CTFS系数的连续时间信号的傅立叶分析与综合。基本题 对于这些习题要用少数几个非零的傅立叶级数系数构造周期信号的符号表达式。3个信号的基波周期和非零的CTFS系数给出如下：对每一信号创建连续时间信号的符号表达式，并用ezplot画出信号的两个周期。 思考：怎样本就能由傅立叶级数系数预计到哪个信号应该是实信号？§3.4方波的傅立叶表示目的 这个练习要用傅立叶级数分析周期方波，对信号将研究截断的傅立叶级数重构公式，特别要研究随N的增大，是如何收敛的？相关知识 一般来说，傅立叶级数系数可有无限个非零值。譬如，任

7、何具有间断点的信号都一定有一个无限个非零系数的傅立叶级数表示，而对数值计算来说，这是无法实现的。有限项和对某个相对小的整数N往往是一个很好的近似。方波 考虑一个基波周期T=2的周期方波，在区间内该方波由下式表示， 如下图示：这个练习将分析方波的傅立叶级数表示，且主要集中在方波的不连续点。1利用int创建一个符号表达式a，它包含了该方波每个k值的傅立叶级数系数。这个符号表达式是k的函数。利用stem画出内的傅立叶级数的系数。2对N=1，3，5和9，对创建符号表达式。利用ezplot画出区间内的，用hold将4张图画在同一幅图上。3在时，的值是多少？这个值随N增加而变化吗？4不用明确地求出，对每个

8、N值估计一下超量误差值。这个超量误差随N增加而减小吗？随，如何预期这个值的变化？实验四 连续时间傅立叶变换 连续时间傅立叶变换（CTFT） （4.1） （4.2）将连续时间傅立叶级数（CTFS）推广到既能对周期连续时间信号，又能对非周期连续时间信号进行频域分析。另外，许多LTI系统的特性行为要比时域容易理解。为了更有效地应用频域方法，重要的是要将信号的时域特性是如何与它的频域特性联系起来的建立直观的认识。本练习就是要对一般的信号帮助建立这一直观性，尤其是在LTI系统的单位冲激响应和频率响应之间建立这一直观性。§4.1连续时间傅立叶变换的数字近似目的 将连续时间傅立叶变换进行数字近似，

9、用函数fft（快速傅立叶算法）高效地计算这个近似值。相关知识很多信号都能用（4.1）式连续时间傅立叶变换（CTFT）来表示。利用MATLAB可以计算（CTFT）积分的数值近似。利用在密集的等间隔t的样本上的求和来近似这个积分，就可以用函数fft高效地计算这个近似值。所用的近似式是根据积分的定义得到的，即 （4 .3）对于一般信号，在足够小的下，上式右边的和式是对于CTFT积分的一个好的近似。若信号对于和为零，那么这个近似式就能写成 （4.4）式中，N为一整数。可以利用函数fft对一组离散的频率计算上式中的和式。如果N个样本是存在向量x内的话，那么调用函数X=tau*fft(x)就可以计算出 （

10、4.5）式中 以及N假设为偶数。为了计算高效，fft在负的频率样本之前先产生正频率样本。为了将频率样本置于上升的顺序，能用函数fftshift。为了将存入X中的的样本排列成使就是对于，在上求得的CTFT,可用X=fftshift(tau*fft(x)。 本练习要用函数fft和截断的近似的CTFT。将会看到，对于足够小的，对能计算出一个准确的数字近似。基本题1求CTFT的解析表达式。可将看作，。2创建一个向量，它包含了在区间t=0:tau:T-tau 上（其中和），信号的样本。3键入y=fftshift(tau*fft(y)计算样本。因为对于基本上为零，就能近似用个样本分析中计算出信号的CTFT

11、。4构造一个频率样本向量w，它按照>> w=-(pi/tau)+(0:N-1)*(2*pi/(N*tau);与存在向量Y中的值相对应。5因为是通过时移与相联系的，所以CTFT就以线性相移项与相联系。利用频率向量w直接由Y计算的样本，并将结果存入x中。6利用abs和angle画出在w标定的频率范围内X的幅值和相位。对于相同的值，也画出在1中所导出的解析式表达式的幅值和相位。CTFT的近似值与解析导得的相符吗?若想在一张对数坐标上画出幅值，可以用semilogy，这是会注意到，在较高的频率上近似不如在较低的频率上好。因为用了样本近似，所以在时间段长度内，信号变化不大的那些信号的频率分量

12、近似程度会更好一些。7利用abs和angle画出Y的幅值和相位，它们与X的图比较后怎样？能估计到这一结果吗？§4.2连续时间傅立叶变换性质目的 这个练习要借助于在频域和时域分析与操作声音信号来加深理解连续时间傅立叶变换CTFT。相关知识 在MATLAB中声音信号是用含有连续时间声音信号样本的向量表示的，采样率定为8192Hz，也即声音信号是每隔采样一次。更仔细一些，对于一个声音信号，在区间上，以8192Hz采样，代表该声音信号的N个元素向量y由下式给出： 然后，函数sound能用来在计算机的扬声器上放出该信号。 虽然这是一个连续时间声音信号的采样表示，倘若在采样区间以外是零，而且采样

13、率是足够快的，那么y就能认为是的一个准确表示。在开始这个练习之前，必须首先装入一个采样的声音信号，这可键入>> load splat>> y=y(1:8192);为了确认已准确无误地装入了这个声音数据，并证实这个MATLAB向量y能正确地代表一个声音信号，可键入>> N=8192;>> fs=8192;>> sound(y,fs) 函数fft取出该已采样的表示y，并在的样本点上计算近似的CTFT。若键入>> Y=fftshift(fft(y);那么向量Y就包含了区间上N个等分频率点处的近似值。事实上，Y包含的仅是的近似值，

14、这里c是一个常数，但是不必担心这个近似，或这个加权系数，这仅是为本练习的需要而设定的。有关和Y之间关系的更为全面的讨论，请参考练习4.1。 函数fftshift将fft的输出重新排序，以使得的样本在Y中的排序是从最负频率到最正的频率。现在，与CTFT有关的大多数性质都能在向量Y上得到证实。基本题1键入Y=fftshift(fft(y)，计算向量Y的傅立叶变换。键入>> w=-pi:2*pi/N:pi-pi/N*fs;将对应的频率值存入向量w中。利用w和Y在区间内画出该连续时间傅立叶变换的幅值。 函数ifft是fft的逆运算。对于偶数长度的向量，fftshift就是它本身的逆。对于向

15、量Y，N=8192，这个逆傅立叶变换能用键入以下命令而求得>> y=ifft(fftshift(Y);>> y=real(y);由于原时域信号已知是实的，所以这里用了函数real。然而，在fft和ifft中的数值舍入误差都会在y中引入一个很小的非零虚部分量。一般说来，逆CTFT不必是一个实信号，而虚部可以包含有显著的能量。当已知所得信号一定是实信号时，并且已经证实所除掉的虚部分量是没有意义的，real函数才能用于ifft的输出上2置Y1=conj(Y)并将Y1的逆傅立叶变换存入Y1中，用real(y1)以确保y1是实的，用sound(y1,fs)将y1放出。已知的逆傅立

16、叶变换是如何与联系的，能解释刚才听到的是什么吗？中等题 的CTFT可以用它的幅值和相位写成 式中。对于许多信号，单独用相位或幅值都能构造出一个有用的信号的近似。例如，考虑信号和，其CTFT为 3构造一个向量Y2等于Y的幅值，并将Y2的逆傅立叶变换存入向量y2中，用sound放出这个向量。4构造一个向量Y3，它有与Y相同的相位，但是幅值对每个频率都等于1。并将Y3的逆傅立叶变换存入向量y3中，用sound放出这个向量。5根据刚才听到的这两个信号，代表一个声音信号你认为傅立叶变换的那个部分是最关键的：幅值或相位？§4.3连续时间傅立叶变换的符号计算目的 这个练习要对几个不同的信号求(4.

17、2)连续时间傅立叶变换。基本题1定义符号表达式x1和x2代表下面连续时间信号： 需要用函数Heaviside来表示单位阶跃函数。2对于1中所定义的和，用解析方法计算它们的CTFT在的值，即（不应该先求来作这道题）CTFT在的值是怎样与时域信号关联的？31所定义的信号中，哪一个在时域衰减得更快？根据这一点，你能预期在频域哪一个衰减得更快？4用函数fourier计算和得CTFT。定义x1和x2是由fourier产生的符号表达式。用ezplot产生和的幅值图。这些图能对2和3中的答案进行确认吗？中等题5定义符号表达式y1代表下面连续时间信号： 它可以作为两个Heaviside函数之差。6用解析方法求的CTFT，。7定义符号表达式y2表示信号。你能像对y1那样用两个