直角三角形专项复习资料配套练习

1、专题43直角三角形聚焦考点温习理解一、直角三角形1 .定义有一个角是直角的三角形叫作直角三角形2 .性质(1)直角三角形两锐角互余 .(2)在直角三角形中，如果一个锐角等于30° ,那么它所对的直角边等于斜边的一半；(3)在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半3 .判定(1)两个内角互余的三角形是直角三角形(2)三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形二、勾股定理及逆定理1 .勾股定理：直角三角形的两条直角边 a、b的平方和等于斜边 c的平方，即：a2+b2=c2;2 .勾股定理的逆定理如果三角形的三条边 a、b、c有关系：a2+b2=c2,那么这个三角形是

2、直角三角形 .三、直角三角形全等的判定：对于特殊的直角三角形，判定它们全等时，除了有一般三角形全等的判定方法，还有HL定理(斜边、直角边定理)：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(可简写成“斜边、直角边”或“HL”)四、互逆命题、互逆定理1 .互逆命题如果一个命题的题设和结论是另一个命题的结论和题设，我们把风这两个命题叫做互逆命题.把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题.2 .互逆定理若一个定理的逆命题是正确的，那么它就是这个定理的逆定理，称这两个定理为互逆定理 名师点睛典例分类考点典例一、直角三角形的判定【例1】下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（）A. 4,5,6B

3、. 1.5,2 , 2.5C. 2,3,4D. 1, 2 , 3【答案】B.【解析】试题分析:由勾股定理的逆定理，只要险证两小边的平方和等于最长边的平方即可：4夕=41,小，不可以构成直角三角形，故本选项错误，1,5-6.25-2.52,可以构成直角三角形，故本选项正确jC、2。3?=13求4"不可以构成直角三角形，故本选项错误fD、尸+（0/=3H3二不可以构成直角三角形，故本选项错误.故选B.考点：勾股定理的逆定理.【举一反三】（舟山一中期中）将下列长度的三根木棒首尾顺次连接，能组成直角三角形的是（）A. 3、4、5 B . 2、3、4 C . 1、2、3 D . 4、5、6【答

4、案】A【解析】试题分析：选项A, 32+52=25=52;选项B,2 2+32=42;选项C,12+22w 32;选项 D,4 2+52W 62.根据勾股定理的逆定理可得只有选项 A能够成直角三角形，故答案选 A.考点：勾股定理的逆定理.考点典例二、直角三角形的性质【例2】如图，在 RtABC中,D, E为斜边 AB上的两个点，且 BD=BC AE=AC则/ DCE的大小为 【答案】45试题分析:设NDCE二右 ZACD=7j 则ZECE=90° -/KE=90° -X-y.'AE=AC, /ME=NAEC=区灯.：BD=BC, /. ZE DC= ZBCD= Z

5、BCE+Z DCE=90 ° f 疗90, -y.在ADCE 中，r Zdce+Zcde+Zdec=iso 0 ,F+（90* -y） + G=180,解得 x=45* .,ZDCE=45° .考点：1.等腰三角形的性质；2.三角形内角和定理；3.方程思想的应用.【举一反三】在一个直角三角形中，有一个锐角等于60。，则另一个锐角的度数是 （）A. 120°B . 90° C . 60°D . 30°【答案】D.【解析】试题分析：根据直角三角形两锐角互余列式计算即可得解：直角三角形中，一个锐角等于60° ,另一个锐角的度数=9

6、0° -60° =30° .故选D.考点：直角三角形两锐角的关系.考点典例三、直角三角形斜边上的中线5【例3】如图，在RtABC中，/ACB=90，点 D是AB的中点，且 CD=5 ,如果RtABC的面积为1,则2a.返+1b.75+1c.75+2d.75+32【答案】D【解析】试题分析：如图j 7在RtZUBC中,ZACB=90° ,点D是四的中点,且 一.'.AB=2CD=出.AC:+BC:=5又RtZkABC的面积为L, =则 KBC=2.,'.（AC+BC） :=AC:+EC+2AC-EC=9J,AC+BC=3 （舍去负值3.AC

7、+BC+AB=3+5 ,即 AABC 的周长是 3+75 .故选：D.考点：勾股定理；直角三角形斜边上的中线.【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定和性质及平移的性质，解题的关键是据图找出规律.【举一反三】（2015.山东枣庄，第15题,4分）如图，4ABC中，CD! AB于D, E是AC的中点，若AD=q DE=5贝U CD=;3C【答案】【解析】【试题分析】因为 CDL AB,所以 ADC是直角三角形，E为AC的中点，所以 AC=2DE=10由勾股定理可得AD=8.考点：直角三角形的性质 考点典例四、命题【例3】下列命题中，是真命题的是 （）A.等腰三角形都相似B .等边三角形都相似C.锐

8、角三角形都相似D.直角三角.形都相似【答案】B.【解析】试题分析：根据相似三角形的判定，只有等边三角形的内角都相等，为 60。，从而都相似.故选B.考点：1.命题和定理；2.相似三角形的判定；3.等边三角形的性质.【点睛】本题考查了轴对称的性质，解直角三角形，等腰直角三角形的判定与性质，正方形的判定与性质，熟记性质是解题的关键，设出边长为1可使求解过程更容易理解.【举一反三】下列命题错误的是（）A.所有的实数都可用数轴上的点表示B.等角的补角相等C.无理数包括正无理数， 0,负无理数D.两点之间，线段最短【答案】【解析】试题分析：根据实数与数轴上的点一一对应对A进行判断；根据补角的定义对 B进

9、行判断；根据无理数的分类对 C进行判断；根据线段公理对 D进行判断.试题解析：以所有的实数都可用数轴上的点表示，所以A选项正确；目、等角的补角相等，所以B选项正确fC、无理数包括正无理数和负无理数j。是有理数,所以C选I页错误：D、两点之间，线段最短，所以D选项正确.故选：C.考点：命题与定理.课时作业能力提升一、选择题1. （2015.北京市，第6题，3分）如图，公路AG BC互相垂直，公路 AB的中点M与点C被湖隔开，若测得AM的长为1.2km,则M C两点间的距离为（）A0.5kmB.0.6kmC.0.9kmD.1.2km【答案】D.【解析】试题分析：根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的

10、一半可得MC=1.2km故选D.考点：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半2. （2015 湖北黄冈，6题，3分）如图，在 ABC中，/ C=RtZ, / B=30° ,边AB的垂直平分线 DE交AB于点E,交BC于点D, CI=3,则BC的长为（）A. 6 B . 6<3C . 9 D . 3<3A【答案】C.【解析】试题分析；是9 的垂直平分线，3&3a二/。.七二2炉3。1J组）为/的角平分线，1/0乳"，0WL以 ：.DE=CD=3, 二夕=30" , ：.SD2DE=6t 故选C.考点：1.含30度角的直角三角形；2.线段垂直平分线的

11、性质.AC=2 点 D 在 BC 上，/ ADC=2/ B, AD=<5 ,贝 U BC3. （2015 辽宁大连）如图，在 ABC中，/ C=90° ,的长为（ABA. 3 3-1 B. ： 3+1 C. . 5-1 D. .5+1【答案】D【解析】试题分析：在 ADC中，/ C=90° , AC=2 所以 CD=vAD2 AC2 =%；Q52 22 =1 ,因为/ ADC=2/ B, / ADCh B+Z BAD 所以/ B=Z BAD 所以 BD=AD='5 ,所以 BC=',5 +1,故选 D.考点：解直角三角形.4. （2015资阳）如图，透

12、明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为12cm,底面周长为10CR1在容器内壁离容器底部 3cm的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿3cm的点A处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是（）A. 13cmB. 2<6T cm C. 76Tcm D. 2*'34cm【答案】A【解析】试题分析：如图：二高为 12cm,底面周长为10cm在容器内壁离容器底部3cm的点B处有一饭粒，此时蚂蚁正好在容器外壁，离容器上沿3cm与饭粒相对的点 A处，. A' D=5cni BD=12 - 3+AE=12cni，将容器侧面展开，作A关于EF的对称点A',连接A&

13、#39; B,则A' B即为最短距离，A B= JA'D2+BD2 =552+122 =13(Cm.故选A.考点：平面展开-最短路径问题.5. （2015眉山）如图，在 RtABC中，/ B=90°, Z A=30°, DE垂直平分斜边 AC交AB于D, E是垂足，连接CD若BD=l ,则AC的长是（）A. 273 B . 2 C . 4<3 D . 4【答案】A【解析】试题分析：在 RtABC中，.一/ B=90° , / A=30° ,/ ACB=60 , / DE垂直平分斜边 AC AD=C（D /ACB/A=30 , ./D

14、CB60 - 30 =30 ,在 RtDBC中，/ B=90 , / DCB30 , BD=1, . CD=2BB=2, 由勾股定理得：BG，22 -12 =石,在 RtAABC, Z B=90° , ZA=30° , BC= J3 ,，AC=2BC=2石，故选 A.考点：1.含30度角的直角三角形；2.线段垂直平分线的性 质；3.勾股定理.6. （2015乐山）如图，已知 ABC的三个顶点均在格点上，则 cosA的值为（）C八、3。A.Bf C - 2f D - 2f【解析】试题分析：过B点作BD1AC,如图，由勾股定理得,，故选D.:C8. （2015 内江）在 ABC

15、43, / B=30° , AB=12,AC=6,则 BC=考点：1.锐角三角函数的定义；2.勾股定理；3.勾股定理的逆定理； 4.网格型.二、填空题7. （2015成都）如图，在平行四边形 ABC珅，A年 底,A34,将平行四边形 ABC期AE翻折后，点B恰好与点C重合，则折痕 AE的长为B【解析】试题分析：点 B恰好与点C重合，且四边形 ABC国平行四边形，根据翻折的性质,则 AE!BC, BE=CE=2,在RtAABE,由勾股定理得 AE =，AB2 - BE2 =413 4=3.故答案为:3.考点：1.翻折变换（折叠问题）；2.勾股定理;3.平行四边形的性质.【解析】试题分析

16、：是直角三角形，-Zab： TC：=而、6：二6七, 故答案为：6后.考点：1.含30度角的直角三角形；2.勾股定理.9 .如图，在 RtABC中，/ABC=90 , AB=3, AC=5点E在BC上，将 ABCgAE折叠，使点 B落在 AC边2【解析】试题分析：.在 RtABC中，/ABC=90 , AB=3 AC=5BC = AC2 -AB2 =4.由折叠的性质得：BE=BE , AB=AB ,设 BE=x,贝U B' E=x, CE=4 x, B' C=AC- AB' =AC- AB=2在 RtAB? EC 中，B' E 2+B' C 2=eC,即

17、 x2+22= (4x) 2,解得：x=-.2BE的长为3 .2考点：1.折叠的性质；2.勾股定理；3.方程思想的应用.10 . （2015 黑龙江省黑河市、齐齐哈尔市、大兴安岭）BD为等月ABCMAC上的高，BD=1,tan/AB摩J3,则CD的长为3【解析】, BD=1, tan / ABaT3 ,，AD=T3 ,试题分析：分三种情况：如图1, / A为钝角，AB=AC在FiAABD,AB=2,AG2,CD：2 、,3 ,如图2,/A 为锐角，AB=AC 在 R4ABD43, BD=1 ,tan / ABD： J3 ,，AD= J3 ,AB=2, . AC=2, . CD=2 J3 ,如图

18、.,.33, BA=BCBDLAC AD=CD 在 RAABD43, . BD=1, tan Z AB&V3，1- AD=,3CD:- ,333.勾股定理.考点：1.解直角三角形；2.等腰三角形的性质;综上所述；CD的长为：2 + 73或2-J3或立，故答案为:3B图311.如图，在 RtABC中，Z B=90° , AB=3 BC=4,将 ABC折叠，使点B恰好落在边AC上，与点B'重合,AE为折痕，则EB'=【答案】1.5.试题分析；首先根据折羲可得BE=E.皿'然后设BE=E =K.,则EC=4-币在RtZkABC中,由勾 股定理求得靛的值，再在

19、RtAB' EC中，由勾股定理可得方程4+2 J C4-x） 再解方程即可算出答案.试题解析：根据折就可得BE二EE，ABy =AB=3,设 BE=EB' r,则 EC=4r,'ZB=90c j AE=3j EC=4,二在RtAABC中,由勾股定理得，35,丁C5-3=2 ,在RtZkB'此中，由勾股定理得，+2：二C4-x）解得XL 5,故答案为；1*5.考点：翻折变换（折叠问题）.12 .如图，直线 m/ n, RtABC的顶点 A在直线 n 上，/ C=90 ,若/ 1=25o, /2=70o.则/ B=【答案】45.【解析】试题分析：-.1 m/ n,

20、Z 2=70o, . . / BAn=70 . / 1=25o, . BAC=45 ./ C=90 ,/ B=45° .考点：1.平行线的性质；2.直角三角形两锐角的关系.13 . （2015 湖北黄冈，14题，3分）在 ABC中，AB=13cg AG=20cm, BC边上的高为12cm 则 ABC的2面积为 cm .【答案】126或66.【解析】试题分析：当/ B为锐角时（如图 1）,在 RtAABD, BD= JAB2 AD2 =，132 122 =5cm 在 RtAADO, cd= Jac2 ad2 = J202 122 =i6cm . . bg=2i, . &ab（=

21、-bc- ad：1 *21x12=126cm2；22当/B 为钝角时（如图 2）,在 RtABD中，BD= JAB2 AD2 = Jl32 122 =5cm,在 RtADC中，CD： Jac2二AD2 = . 202-122 =16cmBC=CD- BD=16-5=1lcmSaabu-BC A®1 x 11X12=66 cm2,22故答案为：126或66.考点：1.勾股定理；2.分类讨论.三、解答题14.如图，将 ABC放在每个小正方形的边长为 1的网格中，点 A、曰C均落在格点上.(1)计算AB2 +BC2的值等于 ；(2)请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，画出一个以AB为一边

22、的矩形，使矩形的面积等于 AB2+BC2,并简要说明画图方法(不要求证明)【答案】(1) 11; (2)作图如下，分别以 AC BG AB为一边作正方形 ACED正方形BCNM正方形ABHF延长DE交MNT点Q连接QC平移QC至AG BP位置，直线 GP分别交AF, BH于点T, S,则四边形 ABST即为所求.2试题分析：(1)直接利用勾股定理计算：AC2+BC2=(T2) +32 =11.(2)首先分别以 AC BG AB为一边作正方形 ACED正方形BCNM正方形ABHF进而得出答案.考点：1.作图(应用与设计作图)；2.网格问题；3.勾股定理.15. (1)问题发现填空：/ AEB的度

23、数为 (3)解决问题如图3,在正方形 ABCD , CD=J2.若点P满足PD=1,且/ BPD=900,请直接写出点 A到BP的距离.如图1, 4ACB和4DCE均为等边三角形，点 A D、E在同一直线上，连接BE.线段AD和BE之间的数量关系是(2)拓展探究如图2, 4ACB和4DCE均为等腰直角三角形，/ ACBW DCE=90 0, .点A、D、E在同一直线上， CM为 DCE中DE边上的高，连接 BE.请判断/ AEB的度数及线段 CM AE、BE之间的数量关系，并说明理由【答案】(1)60;AD=BE ( 2) /AEB= 90° AE=2CM+BE理由见解析;4 ILL

24、.上*. 4 事 |B «# V V I-9V VV IMdl.J:iGLN，"：；尸【解析】. 3 -1.3 1.22【解析】试题分析：(1):ZiACB和ADC无均为等边三角形,ZACB=ZDCE= 603 /. AC=BC, CD=CE, ZACB=ZDCB=ZDCE ZDC'B,即/ACD=/BCE- /.AACDABCE (SAS).，AD = BE, ZBEOZADC-1205./. ZAEB=ZBEC- ZCE0=120 - 60=60°.:ACDZkBCE,，AD=BE.(2)同(1)可证 AC国ABCIE再由等腰直角三角形的性质可得结论/ AEB=90° AE=2CM+BE.(3)PD =1, /BPD=9C°,二.BP是以点D为圆心、以1为半径的OD的切线，点P为切点.第一种情况：如图，过点 A作AP的垂线，交BP于点P，可证4APDAAP/B, PD=