相似三角形培优训练含答案讲解学习

1、精品文档相似三角形分类提高训练一、相似三角形中的动点问题如图,在 RtABC中，/ACB=90°, AC=3, BC=4,过点 B作射线 BB1/AC.动 点D从点A出发沿射线AC方向以每秒5个单位的速度运动，同时动点E从点C 沿射线AC方向以每秒3个单位的速度运动.过点 D作DHI± AB于H,过点E作 EF，AC交射线BB1于F, G是EF中点，连接 DG.设点D运动的时间为t秒.(1)当t为何值时，AD=AB,并求出此时 DE的长度；(2)当4DEG与4ACB相似时，求t的值.2 .如图，在 4ABC中，Z ABC= 90°, AB=6m, BC=8m,动点

2、P以2m/s的速度从 A点出发，沿 AC向点C 移动.同时，动点 Q以1m/s的速度从C点出发，沿CB向点B移动.当其中有一点到达终点时，它们 都停止移动.设移动的时间为t秒.(1)当t=2.5s时，求4CPQ的面积；求4CPQ的面积S (平方米)关于时间 t (秒)的函数解析式；(2)在P, Q移动的过程中，当 4CPQ为等腰三角形时，求出 t的值.精品文档3 .如图1,在 RtAABC中，Z ACB= 90°, AC= 6, BC= 8,点D在边 AB上运动，DE平分/ CDB交边BC 于点E, EMXBD,垂足为 M, ENXCD,垂足为 N.(1)当 AD=CD 时，求证：D

3、E/AC;(2)探究：AD为何值时， 4BME与ACNE相似？4 .如图所示，在 4ABC中，BA= BC= 20cm, AC= 30cm,点P从A点出发，沿着 AB以每秒4cm的速度向B点运动；同时点 Q从C点出发，沿 CA以每秒3cm的 速度向A点运动，当P点到达B点时，Q点随之停止运动.设运动的时间为x.(1)当x为何值时，PQ/ BC?(2) 4APQ与ACQB能否相似？若能，求出 AP的长；若不能说明理由.5 .如图，在矩形 ABCD中，AB=12cm, BC=6cm,点P沿AB边从A开始向点B以2cm/s的速度移动；点Q沿DA边从点D开始向点A以1cm/s的速度移动.如果 P、Q同

4、时出发，用t (s)表示移动的时间(0 v t v 6)。(1)当t为何值时，4QAP为等腰直角三角形？(2)当t为何值时，以点 Q、A、P为顶点的三角形与 4ABC相似？二、构造相似辅助线一一双垂直模型6 .在平面直角坐标系 xOy中，点A的坐标为(2, 1),正比例函数y=kx的图象与线 段OA的夹角是45。，求这个正比例函数的表达式.7 .在4ABC中，AB=«, AC=4, BC=2,以AB为边在C点的异侧作 AABD,使 ABD为等腰直角三角形, 求线段CD的长.8.在4ABC中，AC=BQ / ACB=90°,点 M是AC上的一点，点 N是BC上的一点，沿 着直

5、线MN折叠，使得点 C恰好落在边 AB上的P点.求证：MC: NC=AP: PB.9.如图，在直角坐标系中，矩形 ABCO的边OA在x轴上，边OC在y轴上，点B的坐标为（1,3）,将矩形沿对角线 AC翻折B点落在D点的位置，且 AD交y轴于点E.那么D点的坐标为（）三、构造相似辅助线- 11.如图：4ABC中, 求证：A2 DF10.已知，如图，直线 y=-2x+2与坐标轴交于 A、B两点.以AB为短边在第一象限做一个矩形 ABCD, 使得矩形的两边之比为 1 ： 2。求C、D两点的坐标。一A、X字型12 .四边形ABCD中,AC为AB、AD的比例中项，且AC 平分 / DAB。求证:13 .

6、在梯形ABCD中，AB/ CD, AB= b, CD= a, E为AD边上的任意一点,EF交BC于点F, 、DE 一 当行-1时,当定=*时，某同学在研究这一问题时，发现如下事实:0+hEF=；a + 3bEF= r DE当刘DSa + 2b=2时，ef=、；亡时，参照上述研究结论，请你猜想用EF/ AB,且a、b 和 k表示EF的一般结论，并给出证明.AD是AB上一点，AD=AC, BC边上的中线 AE交CD于F。14 .已知：如图，在 4ABC中，M是AC的中点，E、F是BC上的两点，且 BE= EF= FC= 求 BN: NQ: QM.15 .证明：（1）重心定理：三角形顶点到重心的距离

7、等于该顶点对边上中线长的三.（注：重心是三角形三条中线的交点）（2）角平分线定理：三角形一个角的平分线分对边所成的两条线段与这个角的两邻边 对应成比例.四、相似类定值问题16 .如图，在等边 4ABC中, 别交AC AB于点E、F.M、N分别是边AB, AC的中点,1 13求证：十二.CE BP ABD为MN上任意一点,BD、CD的延长线分17 .已知：如图，梯形分别交AD> BC于E、ABCD中，AB/DC,对角线 AC、BD 交于 O,过。作 EF/ABF。求证._L十上二工AB CD E0'图1成立？若成立，试给出证明；若不成试说明 (要求图2为 行证明 明)；18 .如图

8、，在4ABC中，已知CD为边AB上的高，正方形EFGH的四个顶点分别在 4ABC 上。求证:19 .已知，在4ABC中作内接菱形 CDEF设菱形的边长为 a.求证:五、相似之共线线段的比例问题20 . (1)如图1,点F在平行四边形 ABCD的对角线BD上，一直线过点 P分别交BA, BC的延长线于点Q, S,交加，5于点凡7.求证：PQ PR= PS- PT(2)如图2,图3,当点F在平行四边形 ABCD的对角线 血或D?的延长线上时，FQ、FR= FS、FT是否21 .已知：如图， AABC中，AB = AC, AD是中线，P是AD上一点，过 C作CF/ AB,延长2BP 交 AC于 E,

9、交 CF于 F.求证：BP = PE- PF .22 .如图，已知 AABC中，AD, BF分别为BC, AC边上的高，过 D作AB的垂线交 AB于E,交BF于G, 交AC延长线于Ho求证：DE2=EG?EH23 .已知如图，P为平行四边形 ABCD的对角线AC上一点，过P的直线与AD、BC CD的延长线、AB的 延长线分别相交于点 E、F、G、H.求证:PE PH24 .已知，如图，锐角 4ABC中，ADXBC于D, H为垂心（三角形三条高线的交点）；在AD上有一点P,且/BPC为直角. 求证：PD = AD-DH。ED的延长线交CAED的延长线与 CB的延长六、相似之等积式类型综合25 .

10、已知如图，CD是RHABC斜边AB上的高，E为BC的中点, 于F。求证：上二？F二上二二F26如图，在RtABC中，CD是斜边AB上的高，点 M在CD上，DHLBM且 与AC的延长线交于点 E.求证：(1)4AEgCBM;(2)乩7谶=修327 .如图，4ABC是直角三角形， ZACB=90)°, CD± AB于D, E是AC的中点, 线交于点F.(1)求证：EEP = FR.EC.(2)若G是BC的中点，连接 GD, GD与EF垂直吗？并说明理由.28 .如图，四边形ABCD DEFG都是正方形，连接AE、CG,AE与CG相交于点 M , CG与AD相交于点N.求 证：的

11、-口N=5MN .29 .如图，BDk CE分别是 ABC的两边上的高，过 D作 DG± BC于G,分别交CE及BA的延长线于.2F、H。求证：(1) DG=BG, CG (2) BG, CG= GF- GH七、相似基本模型应用30/ABC和 DEF是两个等腰直角三角形，/A=/D=90°, ADEF的顶点E位于边BC的中点上.(1)如图1,设DE与AB交于点 M, EF与AC交于点 N,求证：BEMsCNE;/(2)如图2,将4DEF绕点E旋转，使得 DE与BA的延长线交于点 M, EF与AC 交于点N,于是，除(1)中的一对相似三角形外，能否再找出一对相似三角形 并证明

12、你的结论.31.如图，四边形 ABCD和四边形ACED都是平行四边形，点 R为DE的中点，BR分另U交AC、CD于点P、Q.(1)请写出图中各对相似三角形(相似比为 1除外)；(2)求 BP: PQ: QR.32.如图，在 ABC中，AD± BC于 D, DE，AB于 E, DF，AC于 F。求证:AEAFAC.t=1 ,此时 CE=3DE=3+3-5=1如图当点D在点E左侧，即:DE EGDE8 4BCA,此时 一BC CA答案：1.答案：解：（1） . /ACB=90, AC=3, BC=4AB=5X AD=AB, AD=5t0 三 t 三?时，DE=3t+3-5t=3-2t .

13、2若4DEG与4ACB相似，有两种情况:一一DE EGDE8 4ACB,此时AC如图，当点 D在点E右侧，即：t不时，DE=5t-(3t+3)=2t-3 .若4DEG与4ACB相似，有两种情况：DE EG DE8 ACB,此时=,Ji C-L.Dt=rDE _ SG 蕊一演, t=E.6% 3 2即：求得: A DEG A BCA,此时342/-3 2即：巴二E,求得:433 9 17综上，t的值为/或上或二或L.4 6 463.答案：解：（1）证明： AD=CD Z A= Z ACD. DE平分/CDB交边BC于点EZ CDE=Z BDEZ CDB为ACDB的一个外角Z CDB=Z A+Z

14、ACD=2Z ACD Z CDB=Z CDE+Z BDE=2Z CDEZ ACD=Z CDEDE/ AC/ NCE土 MBE EMXBD, ENXCD, ABMEACNE,如图A D I B Z NCE=Z MBEBD=CD又 Z NCE吆 ACD=Z MBE+Z A=90Z ACD=Z AAD=CDAD=BD=AB2.在 RtABC中，Z ACB= 90 ； AC=6, BC=8AB=10AD=5 Z NCE=Z MEB EMXBD, ENXCD,ABMEAENC,如图 Z NCE=Z MEBEM / CD CDXAB.在 RtaABC中，NACB=90 ； AC=6, BC=8AB=10.

15、 /A=/A, /ADC=/ ACB AACD AABC AD他. =AC ABm AC1 6318AB W，一，.18 . A 一八一，综上：AD=5或一时，ABME与ACNE相似.54 .答案：解（1）由题意：AP=4x, CQ=3x, AQ=30-3x, 0-5 AP _ AQ 皿_303汽当 pq/ BC 时，AC ,即：203010解得： ;40（2）能，AP= 9 cm 或 AP=20cmAP AQ % 30-3aAPQsCBQ,则C 品,即工° 玄 解得：工=5或工=10 （舍）此时：AP=" cmAP AQ3。-3 人APQsCQB,则 0口 C* ,即 3

16、K *10解得： 9 （符合题意）40此时：AP= " cm40故AP= 9 cm或20cm时，4APQ与 CQB能相似.5 .答案：解：设运动时间为 t,则 DQ=t, AQ=6-t, AP=2t, BP=12-2t.（1）若QAP为等腰直角三角形，则 AQ=AP,即：6-t=2t, t=2 （符合题意） ，t=2时，4QAP为等腰直角三角形.（2） /B=/ QAP=90 AQ _AP 6T _ N当QA24ABC时，工* 舌。，即：126 ,6£ =解得： 5 （符合题意）；AP AQ 2E当PAgABC 时，,即：126 ,解得：£ : 3 （符合题意）.

17、6£ =当 或时，以点Q、A、P为顶点的三角形与 4ABC相似.6.答案：解：分两种情况第一种情况，图象经过第一、三象限过点A作AB，OA,交待求直线于点 B,过点A作平行于y轴的直线交x轴于点C,过点B作BD）± AC 则由上可知： OAB=ZOCA=ZD =90。由双垂直模型知： OC2 ADBPC _ AC _ 0A 二一 A （2, 1） , 4GB =45 °OC= 2, AC= 1, AO=ABAD=OC= 2, BD= AC= 1 .D点坐标为（2,3） .B点坐标为（1, 3）此时正比例函数表达式为：y = 3x第二种情况，图象经过第二、四象限过点

18、A作AB, OA,交待求直线于点 B,过点A作平行于x轴的直线交y轴于点C,过点B作BD）± AC 则由上可知： OAB=ZOCA=ZD =90。由双垂直模型知： OC2 ADBPC _ AC _ 0A一 二 A （2, 1） ,=45 °OC= 1, AC= 2, AO=ABAD=OC= 1 , BD= AC= 2 .D点坐标为（3, 1） .B点坐标为（3, - 1）1此时正比例函数表达式为：y = 3 xE二口7 .答案：解：情形一:年正二当上di白=90连接CD,过点D作AC边上的高线DE 交CA的挺快 线于典E.,: *钳=34* SC=A* BG"二-

19、 _dCB=9Q 二又QELf 2月引？力等密直角三角形，丁3CB=_E=对 1 j£H_EQ=90： »及"一上扛>=90：-上宜中仁=_ m 二"仞当汉如./. AE=BC=2 DE=HC=5丁在 &3DEC 中,CZ> Jr-KE二=jV15 .一a情形二：C BF=诃，氏 *重接8,过点小作HC边上的富展好.交CB的逑芸境于点出二S 展BC-2./.UCH-典'又二DJCF.上H3Q为等皆百整三需形., HD=AB. -dC&ijF*9。' . SC-FmA 90T * _ 笈4二一二430-90 =

20、/.一且4C-FfiD-二 LDB-CBA:.DF-HC=2. BFC4#二在 R:一DFC 中.CA，FSyF二，,若垄，三二时工-连接8，过点D作例:过上我高缎DR交6的 迤长线于卢M 过户一4卞直线PD边上的高建一4 交也于点G< 钻=二点* ac“ 5。:3，/. AC2+BC2-ABF ZCff-90D *又; DE-CEt ”即为等震直角三角形-:、ad=bd zr p= g(r , .A0&y二 QqA 90 : 40£U-/BD尸=90" A/.aD=_BDPy:.二0«门至 岂户门吊，二 AQ=DP DQ=BP-8.答案：证明：方法

21、方法二：如图,过M作MDAB于D,过N作NE，AB于E人加0由双垂直模型，可以推知 PMDsNPE,则二:PR连接PC,过点 P作PD± AC于D,贝U PD/BC 根据折叠可知MNLCP - 2 2+P PCN=90 ,° / PCN+Z CNM=90. / 2= Z CNM / CDP=Z NCM=90 ° . PDC MCN. MC: CN=PD DCPD=DA. MC： CN=DA DC PD/BC. DA: DC=PA PB. MC： CN=PA PBPD _ PM砺一两根据等比性质可知MD PD FM 丁=,而 MD=DA, NE=EB PM=CM,

22、PN=CN, . . MC: CN=PA PB FE t NE PN9.答案：A解题思路：如图过点D作AB的平行线交BC的延长线于点 M,交x轴于点N,则/ M= / DNA=90 , 由于折叠，可以得到 ABCADC,又由B (1, 3)/ CDA=Z B=90 .BC=DC=1 AB=AD=MN=3 / 1+/ 2=90 ° / DNA=90 °Z 3+Z 2=90 °/ 1=7 3ADMCAAND, CM DM CD 1 一西一国一石一百 设 CM=x,则 DN=3x, AN=1 + x, DM = 与1以 .3x+ =34x=过点C作x轴的平行线交y轴于G

23、,过点D作y轴的平行线交x轴于F,交GC的延长线于E。 直线y= - 2x+ 2与坐标轴交于 A、B两点 A (1,0), B (0,2)OA=1, OB=2, AB=5 . AB: BC=1:2BC=AD= / ABO+Z CBG=90 ,° / ABO+Z BAO=90 °/ CBG=Z BAO又 / CGB4 BOA=90 . OABsGBCQA GS 1 - ZZ 二一 CB GC 2.GB=2, GC=4GO=4C (4,4)同理可得 ADFsBAO,得QA DF1=二一.DF=2, AF=4-. 0F=5.'. D (5,2)OB AF 211.答案：证

24、明：(方法一)如图延长AE至I M使得EM=AE,连接CM,. BE=CE Z AEB=Z MECABE/ A CEM. CM=AB, Z 1 = Z BAB / CMZ M=Z MAD, Z MCF=Z ADF AMCF AADFCF _CM,. CM=AB, AD=ACCF _ CM AB . DFWAC（方法二）过D作DG/ BC交AE于G则AB&MDG, ACEFADGFAB _ BE CF _ CSv AD=AC, BE=CECF5F12.答案:BE AB过点D作DF/ AB交AC的延长线于点 F,则/ 2=/ 3. AC 平分 Z DABZ 1 = Z 2Z 1 = Z 3

25、AD=DF . /DEF=/BEA, Z2=Z3ABEAA DEFBE _A8 AD=DFBE _ AB.AC为AB、AD的比例中项，一上一AD _ AC即.L 一又/ 1 = 72AACD AABCAD _ AC _ CDBC2 _ BE13.答案：解：EF = -一- it 4-1证明:过点E作PQ/ BC分另IJ交BA延长线和DC于点P和点Q AB / CD, PQ/ BC四边形PQCB和四边形EQCF是平行四边形PB= EF= CQ,DQ_DEIF又ABnb, CD= aAP= PB-AB= EF-b, DQ= DC-QC= a-EF：. -工 -EF =i-rl14.答案：解:连接M

26、F. M是AC的中点，EF= FCr1 .MF/AE 且 MF= -AE.1.ABENABFM.-. BN: BM = BE: BF= NE: MFBE= EF，BN: BM=NE: MF 2= 1:2, BN： NM = 1:1 设 NE= x,则 MF = 2x, AE=4x. AN= 3x / MF/ AE.'. ANAQAMFQ/. NQ： QM=AN: MF=3:2BN: NM= 1:1 , NQ: QM=3:2，BN: NQ: QM = 5:3:215.答案：证明：（1）氨1如图1, AD、BE为 ABC的中线，且 AD> BE交于点 O过点C作CF/ BE,交AD的

27、延长线于点 F CF/ BE且E为AC中点/ AEO= / ACF / OBD= / FCD, AC= 2AE / EAO= / CAFAAEO AACFSO _AE.- 一二. D 为 BC的中点，/ ODB= / FDCABODACFDBO=CFEQ A一二BO _2.同理，可证另外两条中线三角形顶点到重心的距离等于该顶点对边上中线长的如图2, AD为 ABC的角平分线过点C作AB的平行线CE交AD的延长线于E贝U / BAD=Z E,AD为 ABC的角平分线/ BAD=Z CAD/ E=/CADAC= CE CE/ ABABAD ACEDAB _ BD，二二".SAB _ BD

28、二则四边形 MDPB和四边形NDQC均为平行四边形且 4DPQ等边三角形.BP+CQ= MN, DP=DQ=PQM、N分别是边 AB, AC的中点MN =2 BC= PQ. DP/AB, DQ / ACACDPACFB BDQ BECDP _ CP DQ_ BQ，市二府，否二菽DP DQ CP 8Q _SC + PQ _3 DP= DQ= PQ= - BC= - AB1113+ - 2 AB ( CE ) = 2二十二了一二17 .答案：证明： EF/AB, AB/DC EF/DC. .AO&MCD, DOE DBAEQ _AE EO _ DE，近二诟，而二赤EQ EO AE DE .

29、+ = +=.-上-二二11 _ 1.，二一匚二18 .答案：证明：EF/ CD, EH / AB .小皿,"EH=" -4=4 _三二二二3 二t, ?AAFEAADC, ACEHACABAE _ EF CE _ EH而二五 AC=AB ? EF= EH产 _EF 理 UE +AE+=一二-政19.答案：证明： EF/ AC, DE/ BC “FERCH, /蒸。=43。, ?ABFEABCA, AEDAABCBE _ EF DE _AE,ZT茄，元二冠EF 产 BE 产 _ 儿BE _ .工？+就一商十下一月二 一 EF= DE= a1 1 _ 120 .答案：(1)证

30、明：在平行四边形 ABCD中，AD/ BC, / DRP=/ S, / RDB之 DBS ADRPA BSP FR DP =，匚；匚L同理由AB/ CD可证PTgPQBPT _ DP 二”PR PT(2)证明：成立，理由如下：在平行四边形 ABCD中，AD / BC,Z PRD=Z S, Z RDP之 DBSADRPA BSPPR _ DP同理由 AB/ CDMffiAPTDAPQBPT_DP_.PQPPR _ PT. 'PSPQ,FQ FR=PS FTB D21 .答案：证明：V AB=AC, AD 是中线，AD±BC,BP=CPZ 1=Z2又 Z ABC=Z ACBZ 3

31、=Z4, CF/ ABZ 3=Z F/ 4=Z F 又 Z EPCW CPF EPS CPF理二些PC PF bP=PE，PF |即证所求22 .答案：证明：.DUAB/两。门十/7?口心=90。.EAD+ZDBA Qn。.= yu. AEDDBA. BED=ZDEA：.AADEA DBEAS _ DE.而一诟DE2=J-BF± ACHGF+H = 90.BGE-ZEBG _ Qn 日 ABGE=ZHGF 一 <?U I L. N酩矢NH；ABED=ZDEA：.A BEG A HEABEEGEHAE.应 BE =DE2=EG&bull;EHG D23.答案：证明:四边形

32、ABCD为平行四边形 .AB/ CD, AD/ BC/ 1 = Z2, / G=Z H, / 5=/ 6APAHA PCGPH PA. PG =7c又/ 3=/4AAPEACPFPE FA- =PE _ PH24.答案：证明：如图，连接 BH交AC于点E,B D CH为垂心 BEX AC / EBC-+Z BCA=90 ° ADXBCT D / DAC+Z BCA=90 °/ EBC=Z DAC又 / BDH=Z ADC=90ABDH AADCBD _ AD. DH DC ,即 SD - DC - AD- DH ./ BPC为直角，AD± BC，PD2= BD&a

33、mp;middot;DC PD2= AD&middot;DH25 .答案：证明： CD> RtA ABC斜边AB上的高，E为BC的中点CE=EB=DE/ B=Z BDE=Z FDA / B+Z CAB=90 ,° / ACD+Z CAB=90 °/ B=Z ACD/ FDA=Z ACD / F=Z F. "DAs FCDFD_AD匚一二 / ADC=Z CDB=90 ； / B=/ACDAACD ACBDAD _ AC，二二-工CFD _ AC即二尸26 .答案：证明：（1） Z ACB= Z ADC= 90°/ A+ / ACD= 90

34、°/ BCM+ /ACD= 90 °/ A= / BCM同理可得： /MDH=/MBD / CMB= / CDB+ / MBD= 90 % / MBD/ ADE= / ADC+ / MDH = 90 °+ Z MDH/ ADE= / CMBAAEDACBMAE AD由上问可知：CB CM ,即ASCMmCE故只需证明AC CDAD CS ipm. /A=/A, /ACD=/ABCAACD AABCAD_CD，而二就，即工，7七FD_FB_27 .答案：（1）将结论写成比例的形式，F口 ,可以考虑证明 FDBsFCD （已经有一个公共角/F）鼻ACD中，E是AC的中点DE=AEZ A= Z ADE / ADE=Z FDB/ A=/ FDB而 /