§3.2周期信号傅里叶级数分析

1、3.2周期信号傅里叶级数分析主要内容三角函数形式的傅氏级数三角函数形式的傅氏级数 指数函数形式的傅氏级数指数函数形式的傅氏级数两种傅氏级数的关系两种傅氏级数的关系 频谱图频谱图函数的对称性与傅里叶级数的关系函数的对称性与傅里叶级数的关系周期信号的功率周期信号的功率傅里叶有限级数与最小方均误差傅里叶有限级数与最小方均误差一三角函数形式的傅里叶级数 tntn11sin,cos 是一个完备的正交函数集是一个完备的正交函数集t在一个周期内，在一个周期内，n=0,1,. 2112cossin0TTntmdt2112,coscos20,TTTmnntmt dtmn2112,sinsin20,TTTmnnt

2、mt dtmn由积分可知由积分可知1.三角函数集 1112 , , TTtf 基波角频率为基波角频率为周期为周期为周期信号周期信号在满足在满足狄氏条件狄氏条件时，可展成时，可展成 1 sincos)(1110 nnntnbtnaatf 直流分量直流分量 TttttfTa00d)(10余弦分量的幅度余弦分量的幅度 TttnttntfTa00dcos)(21 正弦分量的幅度正弦分量的幅度 TttnttntfTb00dsin)(21 称为三角形式的傅里叶级数，其系数称为三角形式的傅里叶级数，其系数2级数形式狄利克雷（Dirichlet）条件条件条件3:3:在一周期内，信号绝对可积。在一周期内，信号绝

3、对可积。条件条件2 2：在一周期内，极大值和极小值的数目应是有在一周期内，极大值和极小值的数目应是有限个。限个。条件条件1 1：在一周期内，如果有间断点存在，则间断点的：在一周期内，如果有间断点存在，则间断点的数目应是有限个。数目应是有限个。例1不满足条件不满足条件1 1的例子如下图所示，这个信号的周期为的例子如下图所示，这个信号的周期为8 8，它是这样组成的：后一个阶梯的高度和宽度是前一个阶它是这样组成的：后一个阶梯的高度和宽度是前一个阶梯的一半。可见在一个周期内它的面积不会超过梯的一半。可见在一个周期内它的面积不会超过8 8，但，但不连续点的数目是无穷多个。不连续点的数目是无穷多个。 tf

4、O18 t821例2不满足条件不满足条件2 2的一个函数是的一个函数是 10,2sin tttf tfO11 t1对此函数，其周期为对此函数，其周期为1 1，有，有 1d10 ttf在一周期内，信号是绝对可积的在一周期内，信号是绝对可积的(T1为周期为周期) TttfTd1 100d)(Tttttf TTtnnttfTttfTFd1de11j 说明与平方可积条件相同，这一条件保证了每一系数与平方可积条件相同，这一条件保证了每一系数Fn都都是有限值，因为是有限值，因为 nF例3周期信号周期信号 ，周期为，周期为1 1，不满足此条件。，不满足此条件。 10,1 tttf tfO121 2 t1例3

5、-2-1求周期锯齿波的三角函数形式的傅里叶级数展开式。求周期锯齿波的三角函数形式的傅里叶级数展开式。 22110110d1TTttTATa 22111110dcos2TTnttntTATa 2211111dsin2TTnttntTATb 3 , 2 , 1 )1(1 nnAn周期锯齿波的傅里叶级数展开式为周期锯齿波的傅里叶级数展开式为 tAtAtf112sin2sin0 22 )(111TtTtTAtf直流直流基波基波谐波谐波t tfA/2/221T21T 112T 其他形式00ac 22nnnbac nnnabarctan nnnca cos nnncb sin 余弦形式余弦形式正弦形式正弦

6、形式00ad nnnabarctan nnnda sin nnndb cos 110sin)(nnntnddtf 22nnnbad 2 cos)(110 nnntncctf 关系曲线称为幅度频谱图；关系曲线称为幅度频谱图；关系曲线称为相位频谱图。关系曲线称为相位频谱图。可画出可画出频谱图。频谱图。周期信号频谱具有周期信号频谱具有离散性、谐波性、收敛性离散性、谐波性、收敛性 。 nc n幅度频率特性和相位频率特性的的线线性性组组合合。基基波波角角频频率率的的整整数数倍倍）（）和和各各次次谐谐波波，基基波波（周周期期信信号号可可分分解解为为直直流流:11 n二指数函数形式的傅里叶级数1 1复指数正

7、交函数集复指数正交函数集 2, 1, 0 e1j ntn 2 2级数形式级数形式3 3系数系数 111110jj0j1deede)()(TtntnTtntttfnF 4 e)()(1j1tnnnFtf 5 de )(1110j TtnttfT 利用利用复变函数的正交特性复变函数的正交特性nF 也可写为也可写为说明 变换对。变换对。式是一对式是一对、惟一确定，惟一确定，则，则如给出如给出)5()4()(1tfnF 的线性组合。的线性组合。区间上的指数信号区间上的指数信号周期信号可分解为周期信号可分解为tn1je, 4 e)()(1j1tnnnFtf 5 de)(1110j1 TtnttfTnF

8、三两种系数之间的关系及频谱图 TtnttfTnF0j1de )(1)(1 TTttntfTttntfT0101dsin)(1jdcos)(1 nnbaj21 TTttntfTttntfTnF01011dsin)(1jdcos)(1)( nnbaj21 nnFnF j11e)( 是是复复数数)(),(11 nFnF nnncbanF2121)(221 相频特性相频特性 nnnabarctan 幅频特性和相频特性幅频特性幅频特性 的的奇奇函函数数关关于于的的偶偶函函数数关关于于取取正正值值）的的奇奇函函数数（实实际际关关于于取取正正值值）的的偶偶函函数数（实实际际关关于于 )( 11nnFnbna

9、nn1 13 nc0c1c3cO1 13 n O 频谱图幅度频谱幅度频谱相位频谱相位频谱离散谱，谱线离散谱，谱线曲线曲线或或 nnFc曲线曲线 n请画出其幅度谱和相位谱。请画出其幅度谱和相位谱。例3-2-210 c00 236. 251 c 15. 01 12 c 25. 02 化为余弦形式化为余弦形式三角函数形式的频谱图三角函数形式的频谱图，已知已知 42coscos2sin1)(111ttttf 42cos)15. 0cos(51)(11tttf 三角函数形式的傅里叶级数的谱系数三角函数形式的傅里叶级数的谱系数 1 1c0c2c12 O24. 211nc12 25. 015. 0 O1 n

10、 化为指数形式 4j24j2jjjj111111ee21ee22eej211)(tnttttttf tttttf11112j4j2j4jjjee21ee21ej211ej2111)( tnnnF1j221e)( 1)0( F 15. 0j1e12. 1j211 F 15. 0j112. 1j211eF 4j1e212 F 4j1e212 F整理整理指数形式的傅里叶级数的系数指数形式的傅里叶级数的系数谱线1)0(0 FF12. 1)(11 FF12. 1)(11 FF5 . 0)2(12 FF5 . 0)2(12 FF00 15. 01 15. 01 25. 02 25. 02 指数形式的频谱图

11、指数形式的频谱图12 5 . 0O1 1 12. 112 12. 15 . 01 1 nF12 25. 0 15. 0 O1 1 15. 012 25. 0 n 三角形式与指数形式的频谱图对比1 1c0c2c12 O24. 211nc12 5 . 0O1 1 12. 112 12. 15 . 01 1 nF12 25. 0 15. 0 O1 1 15. 012 25. 0 n 三角函数形式的频谱图三角函数形式的频谱图指数形式的频谱图指数形式的频谱图12 25. 0 15. 0 O1 n 四总结（1）周期信号）周期信号f(t)的傅里叶级数有两种形式的傅里叶级数有两种形式（3）周期信号的频谱是离散

12、谱，三个性质）周期信号的频谱是离散谱，三个性质（2）两种频谱图的关系）两种频谱图的关系（4）引入负频率）引入负频率(1)周期信号f(t)的傅里叶级数有两种形式三角形式三角形式指数形式指数形式 1110sincos)(nnntnbtnaatf tnnnFtf1j1e)()( 0001021)(acFncnFn (2)两种频谱图的关系)()( 11 nn 相相位位频频谱谱为为奇奇函函数数 nnc，三角函数形式：三角函数形式：单边频谱单边频谱 nnF，指数函数形式：指数函数形式：双边频谱双边频谱关系关系)()( 11 nFnF 偶偶函函数数指指数数形形式式的的幅幅度度频频谱谱为为(3)三个性质 的谱

13、线唯一的谱线唯一惟一性：惟一性：处处现在现在（离散性），频率只出（离散性），频率只出谐波性：谐波性：收敛性：收敛性：)(,11tfnnFn 注意：注意：冲激函数序列的频谱不满足收敛性冲激函数序列的频谱不满足收敛性周期单位冲激序列的频谱 1 nFOT11 12 12 1 TttTnFTTtn1de122j11 tnnTTttf1je1)()( 分析：分析：狄氏条件狄氏条件是傅里叶级数存是傅里叶级数存在的充分条件。根据冲激信号的在的充分条件。根据冲激信号的定义和特性，其积分有确定值，定义和特性，其积分有确定值，傅里叶级数存在。即傅里叶级数存在。即为为整整数数nnTttnT )()( 满足离散性，谐

14、波性，不满足收敛性，频带无限宽。满足离散性，谐波性，不满足收敛性，频带无限宽。tO tT TT 1 (4)引入负频率对对于于双双边边频频谱谱，负负频频率率)(1 n，只只有有数数学学意意义义，而而无无物物理理意意义义。为为什什么么引引入入负负频频率率? ? 的的实实函函数数的的性性质质不不变变。，才才能能保保证证和和数数，必必须须有有共共轭轭对对是是实实函函数数，分分解解成成虚虚指指)(ee11jjtftfnn 五函数的对称性与傅里叶级数的关系偶函数偶函数奇函数奇函数奇谐函数奇谐函数偶谐函数偶谐函数注：指交流分量注：指交流分量1偶函数为实函数。为实函数。项。项。项，只含直流项和余弦项，只含直流

15、项和余弦傅里叶级数中不含正弦傅里叶级数中不含正弦)(1 nF信号波形相对于纵轴是对称的信号波形相对于纵轴是对称的)()(tftf )(tfOtTET 0 nb 2010dcos)(4TnttntfTa nnnnabanFF21j21)(1 0 n 2奇函数)()(tftf 对对称称的的：波波形形相相对对于于纵纵坐坐标标是是反反)(tfOtTT 11 为虚函数。为虚函数。量，量，傅里叶级数中无余弦分傅里叶级数中无余弦分)(1 nF 0= d)(1 220 TTttfTa 0dcos)(2221 TTnttntfTa TnttntfTb01dsin)(2 nnnnbbanFFj21j21)(1 2

16、010dsin)(4TttntfT 0 6 , 4 , 2 nnban时时3奇谐函数 201dcos)(4 5 , 3 , 1TnttntfTan 时时 201dsin)(4TnttntfTb f(t)的傅氏级数偶次谐波为零，即的傅氏级数偶次谐波为零，即)(tfOtTT 2T 2)(Ttftf若波形沿时间轴平移半个周若波形沿时间轴平移半个周期并相对于该轴上下反转，期并相对于该轴上下反转，此时波形并不发生变化：此时波形并不发生变化：00 a 21Ttftf112T 4偶谐函数 20111dsin)(4TnttntfTb 0 5 , 3 , 1 nnban时时当当 20111dcos)(4 6 ,

17、 4 , 2TnttntfTan 时时当当f(t)的傅氏级数奇次谐波为零，只有偶次谐波分量的傅氏级数奇次谐波为零，只有偶次谐波分量)(tfOt1T1T 21T 21T称为偶谐函数。称为偶谐函数。与原波形重合，与原波形重合，波形移动波形移动21T 六周期信号的功率这是帕塞瓦尔定理在傅里叶级数情况下的具体体现这是帕塞瓦尔定理在傅里叶级数情况下的具体体现; ;表明：表明： 周期信号平均功率周期信号平均功率= =直流、基波及各次谐波分直流、基波及各次谐波分量有效值的平方和；量有效值的平方和； 也就是说，时域和频域的能量是守恒的。也就是说，时域和频域的能量是守恒的。 绘成的线状图形，表示绘成的线状图形，表示 各次谐波的平均功各次谐波的平均功率随频率分布的情况，称为功率谱系数。率随频率分布的情况，称为功率谱系数。 2nF nnnnnnnFcabaa21220122202121 TttfTP02d)(1证明对于三角函数形式的傅里叶级数对于三角函数形式的傅里叶级数 1110sincos)(nnntnbtnaatf 平均功率平均功率 ttnbtnaaTttfTPTnnnTdsincos1d)(120111002 122