直线方程与两条直线的位置关系教师版

1、同步训练宜线方程与两条宜线的位置关系8一、基础知识（一）、两条直线的位置关系1、当直线方程为 11 : y = k1x +b1> l2 : y = k2x十b2时,若 11 II 12,则 k1 =k2且 b1 b b2 ;若 11、12重合,则 k1 =k2且b =b2 ;若 11 1 12,则 k1 k2 = -1.2、当两直线方程为 11 : Ax + B1y+C1 =0、12 ： A2x + B2y+ C2 =0时,若 11 / 12,则 AB2 =A2B1 且AC2wA2c1;或 B1c2wB2c1,若 11、12重合，则 AB2 = A2B1 且AC2 = A2c1 且B1C

2、2 = B2c1 ；若 11 1 12 ,A1A2 +B1B2 =0.（二）、点到直线的距离、直线到直线的距离1、点 P仅o,yo 倒直线 Ax+By+c =0 的距离为：d = AX0 + By0£,A2 B22、当11 / 12,且直线方程分别为11 : Ax + By+c1 =R L : Ax +By+ c2 = 0时，两直线间的距离为:c1 -c2，A2B2（三）、两直线的交点两直线的交点的个数取决于由两直线组成的方程组的解的个数（四）、对称问题1、中心对称：设平面上两点P（x, y和P1（x1, y1 ）关于点A（a, b ）对称，则点的坐标满足：詈=a,三山若一个图形与另

3、一个图形上任一对对应点满足这种关系，那么这两个 图形关于点A对称.2、轴对称：(1)设平面上有直线l : Ax + By+C =0和两点P(x, y) Px-yj 若满足下列两个条件：PPL直线l ;PP的中点在直线l上，则点P、P1关于直线l对称；若一个图形与另一个图形上任意一对对应点满足这种关系，那么这两个图形关于直线 l对称.(2)对称轴是特殊直线的对称问题：对称轴是特殊直线的对称问题可直接通过代换求解：关于x轴对称，以-y代y;关于y轴对称，以-x代x； 关于直线丫 = 乂对称，x、y互换；关于直线x + y =0对称，以-x代y ,同时以-y代x;关于直线x=a对称，以2a-x代x;

4、关于直线y=b对称，以2b-y代y；(3)对称轴是一般直线的对称问题，可根据对称的意义，由垂直平分列方程找到坐标之间的关系：设点 P(x1，yi) Q%, y2 )关于直线 l : Ax + By+C =0(AB# 0)对称x2 - xAA 守 Bl C二°二、基本题型(一)平行与垂直【例1 1】直线l过点( 1,2)且与直线2x3y + 4 = 0垂直，则l的方程是( )A. 3 x+2y1=0B. 3x + 2y+7=0C. 2 x3y + 5 = 0D. 2x 3y+8=03【解析】由直线l与直线2x3y + 4 = 0垂直，可知直线l的斜率是2,3一由点斜式可得直线l的万程为

5、y2= 2(x+1),即3x + 2y1 = 0。故选答案：A。【例12】已知直线li :（a+1X + y2 = 0与直线I2 : ax + （2a + 2»+ 1 = 0互相垂直，则实数a的值为（B ）A. -1 或 2 B. -1 或-2 C. 1 或 2 D. 1或-2【例1一3（2011广东）过点P（1,2）且方向向量为3 =（-1,2）的直线方程为（A ）A. 2x y=0 B. x2y 5=0 C. x _ 2y=0 D. x 2y 5 = 0【例14】已知过点A 2, m）和B（m,4）的直线与直线2x + y1=0平行，则m的值为（B ）A. 0B. 8 C. 2D

6、. 10【例1一5（2008南京）与直线3x+4y+5=0的方向向量共线的一个单位向量是（D ）A. 0,4） B.（4, 一3） C.（|,4）D.（4"）【例16】直线2x y 2=0绕它与y轴的交点逆时针旋转-y所得的直线方程是（D ）A. x2y + 4 = 0B. x+2y 4=0C. x2y 4 = 0D. x+2y + 4=0【练习11】过点P（-1,3）且垂直于直线x-2y+3 = 0的直线方程为（）A. 2x+y1=0 B . 2x + y5=0 C . x + 2y5 = 0 D . x 2y + 7 = 0【练习1 2】已知过点A（-2,m）和B（m,4）的直线

7、与直线2x + y-1=0平行，则m的值为（）A. 0B, -8C, 2D. 10【练习1 3】两条直线y =ax-2和y =（a + 2）x+1互相垂直，则a等于（）A. 2B. 1C.0D.1【练习1 4】已知点A（1,2）, B（3,1）,则线段AB的垂直平分线的方程是（）A. 4x+2y=5 B .4x-2y=5C .x+2y = 5 D .x-2y = 5【练习1 5】直线xcosH +ysin日+a =0与xsin日一 ycos日+b = 0的位置关系是（）A.平行B .垂直C .斜交D .与a,b,日的值有关【练习1 6(1)经过点A(3,2)且与直线4x + y2=0平行的直线

8、方程为 (2)经过点B (3, 0)且与直线2x + y 5=0垂直的直线方程为 。(二)两直线的交点：【例21】求点P= (-1 , 2)到直线3x=2的距离。【例22】求点P (2,-1 )到直线2x+3y-3=0的距离.【例23】已知点A (a, 6)至ij直线3x4y =2的距离d=4,求a的值【例24】已知两条平行线直线11和12的一般式方程为J Ax+By + C1=0,12 : Ax + By + C2 = 0 ,求证 11 与 12 的距离为 d = |C1 C2 | -，A2 B2【练习21】若直线m被两平行线1" x y+1 = 0与12： x y + 3=0所截

9、得的线段的长为2啦，则m的倾斜角可以是15°30°45°60°75°其中正确答案的序号是(写出所有正确答案的序号).【练习22】已知点(a,2)(a>0)到直线1 : x y + 3 = 0的距离为1,则a等于()A.啦B. 2-/C.V2- 1D.V2+ 1【练习23】两直线x y2=0与2x 2y+3= 0的距离为()A 52 7 2八 27A. 2B.才C."2"D<4【练习24】设两条直线白方程分别为x + y + a = 0, x + y+b = 0,已知a、b是方程x2+x +一一、，一一1c = 0

10、的两个头根，且0WC&G，求这两条直线之间的距离的最大值和最小值.8(三)两直线相交【例31】 直线mx-y+2m+1=0§过一定点，则该点的坐标是A (-2, 1)B(2, 1)C(1, -2)D(1, 2)【例32】若直线l ： y = kx1与直线x + y1=0的交点位于第一象限，则实数k的取值范 围是()A.(8,1) B.(°0,1C.(1,+oo) D .1 ,+ oo)【例33】若方程(2m2+m-3)x+(m2-m)y-4m+1=0表示一条直线，则实数 m满足()3 一3-A. m/0B. m0- C .m=1 D .m#1,m#,m#022【例3

11、4】直线kx-y+1 =3k ,当k变动时，所有直线都通过定点()A (0,0)B . (0,1)C . (3,1)D . (2,1)【例35】已知点A(2,3), B(-3,-2),若直线l过点P(1,1)与线段AB相交，则直线l的斜率k的取值范围是()3 3.3A. k 之一 B , - <k<2 C . k 之2或kWd. k <24 44、一一 1 一当0<k<时，两条直线kx-y=k-1、ky-x = 2k的父点在 象限.【练习311经过直线L : x-3y+4 = 0, L： 2x+y+5 = 0的交点，且过原点的直线方程【练习32】 求经过两直线11

12、: x2y+4=0, l2 ： x + y2=0的交点P,且与直线l3 :3x -4y +5 =0垂直的直线l的方程。【练习3-3】 求过点A(3, -4)的直线1使它与两坐标轴相交且与两轴所围成的三角形面积为5.1 1,一一【练习3-4】 若二点A(2,2) , B(a, 0) , C(0 , b)(abw0)共线，则-+ k的值等于 a b(四)对称问题【例41】直线ax+by+c=0关于直线y=x对称的直线方程是()A、bx-ay+c=0 B 、bx+ay+c=0C bx+ay-c=0 D 、bx-ay-c=0【例4一2 (2010 秦皇岛模拟)点P(3,4)关于直线x+y2=0的对称点

13、Q的坐标是()A. (2,1)B . (2,5) C . (2, 5) D . (4 , 3)答案：B解析：验证法，线段PQ的中点在直线x + y 2 = 0上，只有B答案满足.【例43】点(a, b)关于直线x + y+1=0的对称点是()A. ( a 1, b 1) B . ( b 1, a 1)C. ( a, b) D . ( b, a)答案：B【例44】已知直线1 : x+2y 2 = 0.(1)求直线11 : y = x 2关于直线1对称的直线12的方程； 求直线l关于点A(1,1)对称的直线方程.【练习4 1】(山东实验中学)如图，已知A(4,0)、B(0,4),从点P(2,0)射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到P点，则光线所经过的路程是()A. 2 10B. 6C. 3 3D. 2 5【练习4-2】直线l : 4x + 3y2=0关于点A(1,1)对称的直线方程