第八章相量法PPT课件

1、 第八章第八章 相量法相量法重点：重点：1、复数的运算、复数的运算2、正弦量的相量表示、正弦量的相量表示3、电路定律的相量形式、电路定律的相量形式+_RuLCi1. 问题的提出：问题的提出：+j+1Abar 0设设A为复数，其表示形式有为复数，其表示形式有:A =a + jbabarctan22bar复数的模复数的模复数的辐角复数的辐角式中式中:racosrbsin)sinj(cossinjcosrr rAsinjcosej 欧拉公式欧拉公式： rAje rrrjrbaA jesincosj rA l 复数复数A的表示形式的表示形式) 1(j为为虚虚数数单单位位 AbReIma0A=a+jbA

2、bReIma0 |A|jbajAeAAj )sin(cos| 2. 2. 复数的运算复数的运算| A jeAA| 复数两种表示法的关系：复数两种表示法的关系：A=a+jb A=|A|ej =|A| 直角坐标表示直角坐标表示极坐标表示极坐标表示 ab baAarctg| 22 或或 A b|A|asin|cos AbReIma0 |A|(1)(1)加减运算加减运算采用代数形式采用代数形式若若 A1=a1+jb1， A2=a2+jb2则则 A1A2=(a1a2)+j(b1b2)A1A2ReIm0图解法图解法(2) (2) 乘除运算乘除运算采用极坐标形式采用极坐标形式若若 A1=|A1| 1 ，A2

3、=|A2| 22121)j(212j2j1221121 | e|e|e| | |211AAAAAAAAAA 除法：模相除，角相减。除法：模相除，角相减。乘法：模相乘，角相加。乘法：模相乘，角相加。则则:2121)(212121 2121 AAeAAeAeAAAjjj例例1. ?2510475 )226. 4063. 9()657. 341. 3(2510475jj 569.047.12j 解解61. 248.12 例例2. ?5 j20j6)(4 j9)(17 35 220 解解2 .126j2 .180 原原式式04.1462.203 .56211. 79 .2724.19 16.70728

4、. 62 .126j2 .180 329. 6j238. 22 .126j2 .180 365 .2255 .132j5 .182 )(sinmtUu 设正弦量设正弦量:若若: :有向线段长度有向线段长度 = mU有向线段以速度有向线段以速度 按逆时针方向旋转按逆时针方向旋转则则: :该旋转有向线段每一瞬时在纵轴上的投影即表示该旋转有向线段每一瞬时在纵轴上的投影即表示相应时刻正弦量的瞬时值。相应时刻正弦量的瞬时值。有向线段与横轴夹角有向线段与横轴夹角 = 初相位初相位 1u1tu0 xy0mUut O 8.2 8.2 正弦量正弦量瞬时值表达式：瞬时值表达式：i(t)=Imcos( t+ )波形

5、：波形：tiO T正弦量为周期函数正弦量为周期函数 f(t)=f ( t+k kT T)周期周期T T ：重复变化一次所需的时间。：重复变化一次所需的时间。单位：单位：s s，秒，秒频率频率f f ：每秒重复变化的次数。：每秒重复变化的次数。周期周期T (period)和频率和频率f (frequency) :单位：单位：HzHz，赫，赫( (兹兹) )Tf1 l 正弦电路正弦电路激励和响应均为正弦量的电路（正弦激励和响应均为正弦量的电路（正弦稳态电路）称为正弦电路稳态电路）称为正弦电路（1 1）正弦稳态电路在电力系统和电子技术领域占）正弦稳态电路在电力系统和电子技术领域占有十分重要的地位。有

6、十分重要的地位。l 研究正弦电路的意义：研究正弦电路的意义：1 1）正弦函数是周期函数，其加、减、求导、正弦函数是周期函数，其加、减、求导、积分运算后仍是同频率的正弦函数积分运算后仍是同频率的正弦函数 优点：优点：2 2）正弦信号容易产生、传送和使用。正弦信号容易产生、传送和使用。（2 2）正弦信号是一种基本信号，任何变化规律复）正弦信号是一种基本信号，任何变化规律复杂的信号可以分解为按正弦规律变化的分量。杂的信号可以分解为按正弦规律变化的分量。)cos()(1knkktkAtf 对正弦电路的分析研究具有重要的理对正弦电路的分析研究具有重要的理论价值和实际意义。论价值和实际意义。)(sinmt

7、Uu设正弦量设正弦量:相量相量: 表示正弦量的复数称相量表示正弦量的复数称相量 UUeU j)(sinmtIi？= 非正弦量不能用相量表示。非正弦量不能用相量表示。 UeUUmjmm 或：或：IeImjm 相量图相量图: 把相量表示在复平面的图形把相量表示在复平面的图形)jsincos(ejUUUU 相量式相量式: 模模用最大值表示用最大值表示 ，则用符号：，则用符号：mmI U、 实际应用中，模多采用有效值，符号：实际应用中，模多采用有效值，符号：I U、如：已知如：已知)V45(sin220 tuVe220j45m UVe2220j45 U则则或或只有只有同频率同频率的正弦量才能画在同一相

8、量图上。的正弦量才能画在同一相量图上。 可不画坐标轴，参考相量画在水平方向。可不画坐标轴，参考相量画在水平方向。 IUj 旋转旋转 90因子：因子：j90sinj90cosej90 rAje +1+jo相量相量 乘以乘以 ， 将逆时针旋转将逆时针旋转90，得到，得到A 90jeBA相量相量 乘以乘以 ， 将顺时针旋转将顺时针旋转 90，得到，得到CA -j90eA1j ：虚数单位虚数单位ABC)A30(sin24 t？Ae4j30 I)A60(sin10ti？V100 U？Ve100j15 U？ 1.已知：已知：A6010 IV15100 U(1)(1)幅值幅值 (amplitude) ( (

9、振幅、振幅、 最大值最大值) )Im(2) (2) 角频率角频率(angular frequency)2. 2. 正弦量的三要素正弦量的三要素tiO T(3) (3) 初相位初相位(initial phase angle) ImTf 22 单位：单位： rad/s ，弧度，弧度 / 秒秒反映正弦量变化幅度的大小。反映正弦量变化幅度的大小。相位变化的速度，相位变化的速度， 反映正弦量变化快慢。反映正弦量变化快慢。 反映正弦量的计时起点，反映正弦量的计时起点，常用角度表示。常用角度表示。 i(t)=Imcos( t+ )同一个正弦量，计时起点不同，初相位不同。同一个正弦量，计时起点不同，初相位不同

10、。ti0一般规定一般规定：| | 。 =0 = /2 = /2例例已知正弦电流波形如图，已知正弦电流波形如图， 10103 3rad/srad/s，（1 1）写出）写出i(t)表达式；表达式；（2 2）求最大值发生的时间）求最大值发生的时间t t1 1ti010050t1解解)10cos(100)(3 tti cos100500 t3 由于最大值发生在计时起点右侧由于最大值发生在计时起点右侧3 )310cos(100)(3 tti有最大值有最大值当当 310 13 tmst047. 110331 3. 3. 同频率正弦量的相位差同频率正弦量的相位差 (phase difference)。设设

11、u(t)=Umcos( t+ u), i(t)=Imcos( t+ i)则则 相位差相位差 ： = ( t+ u)- - ( t+ i)= u- - i 0， u超前超前I 角，或角，或i 落后落后u 角角(u 比比i先到达最大值先到达最大值) )； 0， i 超前超前 u 角角，或或u 滞后滞后 i 角角,i 比比 u 先到达最大值。先到达最大值。 tu, iu i u i O等于初相位之差等于初相位之差规定：规定： | | (180)。 0， 同相：同相： = ( 180o ) ，反相：，反相：特殊相位关系：特殊相位关系： tu, iu i0 tu, iu i0= /2/2：u 领先领先

12、i /2/2, 不说不说 u 落后落后 i 3 /2；i 落后落后 u /2/2, 不说不说 i 领先领先 u 3 /2。 tu, iu i0同样可比较两个电压或两个电流的相位差。同样可比较两个电压或两个电流的相位差。例例计算下列两正弦量的相位差。计算下列两正弦量的相位差。)15 100sin(10)( )30 100cos(10)( )2(0201 ttitti )2 100cos(10)( )43 100cos(10)( )1(21 ttitti045)2(43 000135)105(30 )105100cos(10)(02 tti 解解解解)45 200cos(10)( )30 100c

13、os(10)( )3(0201 ttuttu )30 100cos(3)( )30 100cos(5)( )4(0201 ttitti )150100cos(3)(02 tti 不能比较相位差不能比较相位差21 000120)150(30 两个正弦量进行相位比较时应满足同频率、同函数、同符两个正弦量进行相位比较时应满足同频率、同函数、同符号，且在主值范围比较。号，且在主值范围比较。 解解解解4. 4. 周期性电流、电压的有效值周期性电流、电压的有效值 周期性电流、电压的瞬时值随时间而变，为周期性电流、电压的瞬时值随时间而变，为了衡量其平均效果工程上采用有效值来表示。了衡量其平均效果工程上采用有

14、效值来表示。l 周期电流、电压有效值周期电流、电压有效值(effective value)定义定义R直流直流IR交流交流ittiRWTd)(20 TRIW2 电流有效电流有效值定义为值定义为有效值也称均方根值有效值也称均方根值(root-meen-square)物物理理意意义义同样同样，可定义电压有效值：，可定义电压有效值：l 正弦电流、电压的有效值正弦电流、电压的有效值设设 i(t)=Imcos( t+ )ttITITd ) (cos1022m TtttttTTT2121d2) (2cos1d ) (cos 0002 mm2m707.0221 IITITI ) cos(2) cos()(mt

15、ItIti II2 m 同理，可得正弦电压有效值与最大值的关系：同理，可得正弦电压有效值与最大值的关系：UUUU2 21mm 或或若一交流电压有效值为若一交流电压有效值为U=220V，则其最大值为则其最大值为Um 311V； U=380V，则其最大值为则其最大值为 Um 537V。（1 1）工程上说的正弦电压、电流一般指有效值，）工程上说的正弦电压、电流一般指有效值，如设备铭牌额定值、电网的电压等级等。但绝缘水平、如设备铭牌额定值、电网的电压等级等。但绝缘水平、耐压值指的是最大值。因此，在考虑电器设备的耐压耐压值指的是最大值。因此，在考虑电器设备的耐压水平时应按最大值考虑。水平时应按最大值考虑

16、。（2 2）测量中，交流测量仪表指示的电压、电流读数）测量中，交流测量仪表指示的电压、电流读数一般为有效值。一般为有效值。（3 3）区分电压、电流的瞬时值、最大值、有效值的符号。）区分电压、电流的瞬时值、最大值、有效值的符号。注注jjej 2sin2cos,22 jjej)2sin()2cos(,22)(1)sin()cos(,)(jej故故 +j, j, - -1 都可以看成旋转因子。都可以看成旋转因子。几种不同几种不同 值时的旋转因子值时的旋转因子ReIm0II j I j I 设一个复函数设一个复函数)j(e2)( tItA对对A(t)取实部：取实部：i(t)tItA ) cos(2)(

17、Re 对于任意一个正弦时间函数都有唯一与其对应的复数函数对于任意一个正弦时间函数都有唯一与其对应的复数函数) j(2)( ) (c2tIetAtosIiA(t)包含了三要素：包含了三要素：I、 、 ，复常数包含了，复常数包含了I I , 。A(t)还可以写成还可以写成tteIItA jj2ee2)(j 复常数复常数) sin(2j) cos(2tItI 8.3相量法基础相量法基础 ) cos(2)(IItIti ) cos(2)(UUtUtu 称称 为正弦量为正弦量 i(t) 对应的相量。对应的相量。 II 相量的模表示正弦量的有效值相量的模表示正弦量的有效值相量的幅角表示正弦量的初相位相量的

18、幅角表示正弦量的初相位同样可以建立正弦电压与相量的对应关系：同样可以建立正弦电压与相量的对应关系：已知已知例例1 1试用相量表示试用相量表示i, u .)V6014t311.1cos(3A)30314cos(4 .141oo uti解解V60220A30100oo UI在复平面上用向量表示相量的图在复平面上用向量表示相量的图 IItosIti) (c2)(UUtosUtu ) (c2)( 例例2试写出电流的瞬时值表达式。试写出电流的瞬时值表达式。解解 A)15314cos(250 ti. 50Hz A,1550 fI已已知知l 相量图相量图 U I 相量的运算相量的运算(1) (1) 同频率正

19、弦量的代数和同频率正弦量的代数和同频正弦量相加减运算变成同频正弦量相加减运算变成对应相量的相加减运算。对应相量的相加减运算。)2(R) cos(2)()2(R) cos(2)( j2222 j1111tteUetUtueUetUtu )(2(R)22(R )2(R)2(R)()( )( j21j2j1j2j121ttttteUUeeUeUeeUeeUetututu U21UUU 可得其相量关系为：可得其相量关系为：例例V )60314cos(24)(V )30314cos(26)(o21 ttuttu也可借助相量图计算也可借助相量图计算V604 V 306o2o1 UUV )9 .41314c

20、os(264. 9)()()(o21 ttututu60430621 UUUReIm301U9 .41UReIm9 .41301U602UU46. 32319. 5jj 46. 619. 7j V 9 .4164. 9o 602U首尾相接首尾相接 （2 2） 正弦量的微分，积分运算正弦量的微分，积分运算 ) cos(2iiIItIi 2Re 2Re tjtjejIeIdtddtdi tjtjejIteIti 2Re d 2Red 微分运算微分运算:积分运算积分运算:2)(.iIIjdtdi微分的向量2)(i。IjIdtdi积分的向量相量运算小结：将正弦量用相量表示后，同频率正弦量的运算：加、减

21、、乘、除、微分、积分等，均可转变为相量的代数运算，结果仍是一个同频率的正弦量。相量的加减运算常用直角坐标式，乘除运算用极坐标形式或指数形式。1、同频率的正弦量的代数和等于各正弦量的相、同频率的正弦量的代数和等于各正弦量的相量相加量相加2、正弦量的微分是一个同频率的正弦量，其相、正弦量的微分是一个同频率的正弦量，其相量等于原正弦量的相量乘以量等于原正弦量的相量乘以j。3、正弦量的积分是一个同频率的正弦量，其相、正弦量的积分是一个同频率的正弦量，其相量等于原正弦量的相量除以量等于原正弦量的相量除以j。例例 ) cos(2)(itIti 1)( idtCdtdiLRituRi(t)u(t)L+- -

22、C用相量运算：用相量运算： CjIILjIRU 相量法的优点：相量法的优点：（1 1）把时域问题变为复数问题；）把时域问题变为复数问题；（2 2）把微积分方程的运算变为复数方程运算；）把微积分方程的运算变为复数方程运算；（3 3）可以把直流电路的分析方法直接用于交流电路；）可以把直流电路的分析方法直接用于交流电路；注注 正弦量正弦量相量相量时域时域 频域频域 相量法只适用于激励为同频正弦量的相量法只适用于激励为同频正弦量的非时变线性电路非时变线性电路。 相量法用来分析正弦稳态电路。相量法用来分析正弦稳态电路。N线性线性N线性线性 1 2非非线性线性 不适用不适用正弦波形图正弦波形图相量图相量图

23、8.4 8.4 电路定理的相量形式电路定理的相量形式1. 1. 电阻元件电阻元件VCR的相量形式的相量形式时域形式：时域形式：相量形式：相量形式：iRiRIUII 相量模型相量模型)cos(2)( itIti 已已知知)cos(2)()( iRtRItRitu 则则uR(t)i(t)R+- -有效值关系有效值关系相位关系相位关系R+- -RU IUR u相量关系：相量关系：IRUR UR=RI u= i瞬时功率：瞬时功率：iupRR 波形图及相量图：波形图及相量图： i tORUI u= iURI瞬时功率以瞬时功率以2 交变。始终大于零，表明电阻始终吸收功率交变。始终大于零，表明电阻始终吸收功

24、率) (cos22i2tIUR ) (2cos1 itIUR 同同相相位位时域形式：时域形式：i(t)uL(t)L+- -相量形式：相量形式：) cos(2)( itIti 已已知知)2 cos( 2 ) sin(2d)(d)( iiLtILtILttiLtu 则则相量模型相量模型j L+- -LU I相量关系：相量关系：IjXILjULL 有效值关系：有效值关系： U= L I相位关系：相位关系： u= i +90 2. 2. 电感元件电感元件VCR的相量形式的相量形式2 iLiLIUII感抗的物理意义：感抗的物理意义：(1) (1) 表示限制电流的能力；表示限制电流的能力；(2) (2)

25、感抗和频率成正比；感抗和频率成正比； XL相量表达式相量表达式:XL= L=2 fL，称为感抗，单位为称为感抗，单位为 ( (欧姆欧姆) )BL=1/ L =1/2 fL， 感纳，单位为感纳，单位为 S S 感抗和感纳感抗和感纳: ,ILjIjXUL ; , ,; , 0 ),(0开路开路短路短路直流直流 LLXXULjULjUjBIL 11功率：功率：) (2sin ) sin()cos( miLiimLLLtIUttIUiup t iOuLpL2 瞬时功率以瞬时功率以2 交变，有正有负，一周期内刚好互相抵消交变，有正有负，一周期内刚好互相抵消LUI i波形图及相量图：波形图及相量图：电压超

26、前电电压超前电流流900时域形式：时域形式：相量形式：相量形式：)cos(2)( utUtu 已知已知)2 cos(2 ) sin(2d)(d)( uuCtCUtCUttuCti 则则相量模型相量模型iC(t)u(t)C+- - UCI +- -Cj1有效值关系：有效值关系： IC= CU相位关系：相位关系： i= u+90 相量关系：相量关系：IjXICjUC 13. 3. 电容元件电容元件VCR的相量形式的相量形式2 uCuCUIUUXC=1/ C， 称为容抗，单位为称为容抗，单位为 ( (欧姆欧姆) )B B C = C， 称为容纳，单位为称为容纳，单位为 S S 频率和容抗成反比频率和容抗成反比, 0， |XC| 直流开路直流开路( (隔直隔直) ) ，|XC|0 0 高频短路高频短路( (旁路作用旁路作用) ) |XC|容抗与容纳：容抗与容纳：相量表达式相量表达式:UCjUjBIICjIjXUCC 1功率：功率：)(2sin )sin()cos(2 uCuuCCCtUIttUIuip t iCOupC2 瞬时功率以瞬时功率以2 交变，有正有负