大学高等数学知识点

1、v1.0可编辑可修改 11 大学高等数学知识点整理 公式，用法合集 极限与连续 一.数列函数： 1. 类型： 2. 特征（几何）: （2）奇偶性与周期性（应用）. 3. 反函数与直接函数： y f(x) x f 1(y) y f 1(x) 二极限性质： 1. 类型：* lim an; * lim f (x)(含 x ); * lim f (x)(含 x Xo ) n X X Xo 2. 无穷小与无穷大（注: 无穷量）: 3. 未疋型： ，一，1 O o o , ,o , o , 4.性质：*有界性，*保号性，*归并性 (1) 数列:* an f(n) ； * an 1 f (an) 初等函数：

2、 f1 (x) X xo 分段函数：* F(x Z X J o* 5 f2 (X) X Xo 复合（含f）函数： y f (u), u (X) 隐式 （方程）： F(x, y) O X x(t) 参式（数一 ,J： y y(t) 变限积分函数 :F(x) X f (x,t)dt a (8) 级数和函数（数一，三 J： S(x) anX F(x) f(x) X X Xo （1）单调性与有界性（判别）;f（x）单调 Xo,(X Xo)(f(X) f (xo)定号) n 0 v1.0可编辑可修改 22 三.常用结论： 1 1 1 nn 1 , an(a 0) 1 , n (a bn cn)n max

3、(a, b, c) n a a 0 0 n! 1 lim x 4 n x ln n x (x 0) , x 1, lim x 0, lim 0, x x 0 x e x x n 0 x lim xln x 0, e x 0 x 四 必备公式： 1. 等价无穷小：当u （x） 0时， sin u(x): u(x)； tan u(x) : u(x); 1 cosu(x): 1 2 u2(x); u(x) e 1: u(x)； ln(1 u(x): u(x); (1 u(x) 1 : u(x); arcsinu(x) ： u(x)； arctanu(x): u(x) 2. 泰勒公式： (1) ex

4、1 x 1 x2 o(x2); 2! ln(1 x) x 1 x 2 2 o(x2); sin x x 1 3 x o(x4); 3 cosx 1 1 2 x 1 x4 o(x5); 2 4! (1 x) 1 x (1) 2 (2、 x o(x ) 五. 常规方法： 前提：（1）准确判断,1 , M （其它如: 0 1 （如： t） x 1.抓大弃小（一）,0 ,00, 0); (2)变量代换 2.无穷小与有界量乘积（ 1 M )(注：sin 1,x v1.0可编辑可修改 33 (1) an收敛 n 1 lim an n 2nn!) n丿 n lim( a1 a2 L a.) a., n n

5、1 3. 1处理(其它如:00, 0) 1 1 X 一 (1) -(X 0) ; (2) e (x ) ； eX(x 0) ; (3)分段函数：x , x, x max f (x) 5. 无穷小等价替换(因式中的无穷小)(注：非零因子) 6. 洛必达法则 (1) 先”处理”，后法则(0最后方法);(注意对比：lim 空兰与lim 空彳) 0 x 1 1 x x 0 1 x 1 1 1 1 1 幕指型处理：u(x)v(x) ev(x)lnu(x)(如：e e(e 1) 含变限积分； (4)不能用与不便用 7. 泰勒公式(皮亚诺余项)：处理和式中的无穷小 8. 极限函数： f(x) lim F (

6、x, n)( 分段函数) n 六 非常手段 1. 收敛准则： (1) an f(n) lim f (x) x 双边夹：* bn an cn ? , * bn ,cn a ? 单边挤： an 1 f(an) * a2 a1? * an M ? * f (x) 0? 2. 导数定义(洛必达)： .Vf lim f (J vx 0 Vx 3. 1 1 2 积分和：lim f() f () n 1 L f() 0 f (x)dx , n n n n n 0 4. 中值定理： lim x f(x a) f(x) a lim f() x 5. 级数和(数一三)： 4.左右极限)： v1.0可编辑可修改 x

7、 44 八.a,b上连续函数性质 1. 连通性： f（a,b） m,M（注： 0 1 , “平均 值：f（a） （1 ）f（b） f（x。） 2. 介值定理：（附：达布定理） x f (x) 0 ( f (x)dx) 0. a 第二讲：导数及应用（一元）（含中值定理） （3） an与 （an an 1）同敛散 n 1 1.无穷小比较（等价,阶）：* f（x）: kxn,（x 0） ? (1) f (0) f (0) L f(n1)(0) 0, f (n)(0) a x x f(t)dt: ktndt 0 / 0 f(x) n a (x)F 2.渐近线(含斜): f (x) (1) a lim

8、,b lim f (x) ax f (x): ax b x x x 1 (2) f (x) ax b ，( 0) x 3. 连续性：（1） 间断点判分段函数连续性（附:极限函数，f（x）连续 （1） 零点存在定理：f （a）f（b） 0 f（x。） 0（根的个 v1.0可编辑可修改 x 45 （2）左右导：（沧），f（x）； （3） 可导与连续 （在x 0处，x连续不可导 x x可导） 1.差商与导数： f(x) lim f(x Vx) f(x); f(X0) lim f(x) f(x。) Vx 0 Vx x x x x0 (1) f(0) xm0 注：lim3 x 0 x f (0) 0,

9、f (0) A ) 基本概念: f(x) f(0) ( A（f连续） v1.0可编辑可修改 55 Vf f (x Vx) f (x) f (x)Vx o(Vx) df f (x)dx 求导准备: 1.基本初等函数求导公式；(注：(f(x) dx 1 2.法则：(1)四则运算；(2)复合法则；(3)反函数 dy y 三.各类求导(方法步骤): (xo), f (xo)及 f (X。)(待定系数) d2y dx2 x F(x) f(t)dt a (1) 可微 可导； 比较f,df与0的大小比较(图示); 1a a 导 右 左 数3)3)mmo o H Hh h 注：f(x) F(x) x a ,

10、x Xo ,求:f(X。)，f (x)及 f (x)的连续性) X 2. 初等导(公式加法则): (1) u fg(x),求:u(xo)(图形题)； F(x) f1(X),X xo,求 f f2(X) X Xo f(x, y) o)导： dy dx， a 3.隐式( 2.微分与导数 x (f(x,t)dt),( a b b f(X,t)dt), ( f (t)dt) a v1.0可编辑可修改 56 对数求导法 5.高阶导f(X)公式:(1) 存在定理； 微分法(一阶微分的形式不变性 ). 4.参式导(数一，二): x x(t) y y(t) 求：鱼 dx d2y dx2 v1.0可编辑可修改

11、66 四各类应用: 1.斜率与切线(法线);( 区别：y f (x)上点M。和过点M。的切线) 2. 物理：(相对)变化率 速度； 3. 曲率(数一二)： f (x)| (;1 f2 3(x) (曲率半径，曲率中心， 3 曲率圆) 4. 边际与弹性(数三)：( 附：需求，收益，成本，利润) 五. 单调性与极值(必求导) 1.判别(驻点f(x0) 0): 2 分段函数的单调性 3 f (x) 0 零点唯一 ；f(x) 0 驻点唯一(必为极值，最值). 2.极值点： ax、 (e ) (n) n ax a e 1 )(n) bn n! a bx (a bx)n 1 (sin ax)(n) an s

12、in(ax n)； (cosax)(n) an cos(ax 2 n) (n) (uv) (n) (n 1)V 2 CnU (n 2)v 注：f(n)(0)与泰勒展式 f (x) an f (n)(0) n! v1.0可编辑可修改 67 点) (2)二阶导(f(x。) 0) 注(1) f与f , f 的匹配(f 图形中包含的信息); 实例：由f(x) (x)f (x) g(x)确定点“ X x0”的特点. (3) 闭域上最值(应用例：与定积分几何应用相结合，求最优)(1)表格(f(x)变号);(由 lim f-(x) 0, x x0 x lim f (X) x x 0,lim上単 x x0 x

13、 x 0的特 v1.0可编辑可修改 77 3.不等式证明(f(x) 0) (1) 区别：* 单变量与双变量 * x a, b与 x a, ),x (,) 类型：* f 0, f (a) 0; * f 0, f (b) 0 * f 0, f (a), f(b) 0; * f(x) 0, f(x。) 0, f(x0) 0 注意：单调性 端点值 极值 凹凸性.(如：f(x) M fmax(x) M 4. 函数的零点个数：单调 介值 六 凹凸与拐点(必求导!)： 1. y表格;(f(x。)0) 2. 应用：(1)泰勒估计；(2) f 单调；(3) 凹凸. 七. 罗尔定理与辅助函数：(注：最值点必为驻点

14、) 1. 结论:F(b) F(a) F( ) f( ) 0 2. 辅助函数构造实例： (1) x f( ) F(x) f(t)dt a f( )g( ) f( )g( ) 0 F(x) f(x)g(x) f( )g( ) f( )g( ) 0 F(x) f (x) g(x) f( ) ( )f( ) 0 F(x) e (x)dxf(x)； 3. f (n)( ) 0 f(x)有n 1个零点 f(n1)(x)有2个零点 4. 特例：证明f(n)( ) a的常规方法：令F(x) f (x) PJx)有n 1个零点(巳(x)待 定) 5. 注：含1, 2时,分家!(柯西定理) 6. 附(达布定理)：

15、f (x)在a,b可导，c f (a), f (b) , a,b,使：f( ) c 八.拉格朗日中值定理v1.0可编辑可修改 88 第三讲：一元积分学 一. 基本概念： 1. 原函数F(x)： (1) F (x) f(x); (2) f (x)dx dF(x); (3) f (x)dx x 注F(x) f(t)dt(连续不一定可导); a x x (2) (x t)f(t)dt f (t)dt f(x) ( f(x)连续) a a 2. 不定积分性质： (1) ( f (x)dx) f (x); d( f (x)dx) f (x)dx (2) f (x)dx f (x) c; df (x) f

16、 (x) c 二. 不定积分常规方法 1. 熟悉基本积分公式 2. 基本方法：拆（线性性） (kif(x) k2g(x)dx 匕 f(x)dx k2 g(x)dx 3.凑微法（基础）： 要求巧，简，活（1 sin2x cos2 x） 1 dx d(ax b), xdx a 1. 结论： f(b) f (a) f ( )(b a);( (a) (b) ,()o) 2. 估计： Vf f( )Vx 九. 泰勒公式（连接f , f , f 之间的桥梁） 1. 结论： f(x) f (xo) f (xo)(x xo) 1 2 2 f (xo)(x xo) 1 -f( )(x 3! 2. 应用： 在已知

17、 f （a）或f （b）值时进行积分估计 十.积分中值定理（附：广义）:注：有定积分（不含变限）条件时使用 x。)3; F(x) c 1 2 dx dx , 2 x d In x, (1 ln x)dx d(xln x) v1.0可编辑可修改 99 4.变量代换： _ 1 _ _ (1)常用(三角代换,根式代换,倒代换)：x si nt,、.ax b t, t, . ex 1 t x 作用与引伸(化简)： .x2 1 x t 5.分部积分(巧用)： x 含需求导的被积函数(如In x,arctan x, f (t)dt); a x 2：变限积分 (x) f (t)dt的处理(重点) a (1)

18、 f可积 连续，f连续 可导 x (f(t)dt) f (x); a (1) (2) “反对幕三n ax n x e dx, x In xdx, 特别: xf (x)dx (*已知f (x)的原函数为F(x)； *已知f(x) F(x) v1.0可编辑可修改 100 6. 特例：(1) 引引“x_ dx ; (2) p(x)ekxdx, p(x)sin axdx 快速法 a sinx bcosx 三. 定积分: 1. 概念性质: 几何意义(面积,对称性，周期性，积分中值) x f (t)dt参与的求导，极限，极值，积分(方程)问题 a b 3. N L公式： f (x)dx F (b) F(a

19、) ( F(x)在a,b上必须连续!)ax x2dx(a 0) a2; 8 b a(x b f (x)dx a M(b a), b a f(x)g(x)dx a 芋) a g(x)dx) 定积分与变限积分 ,反常积分的区别联系与侧重 x (a(x t)f(t)dt) f (x)dt (x a)f (x) v(x) un(x) dx (1) 积分和式(可积的必要条件：有界，充分条件：连续) 由函数F(x) v1.0可编辑可修改 1010 分段积分，对称性（奇偶）,周期性 有理式，三角式，根式 b 含 f (t)dt的方程. a 4.变量代换: f(x)dx f (u(t)u(t)dt a 0 f

20、(x)dx a 0 f (a x)dx(x a t), a a f(x)dx a af( x)dx(x t) a 0f(x) f( x)dx - 1 (如：4 dx) 刁 1 si nx 2n In 0sin xdx J f (sinx)dx 2 0 f (cosx)dx; o f (sinx)dx 2 o2 f (sin x)dx, o xf (sin x)dx o f (sin x)dx , 5.分部积分 （1） 准备时“凑常数” (2)已知 f(x)或 f (x) f(x)dx 6. 三角函数系的正交性 2 sin nxdx cos nxdx 0 2 sin nxcosmxdx 0 si

21、n nxsin mxdx 2 0 cos nxcos mxdx(n m) sin2 nxdx cos2 nxdx 反常积分: 1. 类型: (1) f (x)dx, a f (x)dx, f(x)dx (f (x)连续) 2. 3. 4. 敛散; 计算: 特例: b f(x)dx:( a f (x)在x a, x b, x c(a c b)处为无穷间断) 积分法 N L公式 极限（可换元与分部） (1) JPdx; (2) 1 x 0?dx v1.0可编辑可修改 1111 五 应用： （柱体侧面积除外） 1. 面积， (1) S b f(x) g(x)dx； a (2) S d 1 c f 1

22、(y)dy ; 1 r5 6( )d ; 2 S (4) 侧面积：S 2 a f(x). 1 f 2(x)dx 2. 体积： (1) Vx b 2 2 a f (x) g (x)dx; (2) Vy d 1 2 cf 1(y)2dy 2 b a xf(x)dx Vx x 与 Vy yo 3. 弧长： ds .(dx)2 (dy)2 b (1) y f (x), x a,b s a ,1 f ?(x)dx x y x(t) (t), t * y(t) t2 s t1 x2(t) y2(t)dt r r(),： s 2() r2( )d 4. 物理（数一,二）功,引力,水压力,质心, 5. 平均值

23、（中值定理）: 1 (1) fa,b b f(x)dx ; b a a x T _ f (t)dt - 0 f(t)dt f0 ) lim 0 , （ f以T为周期：f 亠 ) x x T 第四讲：微分方程 .基本概念 1. 常识：通解，初值问题与特解（注：应用题中的隐含条件） 5 变换方程： 令x x（t） y Dy（如欧拉方程） （2）令u u（x, y） y y（x,u） y（如伯努利方程） 6 建立方程（应用题）的能力 v1.0可编辑可修改 1212 二.一阶方程: 1.形式： y f (x, y); (2) M (x, y)dx N(x,y)dy 0; y(a) b 2.变量分离型

24、:y f(x)g(y) （1）解法: 訖 f(x)dx G(y) F(x) （2） “偏”微分方程：土 x f (x, y)； q(x) (1) 解法（积分因子法）: M (x) ex0 变化： x p(y)x q(y); 推广： 伯努利（数一） y p(x)y 齐次方程 :y(迤 x (1 解法： y u u xu (u). 3. 一阶线性（重点）：y p（x）y q(x)y x 4 x p(x)dx du 特例: dy dx a2x b2y c2 5. 全微分方程（数一）： M (x, y)dx 6. dU Mdx Ndy 一阶差分方程（数三）:yx 1 ayx 1. y f(x)： y

25、F(x) C1X 2. y f(x,y)： 令y p(x) 3. y f(y,y)： 令y p(y) 二阶降阶方程 C2 II y II y dx N(x, y)dy 0且上 0 bxp(x) dp dx Yx YX x xM(x)q(x)dx 0 y。 x ca xnQ(x)bx f (x, p) 噹 f(y,p) v1.0可编辑可修改 1313 四高阶线性方程：a(x)y b(x)y c(x) y f(x) 1.通解结构： (1)齐次解：yo(x) Gyi(x) C2y2(x) 非齐次特解：y(x) c1y1(x) c2y2(x) y*( x) 2.常系数方程：ay by cy f (x)

26、 (1)特征方程与特征根：a 2 b c 0 非齐次特解形式确定：待定系数；( 附： 由已知解反求方程. 3. 欧 拉 方 程 ( 数 - )： x t 2 e x y D(D 1)y,xy Dy 五. 应用(注意初始条件): 1. 几何应用(斜率，弧长，曲率， 面积， 体积); 2. 注：切线和法线的截距 积分等式变方程(含变限积分); x 可设 f (x)dx F(x), F (a) a 0 3. 导数定义立方程： 含双变量条件f(x y) L的方程 4. 变化率(速度) 5. l dv d2x F ma 2 dt dt 6. 路径无关得方程(数一 )： Q P x y 7. 级数与方程：

27、 (1) 幕级数求和 5 法： 2 y a。 a?x L , a。 y(0), a1 y(0) f (x) keax的算子法) 2 ax y bxy cy f (x) , 令 方程的幕级数解 v1.0可编辑可修改 1414 8.弹性问题(数三) 第五讲：多元微分与二重积分 一.二元微分学概念 1. 极限，连续，单变量连续，偏导，全微分，偏导连续(必要条件与充分条件), (1) f f(Xo Vx, yo Vy), xf f(x Vx, y), y f f(x, y Vy) (2) lim f, fx lim！，fy lim x y pir (3) fxVx fy Vy df, lim _ (判

28、别可微性) J(Vx)2 (Vy)2 注：(0,0)点处的偏导数与全微分的极限定义 ： fx(0,0) .f (x,0) lim x 0 f(0,0) x ,fy(0,0) lim0f(0,y) f(0,。) 2.特例： xy (0,0): f (x, y) 2 2 x y (0,0)点处可导不连续； 0 , (0,0) xy (0,0) (2) f(x,y) 厂2 (0,0)点处连续可导不可微； 0 , (0,0) 二.偏导数与全微分的计算： 1.显函数一，二阶偏导：z f (x,y) 注：(1) xy型；(2) ZX,%)； (3) 含变限积分 2. 复合函数的一，二阶偏导(重点)：Z f

29、 u(x, y), v(x, y) 熟练掌握记号, f2,切，f12, f22的准确使用 3. 隐函数(由方程或方程组确定): (1)形式:* F(x,y,z) 0; * F(x, y,z) (存在定理) G(x, y,z) 0v1.0可编辑可修改 1515 (2) 微分法(熟练掌握一阶微分的形式不变性 ):Fxdx Fydy Fzdz 0(要求：二阶 导) (3) 注：(Xo, yo)与zo的及时代入 (4) 会变换方程. 三. 二元极值(定义); 1. 二元极值(显式或隐式): (1) 必要条件(驻点); (2) 充分条件(判别) 2. 条件极值(拉格朗日乘数法)(注：应用) (1) 目标

30、函数与约束条件：z f (x, y) (x, y) 0,(或：多条件) (2) 求解步骤：L(x, y, ) f (x, y) (x, y),求驻点即可 3. 有界闭域上最值(重点). (1) z f (x, y) M D (x, y) (x,y) 0 (2) 实例：距离问题 四. 二重积分计算： 1. 概念与性质(“积”前工作)： (1) d , D (2) 对称性(熟练掌握)：* D域轴对称；* f奇偶对称；*字母轮换对称；*重心坐 标； (3) “分块”积分：* D D1UD2； * f (x,y)分片定义；* f (x, y)奇偶 2. 计算(化二次积分)： (1) 直角坐标与极坐标选

31、择(转换)： 以“ D ”为主； v1.0可编辑可修改 1516 (2) 交换积分次序(熟练掌握). 3. 极坐标使用(转换)：f (x2 y2)v1.0可编辑可修改 1616 附：D :(x a)2 (y b)2 R2 ; 双纽线(x2 y2)2 a2(x2 y2) 4. 特例： (1)单变量:f(x)或f(y) (x, y) 5. 无界域上的反常二重积分(数三) 五：一类积分的应用(f(M)d : D; ;L;)： 1. “尺寸” ：(1) d SD ; (2) 曲面面积(除柱体侧面); D 2. 质量，重心(形心),转动惯量； 3. 为三重积分，格林公式，曲面投影作准备 第六讲：无穷级数

32、(数一，三) .级数概念 an收敛. 二.正项级数 (2) 利用重心求积分 要求：题型 (k1x D k2y)dxdy ,且已知D的面积SD与重心 1; D：x y 1 1.定义：(1) an, (2) Sn a1 a2 L an; lim Sn n 1占) 注： lim an; (2) qn “伸级数: (an 1 an)收敛 2.性质：(1)收敛的必要条件： lim an 0; n (2)加括号后发散，则原级数必发散 (交错级数的讨论 ); Dn s, an 0 s2n 1 s sn s; 1.正项级数:(1) 定义: an 0; 特征：Sn Z ; (3) 收敛 Sn v1.0可编辑可修

33、改 1717 交错级数(含一般项)： (1)n 1an ( an 0) 1.审”前考察：(1) an 0? (2) an 收敛. 4. 补充方法: 5. 注意事项： 对比 an ; (1)nan; an ; a2之间的敛散关系 四. 幕级数： 1. 常见形式： (1) n anx , (2) an(X an(x x0)2n 2. 阿贝尔定理 (1) 结论：x x*敛 R * x X; x x*散 R * x X (1)加括号后发散，则原级数必发散 0 S2n 1 注：当x x*条件收敛时 R x x* 1 2.标准级数：(1) p , np lnkn n 1 n Ink n 3.审敛方法：(注

34、:2ab a2 b2, alnb blna) k (1) 比较法(原理)：an : p(估计), np 1 如 Jf(x)dx； P(n) Q(n) 比值与根值：* lim n Un 1 U ( 应用：幕级数收敛半径计算) 0? ; (3) 绝对(条件)收敛 注：若lim n an 1 an 1,则 un发散 2.标准级数: (1) (1)n11 n ;(2) n 1 1 (1) nP; 3.莱布尼兹审敛法 (收敛) 1)n 0 ; (3) 结论: (1)n1an 条件 S2n S, an S Sn (1)前提: an 发散；(2) 条件：an , an v1.0可编辑可修改 1718 3.

35、收敛半径，区间，收敛域(求和前的准备)v1.0可编辑可修改 1818 注 nanxn, anxn与 anxn同收敛半径 n anxn与 an(x xo)2n之间的转换 4.幕级数展开法： (1) 前提: 熟记公式 (双向,标明敛域) 1 2 X X 2! 1 3 x 3! 1 / X -(e e x) 1 1 2 X 1 4 . x L , R 2 2 4! 1 X X、 1 3 1 5 R -(e e ) x X X L , 2 3! 5! sin x 1 3 1 5 L , R X XX 1 3! 5! 1 X x2 L ,X (1,1)； 1 X 1 2 X 2 1 X 3 ln(1 x

36、) X 3 L ,x ( 1,1 ln(1 x) X1 2 X 2 1 3 x3 L , x 1,1) arcta n x X 1 3 X 1 ； X 5 L , x 1,1 COSX g(x) h(x)(注：中心移动) 分解：f (x) 1 1 X 3 5 特别: 考察导函数 考察原函数 5. 1 2 X 2! 1 ax2 bx X :g(x) f (x) f(x) 0g(x)dx f(0) X :g(x)of(x)dx f (X) g(x) 1 4 X 4! -,X c R; (1,1) Xo) (1) S(x) , S(x) L ,(注意首项变化) S(x) (), S(x) S(x)的

37、微分方程 应用： an anXn S(x) 幕级数求和法(注:*先求收敛域，*变量替换): 6.方程的幕级数解法 an S(1). v1.0可编辑可修改 1919 7.经济应用（数三）: (1)复利：A(1 p)n; 现值：A（1 n p) 傅里叶级数（数一）:（ 1. 傅氏级数（三角级数）: S(x) a0 2 2. Dirichlet充分条件（收敛定理）： (1) 由f（x） S（x）（和函数） ancos nx bn sin nx 1 S(x) 2f(x ) f(x ) 3.系数公式：a0 f (x)dx, bn f (x)cos nxdx ,n 1,2,3丄 f (x)sin nxdx

38、 题型: （注 :f (x) S(x), x (1) T 2 且 f (x) L , x x ( ,或x 0,2 x 0, 正弦或余弦 *(4) x 0, (T ) ( *5. T 2l ?) （分段表示 6.附产品: f(x) S(x) a0 2 S(x。) a0 2 an cosnx bn sin nx 第七讲: .向量基本运算 an cosnx0 n 1 bn sin nx0 1 1f(x0 ) f(x0 ) 向量，偏导应用与方向导（数一） 1. k,a k2b;(平行 b a) v1.0可编辑可修改 2o2o 对称问题；vacos ,cos ,cos ) a 3. r r a b;(

39、投影: v a b 丙 v v ； 垂直：a b 4. r r a b；( 法向 v :n v v a b v v a, b；面积：SY 平面与直线 2. a ；(单位向量(方向余弦) o vvbv v 夹角：S(a,b) v v a b (1)特征(基本量)： Mo(xo,yo,zo) n (A,B,C) 方 程 ( 点 法 式 ) :A(x Xo) B(y yo) C(z zo) o Ax By Cz D o 其它：*截距式 丫 z 1； *三点式 1.平面 a b c 2.直线L (1)特征(基本量)：Mo(Xo,yo,Zo) s (m, n, p) 方程(点向式)： Xo Z Z。 P

40、 Ax By CiZ Di 0 (4) 其它： * 点式； *参数式；( 附： 线段AB的参数表 x a1 (a2 ajt 示:y b1 (b2 b1)t ,t o,1) z G G)t (3) 一般方程(交面式): A2x B2y C2z D2 0 3.实用方法: (1)平面束方程 A1x B-i y C1z D1 (A2x B2y C2z D2) 0 (2)距离公式: 如点Mo(xo,yo)到平面的距离d | Axo By。Czo D /A2 B2 C2 v1.0可编辑可修改 投影问题 三.曲面与空间曲线(准备) 1. 曲面 (1)形式：F(x,y,z) 0 或 z f(x,y);( 注：

41、柱面 f(x,y) 0) 法向n (Fx，Fy,Fz) (cos ,cos ,cos )(或 n (乙，Zy1) 2. 曲线 x x(t) F(x, y,z) 0; ( 形式 :y y(t),或 5 G(x, y, z) 0 z z(t) r v uv uv 切向： s x(t),y(t), z(t)(或 s q n2) 3.应用 (1) 交线，投影柱面与投影曲线 (2) 旋转面计算：参式曲线绕坐标轴旋转 (3) 锥面计算. 四.常用二次曲面 1. 圆柱面：x2 y2 R2 2. 球面:x2 y2 z2 R2 变形：x2 y2 R2 z2, x2 y2 z2 2az, 3. 锥面：z x2 y

42、2 变形：x2 y2 z2, 4. 抛物面：z x2 y2, z 、R2 (x2 y2), (x Xo)2 (y yo)2 (z Zo)2 R2 z a , x2 y2 2121 v1.0可编辑可修改 2222 偏导几何应用 （2）切平面与法线： 2. 曲线 （2）切线与法平面 方向导与梯度（重点） f fxx cos2 2 fxy sin cos fyy si n2 2 5. 6. 变形：x2 y2 z, 双曲面：x2 z2 a (x2 马鞍面：z x2 或z xy 1. 曲面 (1)法向：F(x,y,z) 0 n (Fx，Fy,Fz)， f(x,y) n (fx，fy 1) (1)切向：x

43、 x(t), y y(t),z z(t) v (x,yZ) 3. 综合: v uv s n. uv n2 1. 方向导（V方向斜率）： (1) 定义（条件）：丫 （m, n, p） (cos ,cos ,cos ) 计算（充分条件：可微）: u -uxcos l uy cos uz cos ir 附：z f(x,y), l0 cos , sin -r fx fy sin v1.0可编辑可修改 2323 2. 梯度（取得最大斜率值的方向）G : （1）计算：v1.0可编辑可修改 2323 uv (a) z f(x, y) G gradz (fx, fy); uv (b) u f (x, y, z

44、) G gradu (Ux,Uy,Uz) (2)结论 ()U G LT (a) G l ; l (b) 取V G为最大变化率方向； (c) G(M0)为最大方向导数值 第八讲：三重积分与线面积分(数一) 一.三重积分( fdV ) 1. 域的特征(不涉及复杂空间域): (1) 对称性(重点): 含：关于坐标面； 关于变量； 关于重心 (2) 投影法：Dxy (x, y) x2 y2 R2 Z(x, y) z z2(x, y) (3) 截面法： D(z) (x,y) x2 y2 R2(z) a z b (4) 其它：长方体，四面体，椭球 2. f的特征： 2 2 2 2 2 (1)单变量 f(z

45、), (2) f (x y ), (3) f (x y z ), (4) f ax by 3. 选择最适合方法： (1) “积”前：* dv; *利用对称性(重点) b 2 2 (2) 截面法(旋转体)：I dz fdxdy (细腰或中空，f (z), f (x y ) a D(z) 投影法(直柱体)：I dxdy Z2(x,y) fdz Dxy z (x, y) 球坐标(球或锥体)： 2 I d sin d 0 R 0 f() 2d cz d v1.0可编辑可修改 2323 重心法(f ax by cz d )： I (ax by cz d)V 4.应用问题:v1.0可编辑可修改 2424 （1）同第一类积分：质量，质心，转动惯量，引力 Gauss公式 二.第一类线积分（fds） L 1. “积”前准备： (1) ds L L; (2) 对称性； (3) 代入 x x(t) 2. 计算公 t a,b fds y y(t) L 3. 补充说明 (1) 重心法 (ax by c)ds (ax by L uv v