4_3_协方差与相关系数.

1、IlKKII一、协方差1.定义任意两个随机变量x和y的协方差，记为Cov(XCov(XCovarianceCovariance定义为Cov(X.Y)=EXE(X川yE(r)2.简单性质(1)Cov(X,Y)=Cov(Y); 4.4协前面我们介绍了随机变童的数学期望和方差，对于多维随机变量，反映分童之间关系的数字特征中，最重要的，就是本讲要讨论的“协方差和相关系数”1. 协方差4.4(2)Cov(aXJ) )Y) = abCov(X.Y)a是常数;(3)COV(XX2,Y)= COV(XVY) + COV(X2.Y)3.协方差的计算公式由协方差的定义及期望的性质，可得Cov(X,Y)=ElXE(

2、X)Y(Y) =E(XYVE(X)E( Y) E( Y)E(X )E(X)E(Y)=E(XY)E(X)E(Y) 即Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(r)可见，若x与丫独立，则c“(x,y)=o4.随机变量和的方差与协方差的关系D(X+y)=D(X)+D(Y)+ 2COV(X9Y);nn(工X,)=艺0( X,) + 2工匕，X/);/=|/=ii(X)*riwa直二R3M3相关系数的性质及其与独立性的关系21；由于当X和丫独立时，Cov(X,Y)=Cov(X,Y)=0 ,但由Q=O并不一定能推出和y独立.Xp=o,但Cov(XY)Jit 请看下例.例3设服从(-1/2,1/2)的均匀分

3、布，而r=cos(x),求x,y的相关系数.解显然E(X)=O,而E(Xy) )= EXcos(X)1/2=I x cos(x)f(x )dx= 0,J-1/2即cov(xy)=o,从而p=o,即x和坏相关.但y与炜严格的函数关系， 即x和坏独立. 相关系数刻划了x和丫间“线性相关”的程度.显然，若x与丫独立，贝必与丫不相关，但由x与丫不相关，不一定能推出x与y独立.例外的情况是：若(x,y)服从二维正态分布， 则x与y独立 的充分必要条件是，x与坏相关.例4.设(x,y)服从二维正态分布， 求x,y的相it 关系数.就率筑计解：X.y的联合密度/gy)及边缘密度人( (X) )办V) )如下

4、：1-!_啊匚加曲昱d上肚/( (X,刃=-e皿彳一2兀(7口打_P72兀Co(X.Y) f J (v- X V - /i2)f(x. y)ddy =从而说明二维正态分布随机变量xy相互独立的充要条件是p=0.即X相互独立与不相关是等价的. 4. 5矩和协方差矩阵一、矩的定义设X是随机变量，若Eg) Jl=l,2,.存在，称它为X的R阶原点矩.若E(X-E(X)r)Kl,2,存在,称它为X的R阶中心矩.显然，期望是X的一阶原点矩；方差是X的二阶中心矩.Cov(X.Y)而PxYJQ(X)R B设x和y是随机变量，若E(於W) R丄=42， 存在，称它为x和y的R+i阶混合(原点)矩.若EX-E(

5、X)EX-E(X)k kY-ECY)Y-ECY)L L 存在, 称它为x和y的R+乙阶混合中心矩.可见，协方差C(x,y)是X和丫的二阶 混合中心矩.计 F1=I fKxnB二.协方差矩阵的定义将二维随机变量(匕山2)的四个二阶中心矩clEXlE(Xl)2c cl2l2= = EXEXl l-E(X-E(Xl l)X)X2 2-E(X-E(X2 2)C2I=EX2-EX2)XX-EXC22= EX2E(X2)2排成矩阵的形式：(c(cn ncj称此矩阵为(&2)的协方差矩阵.类似定义维随机变量(乙疋,比)的 协方差矩阵.若c” =Cov(X/,X/)= ElXiE(X.)X.E(X.)都存在，ij=l,2,m,称矩阵为(X泌2,瓦)的协方差矩阵.作业：9697页13, 14,15,16, 17, 18计IC2C22例5.设随机向量（x,y）的概率密度如下.试证x与丫既不相关 也不相互独立.=y1 fl f WJ | i /( (/v = J xtZrj jydy