弯曲变形学习教案

1、会计学1弯曲弯曲(wnq)变形变形第一页，共62页。 弯曲构件除了要满足强度弯曲构件除了要满足强度(qingd)条件外条件外, 还需满足刚度条件。如车床主轴的过大弯曲引起加工零件的误差。还需满足刚度条件。如车床主轴的过大弯曲引起加工零件的误差。9.1 工程中的弯曲工程中的弯曲(wnq)变形变形问题问题第1页/共61页第二页，共62页。9.1 工程实际中的弯曲变形工程实际中的弯曲变形(bin xng)问题问题第2页/共61页第三页，共62页。9.1 工程实际中的弯曲变形工程实际中的弯曲变形(bin xng)问题问题第3页/共61页第四页，共62页。第4页/共61页第五页，共62页。度量梁变形后横

2、截面位移的两个基本度量梁变形后横截面位移的两个基本(jbn)量量:挠度和转角挠度和转角 挠度挠度(w): 横截面形心横截面形心(即轴线上的点即轴线上的点)在垂直于在垂直于x轴方向轴方向(fngxing)的线位移的线位移, 称为该截面的挠度称为该截面的挠度(Deflection) 。yxABCw(挠度挠度)C1 转角转角(): 横截面绕中性轴横截面绕中性轴(即即Z轴轴)转过的角度转过的角度(jiod)（或角位移）（或角位移）, 称为该截面的转角称为该截面的转角(Slope rotation angle) 。q q (转角转角) 取梁的左端点为坐标原点取梁的左端点为坐标原点, 梁变形前的轴线为梁变

3、形前的轴线为x轴轴, 横横截面的铅垂对称轴为截面的铅垂对称轴为y轴轴, xy平面为纵向对称平面。平面为纵向对称平面。F第5页/共61页第六页，共62页。挠度：在图示坐标系中挠度：在图示坐标系中, 向上向上(xingshng)为正为正, 向下为负。向下为负。转角转角(zhunjio)： 逆时针转向为正逆时针转向为正,顺时针转向为顺时针转向为负。负。yxABCw(挠度挠度)C1q q (转角转角)F第6页/共61页第七页，共62页。必须注意必须注意(zh y): 梁轴线弯曲成曲线后梁轴线弯曲成曲线后, 在在x轴轴方向也有线位移。方向也有线位移。yxABCw(挠度挠度)C1q q (转角转角)F但在

4、小变形情况下但在小变形情况下, 梁的挠度梁的挠度(nod)远小远小于跨长于跨长, 横截面形心沿横截面形心沿x轴方向的线位移与挠度轴方向的线位移与挠度(nod)相比属于高阶微量相比属于高阶微量, 可略去不计。可略去不计。第7页/共61页第八页，共62页。挠曲线挠曲线(qxin)方程方程:式中式中, x为梁变形为梁变形(bin xng)前轴线上任一点的横坐标前轴线上任一点的横坐标, w为该点的挠度。为该点的挠度。( )wf xyxABCw(挠度挠度)C1q q (转角转角)挠曲线挠曲线F第8页/共61页第九页，共62页。tan( )wfxqqyxABCw(挠度挠度)C1q qq q (转角转角)F

5、第9页/共61页第十页，共62页。1MkE I1( )( ) ( )M xk xxEI横力弯曲时横力弯曲时, M和和都是都是x的函数。略去剪力对梁的的函数。略去剪力对梁的位移位移(wiy)的影响的影响, 则则纯弯曲时曲率纯弯曲时曲率(ql)与弯矩的关系为与弯矩的关系为由几何关系知由几何关系知, 平面曲线的曲率可写作平面曲线的曲率可写作3221( )( )(1)wMxxEIw 第10页/共61页第十一页，共62页。曲线曲线(qxin)向上凸向上凸 时：时： w0, M0因此因此(ync), M与与w的正负号相同。的正负号相同。MMM0w0MM曲线曲线(qxin)向下凸向下凸 时：时： w0, M

6、0322( ) (1)wM xEIwOxy322( )(1)wM xEIw第11页/共61页第十二页，共62页。由于挠曲线是一条由于挠曲线是一条(y tio)非常平坦的曲线非常平坦的曲线, w2远比远比1小小, 可以略去不计可以略去不计, 于是上式可写成于是上式可写成( ) M xwEI 322( ) (1)wM xEIw此式称为此式称为(chn wi) 梁的挠曲线近似微分方程。梁的挠曲线近似微分方程。(Approximately differential equation of the deflection curve)称为近似的原因称为近似的原因(yunyn): (1) 略去了剪力的影响略

7、去了剪力的影响; (2)略去了略去了w2项。项。第12页/共61页第十三页，共62页。再积分再积分(jfn)一次一次, 得挠度方程得挠度方程上式积分一次得转角上式积分一次得转角(zhunjio)方程方程若为等截面直梁若为等截面直梁, 其抗弯刚度其抗弯刚度(n d)EI为一常量为一常量, 上式可改写成上式可改写成( )EIwM x 1( )dEIwM xxC 12( )ddEIwM xxxC xC 式中：积分常数式中：积分常数C1、C2可通过梁挠曲线的可通过梁挠曲线的边界条边界条件件和变形的和变形的连续性条件连续性条件来确定。来确定。9.3 积分法求弯曲变形积分法求弯曲变形第13页/共61页第十

8、四页，共62页。简支梁简支梁悬臂梁悬臂梁边界条件边界条件(boundary condition)ABwA0wB0ABwA0q qA0ABAB 连续性条件连续性条件(tiojin)(Continuity condition)在挠曲线的任一点上在挠曲线的任一点上, 有有唯一唯一(wi y)的挠度和转的挠度和转角。如角。如:不可能(knng)不可能CCww CCq qq qc第14页/共61页第十五页，共62页。例例1：图示一抗弯刚度：图示一抗弯刚度(n d)为为EI的悬臂梁的悬臂梁, 在自在自由端受一集中力由端受一集中力F作用。试求梁的挠曲线方程和转作用。试求梁的挠曲线方程和转角方程角方程, 并确

9、定其最大挠度并确定其最大挠度wmax和最大转角和最大转角max 。ABlxxy解：以梁左端解：以梁左端A为原点为原点, 取直角坐标取直角坐标(zh jio zu bio)系系, 令令x轴向右轴向右, y轴轴向上为正。向上为正。 ( 1 ) 列 弯 矩 方 程列 弯 矩 方 程(fngchng)( )()M xF lxFlFx F(2) 列挠曲线近似微分方程并积分列挠曲线近似微分方程并积分 ( )EIwM xFlFx 第15页/共61页第十六页，共62页。21(a)2FxEIwFlxC 2312(b)26FlxFxEIwC xC (3) 确定积分确定积分(jfn)常数常数 代入式代入式(a)和和

10、(b), 得：得： C10, C20ABlxxyF在在x0处处, w0 在在x0处处, q q0 ( )EIwM xFlFx 第16页/共61页第十七页，共62页。ABlxxyF22FlxFxwEIEIq 2326FlxFxwEIEI (4) 建立转角方程建立转角方程(fngchng)和挠度方程和挠度方程(fngchng) 将求得的积分将求得的积分(jfn)常数常数C1和和C2代入式代入式(a)和和(b), 得梁得梁的转角方程和挠度方程分别为：的转角方程和挠度方程分别为： (5) 求最大转角求最大转角(zhunjio)和最大挠度和最大挠度 自由端自由端B处的转角和挠度绝对值最大。处的转角和挠度

11、绝对值最大。 wmaxq qmax2max2x lFlEIqq 3max3x lFlwwEI 所得的挠度为负值所得的挠度为负值, 说明说明B点向下移动点向下移动; 转角为负转角为负值值, 说明横截面说明横截面B沿顺时针转向转动。沿顺时针转向转动。 第17页/共61页第十八页，共62页。xlABqFAFB例例2: 2: 图示一抗弯刚度为图示一抗弯刚度为EIEI的简支梁的简支梁, , 在全梁上受在全梁上受集度为集度为q q的均布荷载作用。试求此梁的挠曲线方程的均布荷载作用。试求此梁的挠曲线方程和转角和转角(zhunjio)(zhunjio)方程方程, , 并确定其最大挠度并确定其最大挠度 wmax

12、wmax和最大转角和最大转角(zhunjio)(zhunjio)max max 。xy解解: : 由对称性可知由对称性可知(k zh), (k zh), 梁的两梁的两个支反力为个支反力为2ABqlFF梁的弯矩方程及挠曲线微分方程梁的弯矩方程及挠曲线微分方程(wi fn fn chn)分别为分别为221( )() (a)222qlqM xxqxlxx2( )()(b)2qEIwM xlxx第18页/共61页第十九页，共62页。2( )()(b)2qEIwM xlxx 231()(c)223q lxxEIwC 3412()(d)2612q lxxEIwC xC积分积分(jfn)两次两次xlABqF

13、AFBxy第19页/共61页第二十页，共62页。231()223q lxxEIwC 3412()2612q lxxEIwC xC简支梁的边界条件是简支梁的边界条件是在在x0处处, w0 在在xl处处, w0 代入代入(c)、(d)式确定式确定(qudng)出积分常数出积分常数20C 3124qlC 323(64)24qwllxxEIq 323(2)24qxwllxxEI xlABqFAFBxy第20页/共61页第二十一页，共62页。323(64)24qwllxxEIq 323(2)24qxwllxxEI ABqxyq qAq qBwmaxl/23max24ABqlEIqqq 由对称性可知由对称

14、性可知, 在两在两端支座端支座(zh zu)x0和和xl处处, 转角的绝转角的绝对值相等且都是最大对值相等且都是最大值值4max25|384lxqlwwEI 在 梁 跨 中 点在 梁 跨 中 点 ( z h n din)l/2处有最大挠度值处有最大挠度值第21页/共61页第二十二页，共62页。例例3：图示一抗弯刚度为：图示一抗弯刚度为EI的简支梁的简支梁, 在在D点处受一集点处受一集中力中力F的作用的作用(zuyng)。试求此梁的挠曲线方程和转。试求此梁的挠曲线方程和转角方程角方程, 并求其最大挠度和最大转角。并求其最大挠度和最大转角。xlABFabFAFBD解解: : 求出梁的支反力为求出梁

15、的支反力为AFbFlBFaFl将梁分为将梁分为I和和II两段两段, 其弯矩方程其弯矩方程(fngchng)分别为分别为1(0)AbMF xFxxal2()()bMFxF xaaxllIII第22页/共61页第二十三页，共62页。梁段梁段I ( 0 x a)梁段梁段II ( a x l)11bEIwMFxl两段梁的挠曲线方程两段梁的挠曲线方程(fngchng)分别为分别为22()bEIwMFxF xal2112b xEIwFCl31116b xEIwFC xDl2222()22b xF xaEIwFCl33222()66b xF x aEIwFC xDl积分积分(jfn)一一次得转角次得转角方程

16、方程再积分再积分(jfn)一次一次得挠曲线方得挠曲线方程程挠曲线方程挠曲线方程注意：在对梁段注意：在对梁段II进行积分运算时进行积分运算时, 对含有对含有(x-a)的弯矩项不要展开的弯矩项不要展开, 而以而以(x-a)作为自变量进行积分作为自变量进行积分, 这样可使下面确定积分常数的工作得到简化。这样可使下面确定积分常数的工作得到简化。第23页/共61页第二十四页，共62页。D点的连续点的连续(linx)条件条件：在在x = a处处, q q1q q2, w1w2边界条件边界条件:在在x = 0处处, w10在在x = l处处, w20代入方程代入方程(fngchng)可可解得解得:021DD

17、2212()6FbCClblxlABFabFAFBDIII第24页/共61页第二十五页，共62页。梁段梁段I ( 0 x a)梁段梁段II ( a x l)将积分将积分(jfn)常数代入得常数代入得222111 ()23FbwlbxlEIq 22216FbxwlbxlEI 转角转角(zhunjio)方程方程挠曲线挠曲线(qxin)方程方程2222221 ()()23FblwxaxlblEI bq 33222 ()() 6FblwxaxlbxlEI b 第25页/共61页第二十六页，共62页。将将x = 0和和x = l分别代入转角分别代入转角(zhunjio)方程左右方程左右两支座处截面的转角两支座处截面的转角(zhunjio)当当a b时时, 右支座处截面右支座处截面(jimin)的转角绝对值为的转角绝对值为最大最大10()|6AxFab lblEIqq 2()|6Bx lFab lalEIqqmax()6BFab lalEIqqxlABFa