正交试验设计的方差分析例题

1、8.3.2考虑交互作用的三水平正交试验的方差分析（因学时有限和正交表太大 L27（313）,不讲解！只讲解二水平情况，因为二 水平会，三水平自然也会！）例8-4 运动发酵单细胞菌是一种酒精生产菌。为了确定其发酵培养基的最佳配方，进行了四因素三水平正交试验，试验指标为酒精浓度 （g/ml ）。表8-12给出了因素水平表，要求考察交互作用AX B、AXC和AX D。查附表7可得，本试验应选用L27（313）正交表，表头设计 应按照“L27（313）二列间的交互作用表”进行。本例只考虑一级交互作 用（p=1）,所以每个三水平交互作用应占（m-1）P=（3-1） 1=2歹！J,即A X B、AX C,

2、和AX D在L27（313）正交表中各占二列。表8-12因素水平表因素 水平'、葡锢糖浓度A酵母膏浓度%B培乔温度（C）C培加基pHD150255.02150.5306.03251.0357.0表头设计时应避免混杂，试验方案及试验结果见表8-13。由交互作用表可知，将因素 A、B安排在第1、2列之后，第3、4歹U为AX B交互作用列；再将C安排在第5列后，AX C交互作用在第6、7歹I；最后将D安排在第9歹I，则AX D交互作用类落在第8、10列（当然也可将D安排在第8歹U,则第9、10列为AX D交互作用列）。表8-13 试验方案及结果分析L 27（3 13）试ABAX BCAX C

3、AX DDAX D试验验 号12345678910111213结果V、111111111111110.20211112222222220.50311113333333330.50412221112223331.50512222223331111.10612223331112221.20713331113332221.60813332221113331.60913333332221111.201021231231231230.401121232312312310.501221233123123120.201322311232313126.301422312313121232.7015223131

4、21232314.201623121233122315.901723122311233127.701823123122311236.151931321321321320.402031322132132130.302131323213213210.302232131322133211.752332132133211324.752432133211322135.302533211323212132.902633212131323217.302733213212131322.80Kj9.403.3032.7526.4019.9526.2022.6028.3016.6522.9019.7024.202

5、2.4568.25Kj33.0527.8017.9024.5526.4523.2018.8020.0023.4525.0022.4021.9024.45Kj25.8037.1517.6017.3021.8518.8526.8519.9528.1520.3526.1522.1521.35K2j88.3610.891072.6696.96398.00685.44510.76800.89277.22524.41388.09585.64504.00K2j1092.3772.84320.41602.70699.60538.24353.44400.00549.90625.00501.76479.61597

6、.80K3j665.641380.1309.76299.29477.42355.32720.92398.00792.42414.12683.82490.62455.82Sj32.6267.9021.812.486.646.347.436.343.23一、计算(计算过程省略)1.计算各列各水平的 K 值(Kij,K2j,K3j)和 K2(K2j,K2j,K2j)各列各水平对应的试验数据之和Kj,K2j,K3j ,及其平方和Kj, K2»K2j ,列于表8-13中，例如9Ka =£ Xi =0.20+0.50*2+1.50+1.10+1.20*2+1.60*2=9.40=K 1

7、1 , i 4K21= 88.369Ka =z Xi =0.40+0.50+,+6.15=33.05=%， 吗=1092.30i 19Ka =Z Xi =0.40+0.30+ ,+2.80=25.80= K 31 , K 21 =665.64i 1表示AX B的有两列，即第3,4歹U,计算后可知8 =32.75, K 23 =17.90; K 33=17.608 =26.40; K 24 =24.55, K 34=17.302 .计算各列的偏差平方和（Sj）及其自由度（f j）由式（8-4）,可知:1m 2 T2-S=-v Kj _Qj_CT r idnr=n/m=27/3=9;CT=T/n=

8、1/27 X 68.252=172.52所以 Sj = 1/ Kij2 172.52 = 1( Kij2+Kj2+Kj2)-172.53 9T j90=S=1(Kii2 +Ki2+Ki2)-172.529 i=；(88.36+i092.30+665.64)-i72.52=32.62$=S=,=67.90, S 3=,所以 3xB=S+S=2i.8iSc=S)=,=2.48, S6=,所以 3xc =S+S=6.64S8=,=5.i3 ; Sio=,所以 Saxd=S+S0=6.34Sd=S=,=7.43Si=,=2.33,Si2=,所以 S=Si+S2+S3=3.23= 16.67,8=,=5

9、.14=3.04, S7=,=3.60= 1.21=0.35,Si3=,=0.5513),所以因为第j列的自由度为f j=m-1=3-1=2,(j=1,2,f A = f B = f C =f D=2f AXB= f 3 +f 4=2 + 2=4, f AX C = f 6 +f 7 =2 + 2=4f AXD = f 8 +f 10 =2 + 2=4, f e= f 11 +f 12 +f 13 =2 X 3 = 6验算：Sr的验算nQ=" Xi2=0.2 2+0.52+, +2.82=320.98 i 1St =Qt -CT=320.98-172.52=148.46k另外 2 S

10、j =32.62+67.90+ , +0.55=148.45 j=ifT的验算fT=n-1=27-1=26另外 f t =13f i =13 X(m-1)=13 x (3-1)=26.计算过程无误.3 .计算方差V = S fjVA=S/f a=32.62/2=16.31同理可得VB=33.95,Vc=1.24,Vd=3.72V ax b=5.45,Vaxc=1.66,Vaxd=1.59Ve=0.538: 业均大于2,且fe=6>1, .无需校正Ve!Ve:、显著性检验(计算过程省略)1 .计算FjFa= VA/Ve=16.31/0.538=30.32,.Fj=V/Ve,同理可得，F b

11、=63.10, F ax b=10.13, F c=2.30, F axc=3.092 .查 F aFf因,fe尸f2,6),Ff交,fe尸F44,6)当 a=0.05 时，查得 F 0.05(2,6)=5.14, F 0.05(4,6)=4.53;当 a=0.01 时，查得 F 0.01(2,6)=10.92, F 0.01 (4,6)=9.15.3 .显著性检验Fa=30.32 和Fb=63.10均大于 R.0i（2,6）=5.14,因素所口B匀高度显著（用*表示）；又 Faxb=10.13 >Fo.0i（4,6）=9.15,交互作用AX他高度显著（用*表示）；又. Fd=6.91,

12、 .介于 Fo.o5（2,6）和Fo.oi（2,6）之间，因素D显著（用*表示）；又 Fc=2.30 < Fo.o5（2,6）=5.14,以及 Fa=3.09 和 Fax d=2.96 均小于 Fo.05 （4,6）=4.53,因素C及交互作用AX 5口Ax D匀不显著.根据F值大小，可知各因素及交互作用对试验指标影响的主次顺序为：B,A,AX B,D,AXC,AXD,C.4 .列方差分析表表8-14方差分析表、.、.广. 力左来源偏 差 平方和自由度、.、.广. 力左F值巳显著性A32.62216.5130.32F0.05（2,6）=5.14*B67.90233.9563.10F0.0

13、1（2,6）=10.92*AX B21.8145.4510.13*C2.4821.242.30%05（4,6）=4.53AX C6.6441.663.09%01（4,6）=9.15D7.4323.726.91*AX D6.3441.592.96误差e3.2360.538总和148.4526三、最优工艺条件确定因素A、B及交互作用AX B都高度显著，但因在主次顺序中，A XB排在A、B之后，因此应优先考虑 A B的优水平。A和B的优水 平确定了，其搭配也就随之确定，不必再通过 A、B的二元表确定A 与B搭配。通过比较试验指标和 K值大小，可知A和B的优水平，分 别为A2和因素D作用显著，但D与A

14、的交互作用AX D不显著，故可不考虑 交互作用，通过比较K值可知D的优水平为d因素C作用不显著，可以降低成本和操作方便等方面来考虑选取 最适水平。对本例通过比较 K值确定C的优水平为G。因此，最优水 平组合为ARGR,即最优工艺条件为葡萄糖浓度 15%酵母膏浓度 1.0%、培养温度30c和培养基pH值7.0。最后，最好能在最佳条件 ARGC3下，再实施一次试验，测定试验 指标值(即酒精浓度)，在L27 (313)正交表中，没有A2RGC3这一组试 验。在正常情况下，ABGQ组合条件下的试验指标值，应大于表 8 13中的最大Xi值，即第17号试验的x17=7.70。8.4混合型正交表的方差分析混

15、合型正交表的方差分析与等水平正交表的方差分析无本质的区别，只是用公式时，要注意各列水平数的差别。例8-5试对例7-2试验数据进行方差分析。课本中为简化计算，对表7-5 (p144)的试验数据Xi作了线性变 换，实际上没有必要。在不对Xi作变换的情况，请同学们自己再做一 次方差分析，作为课外作业去完成。且求Sj时，对二水平因素用通式 和简化式分别计算！总的偏差平方和n_ nS产v (Xi -X)2 = v Xi2 -CT1 1i 1f T=n-1因素的偏差平方和S分两种类型进行计算：1、对于四水平因素1m 2S j = % Kij -CT r i j(对二水平因素，也可用这一通式计算，建议全部用

16、通式计算，以免产生混乱！)m=4,r=n/m=8/4=2f j=m-12、对于二水平因素，简化计算公式为：Sj = 1(Kij-K2j)2 , n=8nfj=m-1,m=2(方差分析和显著性检验，见书上 p181)讨论：(1)方差分析法与极差分析法得出的各因素主次顺序相同，都是A、C、B;(2)由方差分析可知，因素 A显著，因素C不显著，而因素B对试 验结果无影响(即将Sb并入S中，及S9= Se + S, l = fe+fB)；(3)主要因素A的优水平A;不显著因素C,可根据具体情况确定 其水平，为缩短加工时间，可选 G水平，但从指标值看，还的 选G为好；对试验结果无影响的因素 B,选B或B

17、均可，从试 验的指标可知，A3BG为最佳工艺条件，(即5号试验)。因此， 此时指标值最大。(251cnV100g)(极差分析结果：A3BG或AB2G方差分析结果：ABC2或ARC2)8.5重复试验和重复取样的方差分析(因时间有限，不讲解！)在实际工作中，用正交表安排试验时，为了提高试验及其统计分析的精确性和可靠性，往往采取重复试验和重复取样，在安排试验 时，将同号试验重复做若干次，从而得到在同一条件下若干次试验的 数据，叫做重复试验，若在一个试验中，同时抽取若干个样品进行测 试，则叫做重复取样。8.5.1 重复试验的方差分析在用正交表安排试验时，若表上各列已被因素及交互作用占满， 没有空列，也

18、无经验误差。这时，为了估计试验误差，一般选用更大 的正交表以外，还可以重复试验，由于正交本身的需要，有时虽然正 交表的所有列并未被因素及交互作用占满，但也要做重复试验。重复试验的方差分析与无重复试验的方差分析比较，有以下几点不同：(1)假设每号试验重复数为S,在计算K% Kj, Kj时，是以各号 试验下“S个试验指标数据之和”进行计算；(2)重复试验时，总偏差平方和 与及其自由度"按下式计算：ns2Sr=.” Xit2 - 小4nsf T=ns-1式中：n-试验条件数，即正交表的总试验号;s-各号试验重复数Xit-第i号试验第t次重复试验数据(i=1 2, n；t=1 ,2,s)；T

19、-所有试验数据之和(包括重复试验)；n s T=二,二 x,imp(3)重复试验时，各列偏差平方和(S)计算公式中的“水平重复 数”改为“水平重复数乘以试验重复数”，修正项CT也有变化，S 的自由度fj仍为水平数减1。m 2Sj=-Z Kj2 -CT, CT=L,r=-rs insmf j=m-1(4)重复试验时，总误差平方和包括空列误差 Si和重复试验误差Se2, 即$=Sl + S2其总的自由度fe等于Sei的自由度fe1与Se2的自由度f e2之和，即：f e=f el+fe2Se及fe2的计算公式如下n sn sSe2=:二 xit2 -"- C xit)2 i=1 t=1s

20、 i tWfe 2=n(S-1)重复试验时，用Ve=Se/fe检验各因素及其交互作用的显著性。 当 正交表的各列都已排满因素及交互作用而无空列时(即Se=0和fe i=0)用Ve2=Se/fe 2来检验因素及交互作用的显著性。例8-6 (p183)四因素四水平正交试验，每号试验重复三次，由附表7可知，对四因素四水平试验，选Li6 (45)正交表最合适，本例 不考虑因素间的交互作用，因素水平如表8-17所示，而表8-18为试 验方案与试验结果计算表。一、计算(简略)1 .计算各列水平K值(Kj , Kj , Kj , Kj)和Kj如 Kii =6+12.5+17.5+19.2=55.2K 2 =

21、55.22=3047.04心=19.2+19.5+18.9+19.2=76.8K45 =76.82=5898.242计算各列偏差平方和(S)及其自由度(fj) m2Sj=z Kj2 -CT, CT=L, r=-rs ynsm=1 ?23032 _)2=Kj= Kj-1912.694 3y 16 3 12y如Sa=S = ：1( K 21 + K21 + K312 + K412)-1912.69 1=-X (3047.04+6528.64+7656.25+6320.25)-1912.6=49.99 12同理可得 Sb=S=33.42 Sc=S 3=29.01Sd =S=13.54 Se 1=S=

22、9.65n sn sSe=m x/，xit)2 i 3 t Ts i 1 111631 163= .; xJ-C、xit)i 二 t JS i 4 t 4=(22+22+ ,+6.52 +6.92)-1/3乂 (62 +12.52+ +20.4 2)=2050.32-2048.31=2.01所以 Se=Se+Se2=9.65+2.01=11.66 f j=m-1=4-1=3f A= f B= f C= f D=3fe 1=f 5=4-1=3fe2=n(S-1)=16 x(3-1)=32fe=fe1+fe2=3 + 32 = 35验算:Srn s2Sr4 ' X2303216 3iata

23、ns163、X-Xi2i m t =1=2050.32-1912.69=137.625另外 ST=-SjSe2= SaSbScSdSe1Se2j 1=49.99+33.42+29.01 + 13.54+9.65+2.01 = 137.62fTf T=nS-1=16 3-1=475另外 f T=- fj - fe2 = fA fB fc fD fe1 fe2 j 13.计算方差V J=S fjVb=Sb =3342 =11ifB3Vd=d = 1354 = 4.51,fD3V S Sa 49.99Va=16.66,fA 3_Sc 29.01 QA7Vc=9.67,fc 3Ve=Se = 11.6

24、6 =0.33fe35二、显著性检验1.计算F值Vjj 二VeFbFcFdVaV?VbVe16.660.3311.410.33Vc9.67Ve 一 0.33VdVe4.510.33=50.48=33.76= 29.30-13.672 .查Fa值F. =(f大，fe) = F：.(3,35)当a =0.05时,Fq05(3,35) =2.88(由附表5内查彳#到)当a =0.01时，Fq01(3,35) =4.41(由附表5内查彳#到)3 .显著性检验C、D因为，Fa、Fb、Fc、Fd均大于F0.01(3,35),所以，A、B、四个因素均高度显著，方差分析表如表8-19所示(P186)。三、确定

25、最优条件四个因素的作用均高度显著，且由 F值大小可知因素作用的主次顺序为A、 B、 C、 D通过比较K值，可知各因素的优水平为 A B、G、D3,故最 优水平组合为ABGQ,表8-18的试验方案中无该水平组合的试验， 所以应在最优水平组合下，再安排实施一次试验，并且其试验指标值应大于表8-18 中的最大指标值。8.5.2 重复取样的方差分析由于重复试验使试验次数成倍增加而增加试验费用，故在实际工作中， 更常用的是采用重复取样方法来提高试验的可靠性，重复取样与重复试验在误差偏差平方和的计算上完全一样，但重复取样的误差， 反映的是原材料和产品的不均匀性与试样的测量误差，即 局部 （试验）误差 ；而

26、重复试验的误差，反映的是整个试验过程中的各种干扰引起的误差，即整体误差 。通常，局部误差比整体误差要小，原则上不能用来检验各因素水平间是否存在差异，否则， 会得到几乎全部因素及交互作用都是显著的不正确结论。但是，若符合下面两种情况，则可以把重复取样得到的局部误差$2当作试验误差Se,进行统计检验。（1）正交表中各列已排满，无空列提供一次误差（Si）,这时，为了少做试验而用重复取样误差（Se2）作为试验误差（Se）,检验各因素交互作用的显著性，若检验结果有一半左右的因素及交互作用不显 著，就可以认为这种检验是合理的；（2）若重复取样得到的局部（试验）误差（Se2）与整体（试验）误差（$1）相差不

27、大，也就是说，要求两类误差的 F值:匚Sei feiF 二Se2 fe2对于给定的信度，有F < Fa （fel, fe2）,说明Sei与Se2的误差不显著，这时，就可以将 Se2和Se合并作为试验误差，即Se=Sei+Se;i+fe2Fe=fe但是，若F>E（fe i, fez）,则两类误差有显著差异，不能合并使用。例8-7 三因素三水平正交试验，不考虑交互作用，因此，选用% （34） 正交表最合适。因素水平表见表8-20,试验方案见表8-21 （see pi88）。重复取样三次，即s=3.解：、计算1 .计算各列水平的K值（Kj,K2j和K3j）和K如:K11=0.655+0.

28、657+0.787=2.099,K 21=2.0992=4.406K 13=0.760+1.305+0.657=2.722,K 23=2.7222=7.409 13K和K的计算结果，列于表8-21中.2 .计算各列偏差平方和（S）及自由度（fj）检验:一 1 一Sj 二 k2 T21ns 3 38.7972j -2.866Sa= Si=1/9 X (7.684+15.413+4.406)-2.866=0.190同理可得:S b= S2 =0.00889, S c = S3 =0.0188S ei = S4 =0.00622 nsnsSe2 =Xit2 -1/S" C Xit)2n=9

29、,s=3+0.2592)-1/3*(0.760 2+1.1622+i t Jit 4939s='、'、Xit2 -1/3%Xit)2 i 4 t Jit J=(0.278 2+0.251 2+ ,_2+0.787 )=3.100-3.089=0.0110f j = m-1=3-1=2 f a = f B=f c =2f e1 = f 4 =3-1=2fe2= n(s-1)=9 x(3-1)=18验算：St n sn&=一 Xit2-T /ns=3.100-2.866=0.234 i 3 t T4ST =" Sj Se2 =3+ Sb + Sc + Se1 +

30、Se2=,=0.234j 1QfTfT=ns-1=9x 3-1=26 4 f T = " f f=fA+fB +fc +fe1+fe2 =,=26j£ j e2所以计算无误3.比较两类误差F=(Se1/fe 1)/(Se 2/fe 2)=(0.00622/2)/(0.0110/18)=5.09因为F0.01(2,18)=6.01 >5.09,所以两类误差可以合并使用。Se=Se1+Se2=0.00622+0.0110=0.01722Fe=fe1+fe2=2+18=204. 计算方差Vi=Si/f iVA=SA/f A =0.190/2=0.095同理,VB=0.004

31、45, V C =0.0094 ,V e=0.000861二、显著性检验F j =Vj /Ve1. 求FjFA =VA /Ve=0.095/0.000861=110.34FB=VB/Ve=0.00445/0.000861=5.168FC=VC/Ve=0.0094/0.000861=10.922. 查 F%F % =( f 因,fe)= F % (2,20)% =0.01 时,F 0.01(2,20)=5.850c =0.05 时,F0.05(2,20)=3.493. 显著性检验因为 Fa> F0.01所以因素B高度显著；又因为Fo.05 < Fb< Fo.01，所以B显著；又因为FOF0.01所以因素C高度显著方差分析表见表8-22(p.190)三、最优工艺条件的确定由表8-22可见，因素A,C高度显著，因素B显著，根据Fj值的大小 可知，因素的主次顺序为 ACB通过比较Kj值可知各因素的最优水平 为ARG故最优水平组合为 A2B