材料力学应力和应变之间的关系要点

1、§7-4应力与应变之间的关系一、各向同性材料的广义胡克定律线弹性和小变形广义胡克定律4=!。、Mbv+%)1 E邑=!。,一“(4+4)% = L5-y +%,) EE1(Tx =(1 一 L)% +V(6Tv +£一)(l+v)(l-2v)?ETv = /j、 。J(1 一上% + M J +&) (l+v)(l-2v)E u =(1-vX +"(£1 +%,)2(i+v)(i-2v) 工5“平面应力状态1 ,、*'=三/一)i z、V z、%=-(q+bv)E1GTxyE(1 - V)8X + 以X + R ) (l + r)(l-2

2、r)*' zE=;-一(1-v)£： + V(£：v +J)(l + r)(l-2iz)”(T = 0说明：1 ） x和y必须是两个互相垂直的方向；2）括号中的第一项必须是与j同方位的正应力, 而第二项中的应力必须是与j垂直的方位上的 正应力；3）上述公式同样适用于其它方位的应力状态。例工字钢梁的截面尺寸如图所示，已知 =180mm,b=94mm, r= 10.7mm, Q=6.5mm。F=150kN, E=210GPa, v=0.3, /_=16.59 x 106mm4o 试求C点处的线应变?。、£ 45。禾7£90。o解：1）求c点所在截面上

3、的内力R =-= -75kN A/ = x 0.25 = 18.75kNms 222)取C点的应力状态_ My _18.75x106x45T° =工=16.59x106U 一 =50.86MPa注意。和T的方向！ _ b 745-10 7=94x10.7x(90-10.7/2) + 6.5 x (45-10.7)x(45 + /二)=98997mm3= 75x101x98997 =68.85Mpabl. 6.5 x 16.59 xlO6 43）求线应变b 50.86 c /c ln-4%。= = 2.42 x 10E 210xl03A。=242 |Li£0VRO! !J/o

4、° =叱4。= -0.3 x 2.42 x 10 4 = 7.26 x 10 5 叫r0! ! ! -r =-68.85 = -43.42MPa221 , 、一五 ML j)非45°角时！ ！1210x1()394.28 - 0.3x (-43.42) =5.11xl0-4测得%。（以）、J5。«45。） 和£90。（ £y）(iJTx =1+v2ET+v例一钢制圆杆受拉扭组合作用，如图所示，已知直径 d=200mm, E=200GPa, v=0.30e 已测得圆轴表面 上a点处的线应变为£（）。=500?, £45。=40

5、0% 试求产和丁之值。FC7 =二A4F解：1）取6/点的应力状态» T注意。和T的方向!T 16TT -=2)求产CY4FE End2av#0! ! !F = - Eed1 =-x200x103x500x10-6x 200 244= 314.IkN3）求7计算工的解法二：已知：=500眸，e 45o =400（ll£f9（r = 一»4。= -0.3x500 = -150（18_ E %。+ 3； 90。T 77 o845。）1 + v2=200><10： 500-150 _0_61 + 0.32=-34.6MPa例 图示纯弯梁，已知外力为M,横截面

6、对中性轴的惯惯性矩为小 材料弹性常数为£、v,试求线段A5 的长度改爰量/"«>Mv1 v2 - 45。= (0'-45o 17b45。)E2E1 VAB = £-45。d/ = bd/2E及桢=JdA* = J卡bd/lAB几V2(l-v)M r0772(1-v)Ma24EL Jo8EL二、各向同性材料的体积应变c AV"丁二+?+邑1 2v(5+%+%)要使一点的体积应变为 零，必须使该点处的三个主 应力之和为零。b =3 ="b 2 0”中2+?) = °§7-6空间应力状态下的应变能密度一、应变能密度31/dv 单位体积的应变能嚓=fdV(7021匕=OE6 2=CT2 +b? +CT22E '231 z 、L 5(°向 + <22 + a3S3)2f(T1<T2 + b2b3 + CT3C7)二、形状改变比能SiZ3 1 - 2y /、*廿+%)3+形状改变体积改变(2)l-2v2=7(12 +22+32)E(1)1 -2vi-2v，= (11+21 +31)= 3EE1 2v二-(bl +7+，)=。 E1.体积改变比能1 z/ G =；(5+/+6)体积改变1/、33(1-2v)2心=7(。向