机械优化设计课后习题答案版本

1、精品文档第一章习题答案1-1 某厂每日(8h制)产量不低于 1800件。计划聘请两种不同的检验员，一级检验员的标准为：速度为 25 件/h,正确率为98%,计时工资为 4元/h;二级检验员标准为：速度为 15件/h,正确率为95% ,计时工资 3 元/h。检验员每错检一件，工厂损失2元。现有可供聘请检验人数为：一级8人和二级10人。为使总检验费用最省，该厂应聘请一级、二级检验员各多少人？ 解：(1)确定设计变量；X1根据该优化问题给定的条件与要求，取设计变量为X =1;x2二级检验员(2)建立数学模型的目标函数；取检验费用为目标函数，即：f(X) = 8*4* X1+ 8*3* X2 + 2

2、( 8*25*0.02 X1 +8*15*0.05 X2 ) =40X1+ 36x2 (3)本问题的最优化设计数学模型： 3 ,min f (X) = 40X1+ 36X2 x Rs.t. g1(X) =1800-8*25 Xi+8*15X2< 0g2( X) = x1 -8 < 0g3(X) = X2-10 <0g4( X) = - X1 < 0g5( X) = - X2 < 01-2已知一拉伸弹簧受拉力 F ,剪切弹性模量 G ,材料重度r ,许用剪切应力,许用最大变形量卜欲 选择一组设计变量 X Xi X2 X3T d D2 nT使弹簧重量最轻，同时满足下列

3、限制条件：弹簧圈数n 3,簧丝直径d 0.5,弹簧中径10 D2 50。试建立该优化问题的数学模型。38FnD3注：弹簧的应力与变形计算公式如下Gd4ks8FD2 , ks 1 , c D2 (旋绕比)， d2c d解：(1)确定设计变量；x1d根据该优化问题给定的条件与要求，取设计变量为X=x2D2;X3n(2)建立数学模型的目标函数； 取弹簧重量为目标函数，即：22 f(X)=rx1 x2x3 4(3)本问题的最优化设计数学模型：2minf (X)= rx1 x2x34s.t.gi(X) =0.5- xi <0g2( X) =10- x2 W 0g3(X) = x2-50 <

4、0g4(X) =3- x3 <0gE) = (1为警<0g6(X)=2x2xi38Fx2 &Gx14<01-3某厂生产一个容积为 一优化问题的数学模型。8000 cm3的平底、无盖的圆柱形容器,要求设计此容器消耗原材料最少，试写出这精品文档x1底面半径rX =1x2高 h解：根据该优化问题给定的条件与要求，取设计变量为表面积为目标函数，即：inf(X) =x2 + 2x1 x2考虑题示的约束条件之后，该优化问题数学模型为：mnf(X) =x12 + 2x1 x2X= x1, x2 T e r2s.t .g1(X) = -x1 < 0g2( X) = - x2 &

5、lt; 0h1( X) = 8000 -x12 x2 = 01-4 要建造一个容积为1500 m3的长方形仓库，已知每平方米墙壁、屋顶和地面的造价分别为4元、6元和12元。基于美学的考虑，其宽度应为高度的两倍。现欲使其造价最低，试导出相应优化问题的数学模型。解：(1)确定设计变量；x1长根据该优化问题给定的条件与要求，取设计变量为X= x2宽；x3高(2)建立数学模型的目标函数；取总价格为目标函数，即：f(X) = 8(x1 x3 + x2 x3) + 6 x1 x2 + 12 x1 x2(3)建立数学模型的约束函数；1)仓库的容积为1500 m3。即:1500- x1 x2 x3 =02)仓

6、库宽度为高度的两倍。即：精品文档x2 -2 x3 = 03)各变量取值应大于0，即：xi > 0, X2 .> 0.,则-xi < 0, -X2 W 0( 4)本问题的最优化设计数学模型：3 , min f (X) = 8( xi X3 + X2 X3)+ 18 xi X2X C Rs.t.gi(X) = - xi <0g2( X) = - X2 < 0g3( X) = - X3 < 0hi( X) = i500- Xi X2 X3=0h2( X) = X2 -2 X3 = 0i-5 绘出约束条件：222XiX28；2Xi X28；XiX2 4 所确定的可行

7、域i-6 试在三维设计空间中，用向量分别表示设计变量：Xi i 3 2T; X2 2 3 4T; X3 4 i 4T。第二章习题答案2-1请作示意图解释：X(k1) X(k)(k)S(k)的几何意义。2-2 已知两向量Pi i 22 0T , P2 2 0 2 iT ,求该两向量之间的夹角。2-3 求四维空间内两点(i,3, i,2) 和 (2,6,5,0) 之间的距离。2-4计算二元函数f (X)Xi3X1X225xi6在X(0)1 1T处，沿方向S 12T的方向导数fs'(X(0)和沿该点梯度方向的方向导数f ' (X(0) 。2-5 已知一约束优化设计问题的数学模型为22

8、min f(X) (X1 3)2 (X2 4)2XX1,X2Tg1 (X) X1 X2 5 0g2 (X) X1 X2 2.5 0g3 (X)X1 0g4 (X)X2 0求：(1) 以一定的比例尺画出当目标函数依次为f (X ) 1、 2、 3、 4时的四条等值线，并在图上画出可行区的范围。(2) 找出图上的无约束最优解X1 和对应的函数值f (X1 ) ，约束最优解X2 和 f (X2 )；精品文档精品文档精品文档(3)若加入一个等式约束条件：h(X) x1 x2 0求此时的最优解X3 , f(X3)。解：下图为目标函数与约束函数(条件)设计平面 X1OX2 。 其中的同心圆是目标函数依次为

9、 f(X)=1、2、3、4时的四条等 值线；阴影的所围的部分为可行域。由于目标函数的等值线为一同心圆，所以无约束最优解为该圆 圆心即：Xi*=3, 4T函数值f(Xi*)= 0而约束最优解应在由约束线 gi(X)=0, g2(X)=0, g3(X)=0, g4(X)=0,组成的可行域(阴影线内侧)x Xc 5 0内寻找，即约束曲线gi(X)=0与某一等值线的一个切点 X2 ,可以联立万程：，解得X1 x2 1 0X2*=2, 3。函数值f(X2*)= (2-3)2 + (3-4)2 = 2 。加入等式约束条件，则X3*为可行域上为hi(X)=0上与某一条等值线的交点，可以联立方程：x1 x2

10、5 0 ,解得 X3*=5/2, 5/2。Xi x20函数值f(X3*)= (5/2-3)2 + (5/2-4)2 = 2.5 。精品文档2-6试证明在(1,1)点处函数f (X)4 xi22xi x22xi2x2 2x1 5具有极小值。证明：求驻点：一f山 4x13 4xix22天2,f(X)一 2 一2xi2x2xix2由 f(X)0,f(X)0,得：驻点11T,极值f(x*) 4xix22f(X)2xi212xi4x22f(X)xix2x2xi4xi,"2x2海赛矩阵H(X)104aii100,aiia2iai2a22104H(X)是正定的，所以驻点必定是极小点。故 在(1,1

11、)点处函数f(X)具有极小值。222-7求函数f (X) 3xi2 2x22 2xi X2 10的极值点，并判断其极值的性质。解：_L(X1 6x1 2 , Xi3 4X2 1X2由 3 0, 3X1X20,得：极值点 X 1/3 1/4T,极值 f(X ) 229/2422222f(X)02f(X)2f(X)c2f(X)/2- 6, 0,2- 4X1X1 X2X2 X1X2一，-6 0海赛矩阵H(X)0 4、aa11 a126 0各阶主子式：a,16 0,0a21 a220 4H(X)是正定的，所以，f(X)为凸函数。得：极值点 X* 1/3 1/4T,极值 f (X*) 229/2422-

12、8试判断函数f (X) 2X12X2 2X1X2 X1 1 的凸性。解：JIXl 4X1 2x2 1 , X1f(X)X22x2 2x12f(X)2X22222,2f(X)52f(X)22f(X)25，2，X1X1 X2X2 X1海赛矩阵H(X)52H(X)是正定的，所以，f(X)为凸函数。1,2上222-9试用向量及矩阵形式表示f (X) X1X2 10X1 4X2 60 并证明它在 D x1,x2精品文档是一个凸函数。解：fX2Xi10 2x1 x2 ， f(X)4 2x2 x1X22f(X) 2 2f(X)22x1x1 x21,2f(X)海赛矩阵H(X)各阶主子式：an0,a21ai2a

13、22H(X)是正定的，所以，f(X)为凸函数。2-10现已获得优化问题min f (X)stg1(X)g2(X)g3(X)4x1 x22 1222x1 x225 022x1x210x1 10x2 34 0(x1 3)2 (x2 1)2 0g4(X)x1 0gs(X)x2 0的一个数值解X 1.000, 4.900T ,试判定该解是否上述问题的最优解。第三章习题答案取初3-1函数f (X) 3x3 8x 9,当初始点分别为x0 0及x° 1.8时，用进退法确定其一维优化的搜索区间,始步长T0 0.1。解：当x0 0时(1)取 T T00.1, A,0,A2 T 0.1F1 F(A) f

14、(X(0) 9X X(0) A2 s =0.1F2 F(A>) f(X(0) A2S) 8.203比较F1、F2 ,因F1F2，所以应作前进搜索。精品文档步长加倍：T 2T0.2, A2A2 T 1 2 0.3F1F28.203XX (0) A2S =0.3F2F (A2) f (X (0)A2S)6.681再 比 较F1、 F2， 因 F1F2 ，所 以 还应 再 向 前 搜 索 ， 为 此 应 舍 去 上 一 次 的 A1点 。 所 以 ：A1A2 T 0.3 0.2 0.1 。(3) 步长加倍：T 2T 0.4, A2A2 T 0.3 0.4 0.7F1F26.681X X(0)

15、A2S=0.7F2F(A2)f(X(0)A2S) 4.429 .比较Fi、F2,因FiF2,所以还应再向前搜索，AA2T 0.7 0.4 0.3。(4) 步长加倍：T 2T0.8, A2 A2 T 1.5Fi F24.429X X(0) A2S=i.5F2 F(A2) f(X(0) A2S) 7.i25.比较Fi、F2,因FiF20已找到具有 高一低一高”特征的区间即： iAi0.3时， F( i) 6.68i2 A2 T 0.7时，F( 2) 4.4293 A2 1.5 时，F( 3) 7.125。所以， F( i) F ( 2) F( 3) ，单峰区间为：A i Ai 0.3, B 3 A

16、2i.5。当x0 1.8时A iAii.5, B 3A20.3精品文档精品文档23-2用黄金分割法求函数F( )2在区间3 5中的极小点，要求计算到最大未确定区间长度小于0.05。f( (1) 0.115136 f ()7.667f ()0.98759解：(1)在初始区间a,b =-3 , 5中取计算点并计算函数值(1) b0.618(ba)0.056;fi(2) a0.618(ba)1.944;f2(2)比较函数值，缩短搜索区间因有 fwf2,则 b 1.944; f2 f()0.115136(1) b 0.618(b a) 1.11139 ; f1(3)判断迭代终止条件b a> e不

17、满足迭代终止条件，比较函数值f1、f2继续缩短区间。将各次缩短区间的有关计算数据列于下表。表黄金分割法的搜索过程区间缩短 次数ab(1) aaf1f2(原区间)-350.0561.9440.1157.6671-31.944-1.1110.056-0.9870.1152-30.056-1.832-1.111-0.306-0.9873-1.8320.056-1.111-0.665-0.987-0.8884-1.832-0.665-1.386-1.111-0.851-0.987(5-8)略9-1.11122-0.94097-1.046-1.006-0.997867-0.999964323-3用二次插

18、值法求函数F( ) 8273的最优解。已知搜区间为0 2,选代精度0.01。解：采用Matlab编程计算得：0.62073-4函数f(X) Xi2 X1X2 X22 2Xi 4X2,取初始点为X(0) 2 2T ,规定沿X(0)点的负梯度方向进行一次一维优化搜索，选代精度：x 105, f 106。(1)用进退法确定一维优化搜索区间；(2)用黄金分割法求最优化步长及一维优化最优值；(3)用二次插值法求最优化步长及一维优化最优值；(4)上述两种一维优化方法在求解本题时，哪一个种方法收取更快，原因是什么？解：最优点X 0 2T,最优值f(X )4二次插值法更快.- 2 .3-5求F( ) (1)(2)的极小点，选代精度x 0.1, f 0.1。要求：(1)从0出发，丁00.1为步长确定搜索区间；(2)用黄金分割法求极值点；(3)用二次插值法求极值点。精品文档精品文档解：(1) 由已知条件可得，10, F1F ( 1 ) 421 T00.12F2F( 2) ( 2 1)( 2 2)22(0.1 1)(0.1 2)2 3.971F2F1 ，应作前进搜索。步长加倍，T 2T0 0.2, F1F2 3.971 ，22T0.10.2 0.3F2F(2)( 21)(2 2)2(0.3 1)(0.3 2)2 3.757因为F2 Fi,