大学文科数学第三章导数与微分

1、章 节第三章 变量变化速度与局部改变量的估值问题-导数与微分课 时6教学目的1.使学生准确掌握导数与微分的概念.明确其物理、几何意义， 2.熟悉导数与微分的运算性质和微分法则，牢记基本初等函数的导数公式，并熟练地进行初等函数的导数、微分运算； 教 学重 点及突 出方 法1.教学重点是导数与微分的概念及其计算2.解决方法为在几何意义的基础上理解函数导数的定义，熟记公式教 学难 点及突 破方 法1.教学难点是求复合函数的导数2.突破方法是让学生首先记住什么是基本初等函数，然后将复合函数拆成基本初等函数相 关内 容素 材教学过程第一节 函数的局部变化率-导数文艺复兴的火炬驱散了欧洲中世纪的漫漫黑暗，

2、15世纪之后的欧洲，资本主义逐渐，出现的大量实际问题，给数学提出了前所未有的亟待解决的新课题，其中三类问题导致了微分学的产生：（1）求变速运动的瞬时速度（2）求曲线上一点的切线（3）求极大值和极小值1.1 抽象导数概念的两个现实原型原型I 求变速直线运动的速度设一质点从点开始做变速直线运动，经过秒到达点，求该质点在时刻的瞬时速度. 以为原点，沿质点运动的方向建立数轴-轴，用表示质点的运动的路程，显然路程是时间的函数，记作，现求时刻的瞬时速度.如果质点做匀速直线运动，那么按照公式 ，便可以求出，但是现在要求质点做变速直线运动的速度，则在整个时间间隔内不能应用上边的公式求时刻的速度，下面我们分三步

3、来解决这一问题.(1)给一个增量，时间从变到，质点从点运动到点，路程有了增量(2)当很小时，速度来不及有较大的变化，可以把质点在间隔内的运动看似匀速运动，这实质上是把变速运动近似的转化为匀速运动，下面求内的平均速度(3)当越来越小，平均速度就越来越接近于时刻的瞬时速度，即教学过程第一节 函数的局部变化率-导数原型II 求曲线切线的斜率在初等数学中，我们知道曲线上的两点和的连线为曲线的割线，当点沿着曲线无限的趋近于时，其极限位置就是曲线在点处的切线，如何求曲线在处的切线的斜率呢？我们分三步来解决：(1)求增量 给一个增量，自变量由变到，曲线上纵坐标的相应增量为=.(2)求增量比 曲线上的点从变到

4、时，当很小时，此时曲线上的纵坐标来不及有很大的变化，这时候割线的斜率近似的等于切线的斜率，此时割线的斜率为(3)取极限 当时，点沿着曲线无限的接近，割线的斜率的极限就是切线的斜率，即,其中，是切线与轴正向之间的夹角.1.2 导数概念定义 设函数在点的某邻域内有定义，当自变量有一个增量时，相应函数值的增量为=，若极限存在，则称函数在点可导，并称该极限为函数教学过程第一节 函数的局部变化率-导数在点处的导数，记为， 等.若上述极限不存在，则称在点不可导.导数是函数增量与自变量增量之比的极限，这个增量比称为函数关于自变量的平均变化率，而导数=是函数在点处的变化速度，称为函数在点处的瞬时变化

5、率.导数的力学意义就是变速直线运动物体的瞬时速度导数的几何意义就是曲线的切线斜率例1 求函数在点处的导数解：给一个增量，如果函数在区间内每一点都可导，则称为区间上的可导函数。此时对每一个，都有的一个导数与之对应，记作， 等. 即     这就是说：函数在点的导数是曲线在点处的函数值教学过程第一节 函数的局部变化率-导数例2 求函数在点处的导数解：例3 求函数的导数解： 综上面的例题，幂函数的导数例4 求常数函数的导数.解 ： (1)求增量：因为，即不论 取什么值，的值总等于 ，所以；(2)算比值：；(3)取极限：.即常数函数的导数等于零.例5 求函数的导

6、数.解 （1）求增量：，由和差化积公式有：教学过程第一节 函数的局部变化率-导数（2）算比值：.（3）取极限： 即，用类似的方法，可求得我们同样可以利用导数定义去证明对数函数，特别地1.5 函数的可导性与连续性之间的关系定理2 若函数在处可导，则函数在处连续.1.6 高阶导数的概念函数的变化率是用它的导数来表示的，而导数也是的函数，那么函数的变化率也应该用它的导数来表示，我们把它称为函数的二阶导数，记作，二阶导数的力学意义就是运动物体的加速度设函数存在阶导数，并且阶导数可导，那么的导数称为函数的阶导数记为 , ,教学过程第一节 函数的局部变化率-导数例 设，设，课堂练习：

7、3.（1）10.(3)总结：1、学习导数的基本定义及导数的几何意义2、掌握函数导数的求法作业： 3.（2）教学过程第二节 求导数的方法-法则和公式2.1 求导法则1.函数的和、差、积、商的求导法则(1)设函数与在点处可导,则函数也在点处可导,且有以下法则:例1 已知解：(2) 设函数与在点处可导,则函数也在点处可导,且有以下法则:证明：令 ,(1)求函数的增量:给 以增量 ,相应地函数 ,各有增量与,从而有增量(2)算比值: ,(3)取极限:由于与均在x处可导,所以 .又,函数在处可导,就必在处连续,因此,从而根据和与乘积的极限运算法则有教学过程第二节 求导数的方法-法则和公式这就是说，也在x

8、处可导且有.特别的，当例2 已知解：(3) 设函数与在点处可导,则函数也在点处可导,且有以下法则: 特别的，当例3 已知，求解：即 同理可得例4 已知,求教学过程第二节 求导数的方法-法则和公式解：=同理可得 2.复合函数的求导法则 设函数是由函数和复合而成的函数，并且设函数在点x处可导，在对应的点处可导，则有复合函数的求导法则：也可表示为复合函数的导数等于函数对于中间变量的导数乘以中间变量对于自变量的导数.例5 求的导数解： 函数可以看作由函数与复合而成因此例6 ，求解：函数是由复合而成，则 例7 ，求教学过程第二节 求导数的方法-法则和公式解：当时，；当时，函数是由复合而成3.用复合函数求

9、导法则求隐函数的导数如果方程确定了是的函数，那么这样的函数叫做隐函数.例8 方程确定了是的函数，求.解：方程左右对求导， 例9 求圆上一点处的切线方程.解：将方程左右关于求导，则，从而切线方程为2.2 基本初等函数的求导公式1.任意指数的幂函数的导数解：左右取以为底的对数，再对求导，教学过程第二节 求导数的方法-法则和公式2.指数函数的导数解：左右取以为底的对数，再对求导，特别的当时，3.反三角函数的导数解：设，则存在反函数，等式两边对求导，例10 求下列函数在指定点处的导数（1），求解：，（2），求,教学过程第二节 求导数的方法-法则和公式例11 质量为的放射性物质，经过时间后，所剩的质量与

10、时间的关系为（为正数，是该物质的衰减系数），求该物质的衰减率.解：例12 求下列函数的阶导数（1） （2） （3）解：（1），显然（2），（3），所以课堂练习： 4.（1、2、5、6、9、10、3）5.(1、3、5、7、9)8.（1、3）小结：1、掌握函数的求导法则，会计算初等函数的导数2、掌握复合函数导数的求法及高阶导数作业： 4（7、16） 5.（2、4、6、8、10） 8.（2、4）教学过程第三节 局部该变量的估值问题-微分及其运算3.1 微分1.微分的概念定义 设函数在点处有增量，相应地函数值有改变量可以表示为，其中与无关，为的线性主部，为比高阶的无穷小量，则称函数在点处可微，并称其线性主部 为函数在点处的微分，记为或，即且有，这样一般来说一元函数在点处可导与可微等价2.微分的几何意义MT P N教学过程第二节 求导数的方法-法则和公式见上图，当是曲线的纵坐标增量时,就是切线纵坐标对应的增量.当很小时,在点的附近,切线段可近似代替曲线段.3.2 微分公式和法则1.导数公式和微分公式（1） （2）