高数上第一章151-3函数的连续性ppt课件

1、处处的的连连续续性性在在点点函函数数 )( . 2xxfy x y xyoxxx )(xfy )(xy xyoxxx x y MN. 0 0 yx时时. 0 0 yx时时1.5 1.5 函数的连续性函数的连续性1.5.11.5.1连续函数的概念连续函数的概念 定定义义1 1 设设函函数数)(xfy 在在),( xN有有定定义义，若若 0lim0 yx则则称称函函数数xxf ) (在点在点处处连连续续，并并称称x 点点是是函函数数 )(xf的的连连续续点点。 xxx ， 当当0 x时时，有有xx； 0)()(limlim0 xfxfyxxx， )()(limxfxfxx 。 定定义义2 2 设设

2、函函数数)(xfy 在在),( xN有有定定义义，若若 )()(limxfxfxx 则则称称函函数数xxf ) (在在点点处处连连续续。 函函数数)(xfy 在在),( xN有有定定义义； )(limxfxx存存在在； )()(limxfxfxx 。 若若条条件件之之一一不不满满足足，则则称称)( xfx 为为点点的的一一个个间间断断点点 ( (或或不不连连续续点点) )。 函数函数xxf ) (在点在点处连续必须满足以下三个条件：处连续必须满足以下三个条件： 定定义义 3 3 若若o ，0 ， xx时时，恒恒有有 )()(xfxf，则则称称函函数数xxf ) (在在点点处处连连续续。 若若)

3、()(limxfxfxx ，则则称称函函数数xxfy ) (在在点点 处处左左连连续续。 若若)()(limxfxfxx ，则则称称函函数数xxfy ) (在在点点 处处右右连连续续。 函函数数)(xfy 在在点点x处处连连续续的的充充要要条条件件: : )(lim)()(lim)()(limxfxfxfxfxfxxxxxx 3 3. .函函数数)(xfy 在在某某区区间间内内的的连连续续性性 若若函函数数)(xfy 在在) ,(ba内内每每一一点点都都连连续续，则则称称函函数数 )(xfy 在在) ,(ba内内连连续续。 若若函函数数)(xfy 在在) ,(ba内内连连续续，且且在在左左端端

4、点点ax 右右连连续续，在在右右端端点点bx 左左连连续续，则则称称函函数数)(xfy 在在 ,ba上上连连续续。 区区间间I I上上连连续续函函数数的的全全体体简简记记为为C C( (I I) )。例例 1 1证证明明 0 , 0 0 ,11)(xxxxxf在在点点 0 x处处连连续续。 证证明明：00lim)00(0 xf， , 0lim2121lim11lim)00(000 xxxxxfxxx )0(0)(lim0fxfx ， 0 ) ( xxf在在点点处处连连续续。 区区间间I上上的的连连续续函函数数)(xfy ，简简记记为为)(ICf 。 例例 2 2证证明明 函函数数xy sin

5、在在) ,( 内内连连续续。 , 2sin2)2cos(2sin20 xxxxxy 证证明明：),( x，则则 ),2cos(2sin2sin)sin(xxxxxxy 故故xy sin 在在处处 x连连续续， 再再由由的的 x任任意意性性知知，xy sin 在在) ,( 内内连连续续。 0lim0yx0lim0 yx， 可可以以证证明明函函数数 )10( aaayx且且在在) ,( 内内连连续续。 类类似似地地可可证证 xy cos 在在) ,( 内内连连续续。 定定理理 1 1 若若函函数数)(xf，)(xg在在区区间间 I 上上连连续续，则则函函数数 )()(xgxf ，)()(xgxf

6、，)()(xgxf)0)( xg在在区区间间 I 上上 连连续续。 由由定定理理 1 1 及及xsin，xcos的的连连续续性性可可知知xxxcossintan ， xxxsincoscot ，xxcos1sec ，xxsin1csc 在在其其定定义义域域内内 连连续续。 1.5.2 1.5.2 连续函数的运算连续函数的运算 定理定理2 2 （反函数的连续性）（反函数的连续性） 若若)(xfy 是区间是区间 ,ba上的严格上的严格单调增加单调增加( (或减少或减少) ) 的连续函数，则其反函数的连续函数，则其反函数)(1xfy 在区间在区间 )( ),(bfaf (或或 )( ),(afbf)

7、上也是严格上也是严格单调增加单调增加( (或减少或减少) )的连续函数。的连续函数。 )10( aaayx且且在在) ,( 内内严严格格单单调调且且连连续续， )10(log aaxya且且在在) , 0( 内内也也严严格格单单调调且且连连续续。 xy sin 在在 2 ,2 上上严严格格单单调调增增加加且且连连续续， xy arcsin 在在1 , 1 上上严严格格单单调调增增加加且且连连续续。 同同样样，由由定定理理 2 2 可可知知： xy arccos 在在 1 , 1上上严严格格单单调调减减少少且且连连续续， xy arctan 在在) ,( 内内严严格格单单调调减减少少且且连连续续

8、， xarcycot 在在) ,( 上上严严格格单单调调减减少少且且连连续续。 若若)(xgu 在在x 点点处处连连续续，)(ufy 在在点点)(xgu 处处连连续续，则则复复合合函函数数)(xgfy 在在x 点点处处也也连连续续。 （证证明明从从略略） 定理定理 3（复合函数的连续性）（复合函数的连续性）定定理理 3 是是说说连连续续函函数数的的复复合合函函数数仍仍是是连连续续函函数数。其其结结论论为为 )(lim)()(limxgfxgfxgfxxxx 极极限限符符号号 与与函函数数符符号号 在在函函数数连连续续时时可可以以交交换换次次序序。 limf例如：例如： uy sin ，2xu

9、均为连续函数，均为连续函数， 复复合合函函数数2sinxy 在在点点2 x处处连连续续， . 12sin)2sin()limsin(sinlim22222 xxxx 1.5.3 1.5.3 初等函数的连续性初等函数的连续性1.1.基本初等函数在其定义域内都是连续的；基本初等函数在其定义域内都是连续的； 例例如如：kxkxxf )()0( k， )(xf的的定定义义域域为为0 x，它它在在0 x附附近近没没有有定定义义， 因因此此，)(xf在在0 x谈谈不不上上是是连连续续的的。 重要结论：重要结论：2. 2. 一切初等函数在其定义区间内是连续的。一切初等函数在其定义区间内是连续的。注注：初初等

10、等函函数数在在其其定定义义域域内内不不一一定定是是连连续续的的。 若若x是是初初等等函函数数)(xF定定义义区区间间内内的的点点，则则 )()(limxFxFxx 。 例例 5 5证证明明： （1）)10( log)1(loglim0 aaexxaax且且； （2 2）)10( ln1lim0 aaaxaxx且且； （3 3）)( 1)1(lim0Rxxx 。 证证明明： （1 1）xaxaxxxx100)1(loglim)1(loglim .log)1(limlog10exaxxa 特特别别有有 . 1)1ln(lim0 xxx （2 2）令）令1 xat，则，则)1(logtxa ， 当当

11、0 x时时，0t， aettxaaatxxlnlog1)1(loglim1lim00 。 特特别别有有 11lim0 xexx （3 3）当当0 时时，结结论论显显然然成成立立。 当当0 时时，xxxexxx)1ln()1ln(11)1()1ln( xxxexxxxxx)1ln(lim)1ln(1lim1)1(lim0)1ln(00 .11 重要结论：重要结论：)1ln(x , x )1(logxa , ln1xa 1 xe, x 1 xa,lnax 1)1( x.x , 0 时时当当x证证明明：)(ln)()()(xuxvxvexu ， 由由指指数数函函数数和和对对数数函函数数的的连连续续性

12、性与与极极限限的的复复合合运运算算法法则则得得 )(ln)(lim)(ln)()(lim)(limxuxvxuxvxxxvxxxxeexu )(lnlim)(limxuxvxxxxe .ln)(limln)(limBABxuxvAeexxxx 例例 6 6证证明明：若若0)(lim Axuxx，Bxvxx )(lim，则则 BxvxxAxu )()(lim（x其其中中可可以以是是有有限限数数也也可可以以是是 ） 。 例例 7 7求求下下列列极极限限： （1 1）xxxxxln1lim1 解解：1lnlnlimln1limln1lim1ln11 xxxxxxexxxxxxxxx。 （2 2）)0(2lim20 ahaaaxhxhxh； 解解：aahaahaaaxhhxhxhxhxh22020ln)1(lim2lim 。 （3 3）)(lim12 nnnxxn； 解解： )(lim)(lim111212 nnnnnnxxnxxn xnnxnxxnnnnnnnln)1(1lim )1( lim112)1(1112 等价无穷小量等价无穷小量.ln)1(limlimln211xnnnxxnnn （4 4）xxxtan2)(sinlim ； 解解：令令2 xt，当当2 x时时，0t， ttxxtxcot0tan2)(coslim)(sinlim . 1021limtancos1