高数上册D0连续函数性质ppt课件

1、第一章第一章 函数与极限函数与极限10 10 闭区间上连续函数的性质闭区间上连续函数的性质第十节一、最值定理一、最值定理 二、介值定理二、介值定理 *三、一致连续性三、一致连续性 闭区间上连续函数的性质 注意注意: 若函数在开区间上连续若函数在开区间上连续,结论不一定成立 .一、最值定理一、最值定理定理定理1.1.在闭区间上连续的函数在闭区间上连续的函数即: 设, ,)(baCxfxoyab)(xfy 12那么, ,21ba使)(min)(1xffbxa)(max)(2xffbxa值和最小值.或在闭区间内有间断 在该区间上一定有最大点 ,例如例如,)1,0(,xxy无最大值和最小值 xoy11

2、21,31,110,1)(xxxxxxfxoy1122也无最大值和最小值 又如又如, ,)(baxf在因此bxoya)(xfy 12mM推论推论. 由定理 1 可知有, )(max,xfMbax)(min,xfmbax, ,bax故证证: 设设, ,)(baCxf,)(Mxfm有上有界 .二、介值定理二、介值定理定理定理2. ( 零点定理零点定理 ), ,)(baCxf至少有一点, ),(ba且使xyoab)(xfy .0)(f0)()(bfaf在闭区间上连续的函数在该区间上有界. 定理定理3. ( 介值定理介值定理 ) 设 , ,)(baCxf且,)(Aaf,)(BABbf则对 A 与 B

3、之间的任一数 C ,一点, ),(ba证证: 作辅助函数作辅助函数Cxfx)()(那么,)(baCx 且)()(ba)(CBCA0故由零点定理知, 至少有一点, ),(ba使,0)(即.)(Cf推论推论:Abxoya)(xfy BC使.)(Cf至少有在闭区间上的连续函数 必取得介于最小值与最大值之间的任何值 .例例1. 证明方程证明方程01423 xx一个根 .证证: 显然显然, 1 ,014)(23Cxxxf又,01)0(f02) 1 (f故据零点定理, 至少存在一点, ) 1 ,0(使,0)(f即01423说明说明:,21x,0)(8121f内必有方程的根 ;) 1 ,(21取 1 ,21

4、的中点,43x,0)(43f内必有方程的根 ;),(4321可用此法求近似根.二分法二分法4321x01在区间)1 ,0(的中点取1 ,0内至少有那么那么0)()()(212xfxff上连续 , 且恒为正 ,例例2. 设设)(xf在,ba对任意的, ),(,2121xxbaxx必存在一点证证:, ,21xx使. )()()(21xfxff令)()()()(212xfxfxfxF, 那么,)(baCxF)()(21xFxF)()()(2112xfxfxf)()()(2122xfxfxf)()(21xfxf221)()(xfxf0使,)()(21时当xfxf,0)(xf,0)()(21xFxF故由零点定理知 , 存在, ),(21xx,0)(F即. )()()(21xfxff当)()(21xfxf时, 取1x或2x, 则有)()()(21xfxff证明:小结 目录 上页 下页 返回 完毕 内容小结内容小结则设, ,)(baCxf在)(. 1xf上达到最大值与最小值;上可取最大与