旋转体的侧面积

1、目录 上页 下页 返回 结束 2021/8/61四、四、 旋转体的侧面积旋转体的侧面积 (补充补充) 三、已知平行截面面积函数的三、已知平行截面面积函数的 立体体积立体体积第二节一、一、 平面图形的面积平面图形的面积二、二、 平面曲线的弧长平面曲线的弧长 定积分在几何学上的应用 第六六章 目录 上页 下页 返回 结束 2021/8/62ybxa)(2xfy )(1xfy O一、平面图形的面积一、平面图形的面积1. 直角坐标情形直角坐标情形设曲线)0()(xfy与直线)(,babxax及 x 轴所围曲则xxfAd)(dxxfAbad)(边梯形面积为 A ,右下图所示图形面积为 xxfxfAbad

2、)()(21Oxbay)(xfy xxdxxxxd目录 上页 下页 返回 结束 2021/8/63例例1. 计算两条抛物线22,xyxy在第一象限所围图形的面积 . 解解: 由xy 22xy 得交点) 1, 1 ( , )0,0(xxxAd)(d22332x01331x3110AxyOxy 22xy xxxd) 1 , 1 (1目录 上页 下页 返回 结束 2021/8/64Oxy224 xyxy例例2. 计算抛物线xy22与直线的面积 . 解解: 由xy224 xy得交点)4,8( , )2,2()4,8(yyyAd)4(d221184 xy所围图形)2,2(221yy442361y为简便计

3、算, 选取 y 作积分变量,则有42Ayyyd目录 上页 下页 返回 结束 2021/8/65ab例例3. 求椭圆12222byax解解: 利用对称性 , xyAdd所围图形的面积 . 有axyA0d4利用椭圆的参数方程)20(sincosttbytax应用定积分换元法得024Atbsinttad)sin(202dsin4ttbaba4212ba当 a = b 时得圆面积公式xxxdxyO目录 上页 下页 返回 结束 2021/8/66yxabOabOyx一般地 , 当曲边梯形的曲边由参数方程 )()(tytx给出时, 按顺时针方向规定起点和终点的参数值21,tt则曲边梯形面积21d)()(t

4、ttttA)(1axt对应)(1bxt对应目录 上页 下页 返回 结束 2021/8/67xya2O例例4. 求由摆线)cos1 (, )sin(tayttax)0( a的一拱与 x 轴所围平面图形的面积 .)cos1 (tadA解解:ttad)cos1 ( ttad2sin42042)2(tu 令uuadsin8042uuadsin162042216a4321223 a20Attad)cos1 (2022目录 上页 下页 返回 结束 2021/8/682. 极坐标情形极坐标情形,0)(, ,)(C设求由曲线)(r及,射线围成的曲边扇形的面积 .)(r d在区间,上任取小区间d,则对应该小区间

5、上曲边扇形面积的近似值为d)(21d2A所求曲边扇形的面积为d)(212A xO目录 上页 下页 返回 结束 2021/8/69对应 从 0 变例例5. 计算阿基米德螺线解解:)0( aardd)(212a20A22a331022334a到 2 所围图形面积 . a2xO目录 上页 下页 返回 结束 2021/8/610心形线 xa2Ottadcos82042例例6. 计算心形线所围图形的面积 . 解解:)0()cos1 (aardd)cos1 (2122a02A02ad2cos44(利用对称性)2t令28a43212223a2021/8/611心形线心形线(外摆线的一种)xyaO2222yx

6、axayx即)cos1 ( ar点击图中任意点动画开始或暂停 尖点:)0,0( 面积:223 a 弧长:a8参数的几何意义目录 上页 下页 返回 结束 2021/8/6122coscos21)2cos1 (21aa2xyO例例7. 计算心形线与圆所围图形的面积 . 解解: 利用对称性 ,)0()cos1 (aar所求面积ar d)cos1 (2122a2221aA 22221aad)2cos21cos223(2432122aa22245aa 2目录 上页 下页 返回 结束 2021/8/613a2sin2a例例8. 求双纽线所围图形面积 . 解解: 利用对称性 ,2cos22ard2cos21

7、2a404A402a)2(d2cos0则所求面积为42a思考思考: 用定积分表示该双纽线与圆sin2ar 所围公共部分的面积 .2Adsin2026ad2cos21462a4答案答案:4yxO目录 上页 下页 返回 结束 2021/8/614二、平面曲线的弧长二、平面曲线的弧长定义定义: 若在弧 AB 上任意作内接折线 ,0M1iMiMnM当折线段的最大边长 0 时, 折线的长度趋向于一个确定的极限 ,此极限为曲线弧 AB 的弧长 , 即并称此曲线弧为可求长的.iiMM1定理定理: 任意光滑曲线弧都是可求长的.(证明略)ni 10lims则称OAByx目录 上页 下页 返回 结束 2021/8

8、/615sdabyxO(1) 曲线弧由直角坐标方程给出:)()(bxaxfy)(xfy 弧长元素(弧微分) :xxxdxyd12因此所求弧长xysbad12xxfbad)(1222)(d)(ddyxs目录 上页 下页 返回 结束 2021/8/616(2) 曲线弧由参数方程给出:)()()(ttytx弧长元素(弧微分) :因此所求弧长tttsd)()(22tttd)()(2222)(d)(ddyxs目录 上页 下页 返回 结束 2021/8/617(3) 曲线弧由极坐标方程给出:)()( rr,sin)(,cos)(ryrx令因此所求弧长d)()(22rrsd)()(22yxd)()(22rr

9、则得sd弧长元素(弧微分) :(自己验证)目录 上页 下页 返回 结束 2021/8/618)ch(cxccxccsh1例例9. 两根电线杆之间的电线, 由于其本身的重量,)(chbxbcxcy成悬链线 .求这一段弧长 . 解解:xysd1d2xcxdsh12xcxdchbxcxs0dch2cxc sh20bcbcsh22eechxxx )(chx2eeshxxx )(sh xxshxchcxbbOy下垂悬链线方程为目录 上页 下页 返回 结束 2021/8/619例例10. 求连续曲线段ttyxdcos2解解:,0cosx此题22xxysd1222的弧长.xxd)cos(12202xxd2c

10、os2220022sin222x4目录 上页 下页 返回 结束 2021/8/620例例11. 计算摆线)cos1 ()sin(tayttax)0( a一拱)20(t的弧长 .解解:tstytxd)()(d2dd2dd )cos1 (22tata22sintdttad)cos1 (2ttad2sin2ttasd2sin2202cos22ta02a8xyOa2目录 上页 下页 返回 结束 2021/8/621d222aa例例12. 求阿基米德螺线相应于 02一段的弧长 . 解解:)0( aard)()(d22rrsd12 ad1202as212a21ln2102)412ln(24122aara2

11、Oar 目录 上页 下页 返回 结束 2021/8/622三三、已知平行截面面积函数的立体体积、已知平行截面面积函数的立体体积设所给立体垂直于x 轴的截面面积为A(x), ,)(baxA在则对应于小区间d,xxx的体积元素为xxAVd)(d因此所求立体体积为xxAVbad)(xabxxxd)(xA上连续,目录 上页 下页 返回 结束 2021/8/623Oxy)(yx特别 , 当考虑连续曲线段2)(xf轴旋转一周围成的立体体积时, 有轴绕xbxaxfy)()(xdbaV当考虑连续曲线段)()(dycyx绕 y 轴旋转一周围成的立体体积时,有2)(yyddcVycdxyabxyabO)(xfy

12、x目录 上页 下页 返回 结束 2021/8/624ayxb例例13. 计算由椭圆12222byax所围图形绕 x 轴旋转而转而成的椭球体的体积. 解解: 方法方法1 利用直角坐标方程)(22axaxaaby则xxaabad)(220222(利用对称性)3222312xxaab0a234abOaV02xy d2x目录 上页 下页 返回 结束 2021/8/625方法方法2 利用椭圆参数方程tbytaxsincos则xyVad202ttabdsin23222 ab32234ab1 02特别当b = a 时, 就得半径为a 的球体的体积.343aayxbOx目录 上页 下页 返回 结束 2021/

13、8/626a2xyO例例14. 计算摆线)cos1 ()sin(tayttax)0( a的一拱与 y0所围成的图形分别绕 x 轴 , y 轴旋转而成的立体体积 .解解: 绕 x 轴旋转而成的体积为xyVaxd202利用对称性利用对称性 022)cos1 (2tattad)cos1 ( ttad)cos1 (2033ttad2sin16063uuadsin322063332 a6543212325aay)2(tu 令xyad202目录 上页 下页 返回 结束 2021/8/627xyOa2a绕 y 轴旋转而成的体积为)cos1 ()sin(tayttax)0( aa2yyxVayd)(20222

14、2)sin(ttattadsin2yyxad)(2021)(2yxx 22)sin(ttattadsin0注意上下限 !2023dsin)sin(tttta336a)(1yxx 注 2021/8/628注注分部积分对称关于2202dsin)sin(tttt20322d)sinsin2sin(tttttt)( tu令uuusin)2(22uu2sin)(2uu dsin3(利用“偶倍奇零”)0dsin4uuu02dsin4uu24uudsin820222184226目录 上页 下页 返回 结束 2021/8/629柱壳体积说明说明: xxxdy也可按柱壳法求出yVyx2柱面面积xyxd2)cos

15、1 ()sin(tayttaxxyxVayd2202)sin(tta)cos1 (ta22td02Oa2xy目录 上页 下页 返回 结束 2021/8/630偶函数yVttattad)cos1 ()sin(222202043d2sin)sin(8tttta2tu 令043dsin)2sin2(16uuuua2 uv令vvvvadcos)2sin2(164322奇奇函数336a目录 上页 下页 返回 结束 2021/8/631轴所围图及表示xtxxfytV)0(, )()(例例15. 设)(xfy 在 x0 时为连续的非负函数, 且 ,0)0(f形绕直线 xt 旋转一周所成旋转体体积 , 证明:

16、. )(2)(tftV 证证:xtxxd利用柱壳法xxfxtVd)()(2d则xxfxttVtd)()(2)(0 xxfttd)(20 xxfxtd)(20 xxftVtd)(2)(0)(2tft)(2tft)(2)(tftV 故)(xfxOy目录 上页 下页 返回 结束 2021/8/632例例16. 一平面经过半径为R 的圆柱体的底圆中心 , 并与底面交成 角,222Ryx解解: 如图所示取坐标系, 则圆的方程为垂直于x 轴 的截面是直角三角形,其面积为tan)(21)(22xRxA)(RxRRxxRV022dtan)(2123231tan2xxR0Rtan323R利用对称性计算该平面截圆

17、柱体所得立体的体积 .ORxyx目录 上页 下页 返回 结束 2021/8/633ORx),(yxyR思考思考: 可否选择 y 作积分变量 ?此时截面面积函数是什么 ?如何用定积分表示体积 ?)(yA提示提示:tan2yx22tan2yRyVR0tan2yyRyd22目录 上页 下页 返回 结束 2021/8/634解解: 垂直 x 轴的截面是椭圆1)1 ()1 (22222222axaxczby例例17. 计算由曲面1222222czbyax所围立体(椭球体)它的面积为)1 ()(22axcbxA因此椭球体体积为xbcaxd)1 (22cb20acba34特别当 a = b = c 时就是球

18、体体积 .)(axaaV02x233axx的体积.Oazxycb目录 上页 下页 返回 结束 2021/8/635例例18. 求曲线132xy与 x 轴围成的封闭图形绕直线 y3 旋转得的旋转体体积.(1994 考研)解解: 利用对称性 ,y10 x,22x21 x,42x故旋转体体积为V432xxd)2(321022xxd)1 (2361022xxd) 1(22122xxd) 1(2202215448在第一象限 xxd)4(322122x12yBCAO3目录 上页 下页 返回 结束 2021/8/636四、旋转体的侧面积四、旋转体的侧面积 (补充补充)设平面光滑曲线, ,)(1baCxfy求

19、上的圆台的侧面积位于d,xxxsySd2d积分后得旋转体的侧面积xxfxfSbad)(1)(22,0)(xf且它绕 x 轴旋转一周所得到的旋转曲面的侧面积 .取侧面积元素:)(2xfxxfd)(12xxyO)(xfy ab目录 上页 下页 返回 结束 2021/8/637xyO)(xfy absySd2d侧面积元素xyd2sdxd若光滑曲线由参数方程)()()(ttytx给出, 则它绕 x 轴旋转一周所得旋转体的)(2ttttd)()(22S注意注意:侧面积为xyd2原因是的线性主部 .不是薄片侧面积S 目录 上页 下页 返回 结束 2021/8/638xxfxfSbad)(1)(22R xy

20、O例例19. 计算圆上绕在,21222RRxxxRyxx 轴旋转一周所得的球台的侧面积 S .解解: 对曲线弧,2122xxxxRy应用公式得212xxS22xR 21 22xRxxd21d2xxxR)(212xxR当球台高 h 2 R 时, 得球的表面积公式24RS 1x2xOzyx目录 上页 下页 返回 结束 2021/8/639例例20. 求由星形线一周所得的旋转体的表面积 S .解解: 利用对称性2022Sta3sin22 ttasincos32td2042dcossin12tttata52sin5112022512attacossin32绕 x 轴旋转 taytax33sin,cos

21、Oyx星形线 )()()(ttytx)(2ttttd)()(22S2021/8/640星形线星形线taytax33sin,cos星形线是内摆线的一种.点击图片任意处点击图片任意处播放开始或暂停播放开始或暂停大圆半径 Ra小圆半径4ar 参数的几何意义(当小圆在圆内沿圆周滚动时, 小圆上的定点的轨迹为内摆线)aOyxt目录 上页 下页 返回 结束 2021/8/641内容小结内容小结1. 平面图形的面积边界方程参数方程极坐标方程2. 平面曲线的弧长曲线方程参数方程方程极坐标方程22)(d)(ddyxs弧微分:d)()(d22rrs直角坐标方程上下限按顺时针方向确定直角坐标方程注意注意: 求弧长时

22、积分上下限必须上大下小21d)()(tttttAd)(212A目录 上页 下页 返回 结束 2021/8/6423. 已知平行截面面积函数 A(x) 的立体体积baxxAVd)(旋转体的体积2)(yxA绕 x 轴 :4. 旋转体的侧面积sySd2d侧面积元素为(注意在不同坐标系下 ds 的表达式)yxxA2)(绕 y 轴 :(柱壳法)(xyy ,)(轴旋转绕xxyy 目录 上页 下页 返回 结束 2021/8/643思考与练习思考与练习1.用定积分表示图中阴影部分的面积 A 及边界长 s .提示提示: 交点为, )3,9( , ) 1, 1 (yAd 312yx 032 yxyxO13y)32

23、(y2y332yd 31241yyd 31221弧线段部分直线段部分)52ln()376ln(4155373s以 x 为积分变量 , 则要分两段积分, 故以 y 为积分变量. 目录 上页 下页 返回 结束 2021/8/6442. 试用定积分求圆)()(222bRRbyx绕 x 轴RbR上上半圆为22xRby y22xRx下下222)(xRb222)(xRbxd求体积 :提示提示:方法方法1 利用对称性旋转而成的环体体积 V 及表面积 S .OxyRV02bR222目录 上页 下页 返回 结束 2021/8/645OxyRbR方法方法2 用柱壳法Vdy2x2ydRbRbV4ybyRyd)(22

24、ybR222说明说明: 上式可变形为2 RV b2d2bR 20上上半圆为,22xRby下下 y22xRx此式反映了环体元素的另一种取法(如图所示). dd2bRV目录 上页 下页 返回 结束 2021/8/646OxyRbR求侧面积求侧面积 :R02)(222xRbxyd12R02)(222xRbxyd12相同二者2yRb08xyd12bR24利用对称性RS2b2S上式也可写成d2bR20上上半圆为,22xRby下下 y22xRx它也反映了环面元素的另一种取法: d2dbRS目录 上页 下页 返回 结束 2021/8/647作业作业 P284 2 (1) , (3) ; 3; 4; 5 (2) , (3) ; 8 (2) ; 9; 10; 22; 25; 27 ; 30 面积及弧长部分面积及弧长部分： 体积及表面积部分：体积及表面积部分：P286 13; 14 ; 15 (1), (4) ; 17; 18补充题补充题: