存在性与恒成立

1、专题训练恒成立存在性问题知识点梳理1、恒成立问题的转化:恒成立 amaxa f x恒成立X min2、能成立问题的转化:能成立 aX mina f x能成立xmax8 设函数 f X > g X，存在 Xi a, b，存在 X2 c, d，使得 f Xig X?，则 fmin x gmax X9、 若不等式f X g X在区间D上恒成立，则等价于在区间 D上函数y f x和图象在 函数y g x图象上方；10、若不等式f x g x在区间D上恒成立，则等价于在区间 D上函数y f x和图象 在函数y g x图象下方；3、恰成立问题的转化：a f x在M上恒成立 a f x在CrM上恒成立

2、在M上恰成立aX的解集为Mf (X)在D上的最小值fmin(X)D, f(x) B在D上恰成立，则等价于f(x)在D上的最大值fmax(x)另一转化方法：若x D, f(x)若xA在D上恰成立，等价于4、设函数f x、，对任意的兀a,b，存在X2c, d，使得 f xig X2，则min X g min X5、设函数f x、，对任意的Xia , b，存在X2c, d，使得f %g X2，则max X g max X6设函数f x、，对任意的Xia , b，存在X2c ,d ，使得 f Xi =gX2，则 f在Xia ,b上的值域M是g x在X2c,d上的值域N的子集。即：M No题型一、常见方

3、法i、已知函数 f (x) x2 2ax i， g(x)-，其中 a 0， x 0 .x1) 对任意X i,2，都有f(x) g(x)恒成立，求实数a的取值范围；2) 对任意Xi i,2,X2 2,4，都有f(xj g(x2)恒成立，求实数a的取值范围；【分析：】1) 思路、等价转化为函数f(x) g(x) 0恒成立，在通过分离变量，创设新函数求最值解决.2) 思路、对在不同区间内的两个函数 f(x)和g(x)分别求最值，即只需满足fmin(x) gma”)即可.简解：(1)由x22ax33廿1成立，只需满足(x)尸的最小值大于3、已知两函数f(x) x2 , g(x) -2对任意Xi0,2，

4、存在X21,2，使得a即可.对(x)x32x2i求导,(X)2x4帚1 0，故(X)在x 1,2是增函数,f (Xi)g X2，则实数m的取值范围为min (x)(i)所以a的取值范围是0 a解析：对任意Xi 0,2,存在X21,2，使得f (Xi) g X2等价于g(X)m在i,2上2、设函数h(X)1 1X b，对任意a ?,2，都有h(x) 10在x ：,1恒成立，求实数b的1的最小值- m不大于42if(X) X2在0'2上的最小值0,既；取值范围.分析：思路、解决双参数问题一般是先解决一个参数, 实质还是通过函数求最值解决.再处理另一个参数以本题为例,4.已知 f(x) 2a

5、x -x1Inx在x 1与x -处都取得极值.2ii意的Xi -,2，总存在X2 -,2，使得、Xi方法i:化归最值,h(X) I0hmax ( x)I0 ；b解析：I f(x) 2ax - Inx, f (x)2a方法2:变量分离,b I0 (axx)或a(i0b)X ;方法3:变更主元,1(a)-xI0取得极值f (i)0，f(?)2a2a简解：方法i：对 h(x) g(x)b求导,h(x)(x a)(x a)f(x) Ii3x212(x1)(x3x2由此可知,iih(x)在丄,i上的最大值为h(2)与h(i)中的较大者.44函数g(x) =g(Xi) f(X2) ln X2，b2X1 H

6、f (x) 2axxb i4b 2 0解得:2mx+m，若对任求实数m的取值范围-Inx 在 x 1 与 x x所以函数f(x)在X i与X处都取得极值.ih(-) I04h(i) I0I4a b I04i a b I039b 4ai74，对于任意a -,2，得b的取值范围是b -b 9 a24又函数y=f (x)In x211x+在,2上递减，二33x2f(x)Xmf(2)=-Q又 函数g(x) = x 2mx+m图象的对称轴是x=m函数大于等于0恒成立的问题。(n )略解：由(I )知：f(x) x , g(x) x sinx，: g(x)在11当吨时：g(x)min=g(=4，依题意有1

7、7成立,1m< 2上单调递减,g(x)cosx 0cosx在 1 ,上恒成立,1, g(X)max g( 1)sin1,只需 sin1 t(t 1) t21 2(2)当 2 m 2 时：g(x)min=g(m)=m m，: m6m 70 ,解得:f (t 1)t2sinl 10(1),则sin1 1 0 (其中t 10t 1 t2 sin1 101)恒成立，由上述结论:t 1由22，而 t t sin1t2 t sin1 0 '可令0恒成立,3 .513+ .51m -6 63+ .516题型三、分离参数法(欲求某个参数的范围，就把这个参数分离出来)(3)当 m>2 时：g

8、(x)min=g(2)=47317， m 18，又 m>2，二 m1、当x 1,2时，不等式x2 mx 4 0恒成立，则m的取值范围是.综上：m生型所以，实数m的取值范围为(63+ .51 62解析：当 x (1,2)时，由 x2 mx 4 0 得 m-一 .二 m 5.x题型二、主参换位法(已知某个参数的范围，整理成关于这个参数的函数题型四、数形结合(恒成立问题与二次函数联系(零点、根的分布法)1、对于满足|p2的所有实数p,求使不等式x2px2x恒成立的x的取值范围1、若对任意x R,不等式|x| ax恒成立，则实数a的取值范围是解：不等式即x/2小1 p x 2x10,设 f p2

9、x1，则 f p 在-2,2解析：对 x R,不等式|X| ax恒成立、则由一次函数性质及图像知1 a 1，即1 a 1。恒大于0,故有:x2 4x 30x2 102、已知函数f xx2 2kx2 ,在x 1恒有f x k，求实数k的取值范围。2、已知函数f(x)xln(e a)(a为常数)是实数集R上的奇函数，函数g xf(x) sinx是区间1,1上分析：为了使f x k在x1, 恒成立，构造一个新函数F x f x k，则把原题转化成的减函数，(I)求a的值；(n)若g(x) t2t 1在X1,1上恒成立，求t的取值范围;左边二次函数在区间1,时恒大于等于0的问题，再利用二次函数的图象性

10、质进行分类讨(n)分析：在不等式中出现了两个字母:及t,关键在于该把哪个字母看成是一个变量,论，使问题得到圆满解决。解：令F x f x k x2 2kx 2 k，则F x 0对x 1,恒成立，而F x是开口向上的抛物线。当图象与x轴无交点满足0，即4k2 2 2 k 0，解得2 k 1。当图象与x轴有交点，且在x 1,时F x 0，则由二次函数根与系数的分布知识及图 象可得：0F 1 0解得3 k 2，故由知3 k 1。2k122、已知函数f x解:0,4，.°. a2 3a 4，解得 a 4或a 1。ln x 1 ax2 2x a 0存在单调递减区间,a的取值范围因为函数f有解.

11、即a存在单调递减区间，所以f x1 12xx 0, 能成立,设U1-ax x1 得，umin x 1.于是，a1,ax2 2x 10a 0小结：若二次函数y ax2 bx c a 0大于0恒成立，则有0，同理，若二次函数a 0y ax2 bx ca 0小于0恒成立，则有。若是二次函数在指定区间上的恒成立问题,还可以利用韦达定理以及根与系数的分布知识求解。题型五、不等式能成立问题（有解、存在性）的处理方法若在区间D上存在实数x使不等式f x A成立,则等价于在区间D上f x max A ；由题设a 0,所以a的取值范围是 1,0 0,小结：恒成立与有解的区别：恒成立和有解是有明显区别的，以下充要

12、条件应细心思考，甄别差异，恰当使用，等价转 化，切不可混为一体。若在区间D上存在实数x使不等式f xB成立,则等价于在区间D上的f Xmin B.1、存在实数x，使得不等式x 3 x 1 a2 3a有解，则实数a的取值范围为。解：设 f x x 3 x 1，由 f X a2 3a 有解， a2 3a f x min，不等式f x M对x不等式f x M对x不等式f x M对x时恒成立时有解时恒成立f max(x)M?，fmin(x) M?， xfmin(x) M?，f x的上界小于或等于M ;或f x的下界小于或等于M ;即f x的下界大于或等于M ;不等式f x M对x I时有解 fmax(

13、X)M， x I .。或f X的上界大于或等于M ；5、已知两函数f x 7x2 28x c，32g x 2x 4x 40x。题型六、等式能成立问题(有解、存在性)的处理方法(1)对任意x 3,3，都有f xg x成立，求实数c的取值范围;1.已知函数f (x) ax ln x, x (1,e),且f (x)有极值(2)存在x3,3，使 f x g x成立，求实数c的取值范围;(I )求实数a的取值范围;(3)对任意X1，X23,3，都有fx1 g x2，求实数c的取值范围;(H) 若 l<m<n<e,证明(4)存在 X1 , X23,3，都有f Xg x2，求实数c的取值范

14、围;(川)函数g(x) x32,证明：人(1,e), x°(1,e),使得 g(x°)f(xj 成立.6、设函数f(x)1 3 2 2x 2 ax 3a x b (0 a 1, b R). 3课后作业:(I)求函数f x的单调区间和极值;1、设a 1 ,若对于任意的a,2a，都有y a,a2满足方程logaX loga y 3,这时a的(U)若对任意的x a 1,a 2,不等式fa成立，求a的取值范围。取值集合为(A) a |1 a2(B) a|a 2(C) a|2 a 3(D) 2,37、已知A、BC是直线 上的三点，向量6AOB OC满足：OA y 2f 1 OB l nx 1OC 0.2、若任意满足05 0的实数x,y，不等式a(x2 y2) (x y)2恒成立，则实数a的最大0(1)求函数y = f(x)的表达式;(2)若 x>0,证明:f(x)2x> x + 2;值是3、不等式sin2x4sin x1 a 0有