八年级勾股定理培优题型归纳总结

1、勾股定理培优题型归纳总结一、巧解几何图形折叠问题折叠图形的主要特征是折登前后的两个图形绕着折线翻折能够完全重合，解答折叠,问题就 是巧用轴对称及全等的性质解答折叠中的变化规律.利用勾股定理解答折叠问题的一般步骤:运用折叠图形的性质找出相等的线段或角：(2)在图形中找到一个直角三角形，然后设图形中某一线段的长为x,将此直角三角形,的三边 长用数或含有x的代数式表示出来：(3)利用勾股定理列方程求出x： (4)进行相关计算解决问题.考点1、巧用对称法求折叠中图形的面积1、将长方形A8CO沿直线刀。折卷，使点C落在点。处，BC交AD于E, AO=8, A8=4,A E /、0求而积.来【解析】由题意

2、易知AO8G，N2=N3.,: ABCD 与A BCD 关于直线 8D对称，AZ1 = Z2.，N1 = N3.：.EB=ED.设 则 EO=x, AE=AO-ED=8一工在 Rd A8E 中，AB2+AE2=BE2,42+(8 - x)2=/.，x=5.ZD£=5.ZS=S£d=£UB=1x5x4=10.考点2、巧用全等法求折叠中线段的长1、如图是一直角三角形纸r片，NA = 30。，BC=4cm,将其折叠，使点。落在斜边上的点。处，折痕为3。，如图，再将图沿OE折叠，使点A落在。C的延长线上的点水处,如图，则折痕。上的长为（8A. - cm B.24cm C.

3、 2娘cm D. 3 cm【答案】AJ考点3,巧用折叠探究线段之间的数立关系1、如图，将长方形ABCO沿直线上尸折叠，使点。与点A重合，折痕交A。于点E,殳BC于点F，连接(1)求证：AE=AF=CE=CF(2)设 AE=n, ED=b, DC=c,请写出一个小b, G三者之间。的数量关系式.证明：由题怠知，AF=CF, AE=CE, /AFE=/CFE,又四边形A8CO是长方形，故AD/BC, ：. ZAEF= ZCFE.：. NAFE= ZAEF. ：.AE=AF=EC=CF.(2)【解析】由题意知,AE=EC=cb E,D=b, DC=c,由 NQ=90。知,ED2+DC2 = CE2,

4、即分+/=/考点4、巧用方程思想求折叠中线段的长1、如图，在边长为6的正方形ABCD中，E是边。的中1s点,将 ADE沿AE对折侄 AFE, 延长EF交BC于点G,连接AG.求证：b ABGWAFG： 2）求8G的长.(1)证明：在正方形 A5CO 中，AD=AB, ZD=ZB=90°.将 ADE 沿 AE 对茄至 AFE, ：.AD=AF, ZD=ZAFE=90°.：.AB=AFf N8=NAFG=90。,又AG=AG, AR/a ABGRtA AFG(HL).(2)【解析】ABG乌 AAEG, ：BG产FG.设 BG=FG=x,则 GC=6；v, 口E 为 CO 的中点

5、，：.CE=DE=EF=3, ，EG=3+x，在 RfZkCEG 中，32+(6-x)2=(3+x)2,解得x=2,，BG=2.专题二、勾股定理求最短路径长度问题求最短距离的问题，第一种是通过.计算比较解最短问题：第二种是平面图形，将分散的条 件通过几何变换(平移或轴对称)进行集中，然后借助勾股定理解决；第三种是立体图形，将 立体图形展开为平面图形，在平面图形中将路程转化为两点间的距离，然后借助直角三角 形利.用勾股定理求出最短路程(距离), 考点1、通过计算比较解最短问题1、小明听说“武黄城际列车”已经开通，便设计了如下问题：如图，以往从黄石A坐客车到 武昌客运站8, 现在可以在黄石A坐“武

6、黄城际列车”到武汉青山站C,再从青山站。坐市 内公共汽车到武昌.客运站3.设A8=80妨j, BC=20km, NABC= 120。.请你帮助小明解决以 下问题：(1)求A,。之间的距离.(参考数据：21=4.6)(2)若客车的平均速度是60 km/h,市内的公共汽车的平均速度为40 h小，“武黄城际列车” 的平均速度为180h小，为了在最短时间内到达武昌客运站，小明应选择哪种乘车方案？请 说明理由.(不计候车时间)【解析】(1)如图，过点C作AB的垂线，交AB的延长线于点£V ZABC= 120°,，NBCE=300,在 Ra C8E 中，9：BC=20knu ：.BE=

7、0km.由勾股定理可得CE= 10小km.在 Rd ACE 中，9：AC2=AE2+CE2=(AB+BE)2 + CE2=8 100+300=8 400, ，AC=20Vi=20x4.6=92(k).(2)选择乘“武黄城际列车”.理由如下：乘客车所需时间为群电)，乘“武黄城际列车”所需时间约为需+于岛的.志选择乘“武黄城际列车”.2、如图，学校有一块长方形花圃，有极少数人从A走到8,为了避免拐角C走''捷径”，在花圃内走出了一条“路”，他J门仅仅少走了 步路(假设2步为1。，却踩伤了花草.【答案】4考点2、用平移法求平面中最短问题1、如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分

8、别是50o，30cm, 0cni, A和B是这个台阶的两个相对的端点,A点上有一只壁虎,它想到3点去吃可口的食物,请你想一想，这只壁虎从A点出发，沿着台阶而爬到5点，至少需爬()A. 13 cm B. 40 cm C. 130 cm D. 169 cm【解析】将台阶而展开，连接A8,如图，线段AB即为壁虎所爬的最短路线.因为 3c=30x3+10x3=120Q)，AC =50 cm.在ABC 中，根据勾股定理,得ABZnAC+BnlGgOO,所以A8= 130cn所以壁虎至少爬行130cn 2、如图，己知N8=N.C=NO=NE=90。，且 AB=CO=3, 3c=4, DE=EF=2,则 A

9、E的长足【答案】10 考点3、用对称法求平面中最短问题1、如图，正方形A8CQ的边长为8,点M在OC上且0M=2, N是AC上的一动点，求ON+MN最小值【解析】如图所示，：正方形是轴对称图形，点8与点D是关于直线AC为对称轴的对称点 ，连接BN, BD,则直线AC即为8。的垂直平分线，:.BN=ND.,:.DN+MN=BN+MN.连接8M交AC于点P, ,点N为AC上的动点，由三角形两边之和大于第三边， 知当点N运动到点P时，DN+MN=BP+PM=BM, ON+MN的最小值为8M的长度.:四边形 A5CO 为正方形，8C=CO=8, CM=8-2 = 6,ZBCM=90°, AM

10、=MbC2+CM2=、82+62=10,即 DN+MN 的最小值为 10.2、高速公路的同一侧有A, 8两城镇，如图，它.们到高速公路所在直线MN的距离分别为AA'=2k，BB'=4 km, A'8'=8 h”,要在高速公路上AA比'之间建一个出口 P,使A, B两城镇到P的距离之和最小.求这个最短距离.【解析】如图，作点B关于直线MN的对称点C,连接AC交MN于点P,则点P即为所建的出口.此时A, 3两城镇到出口 P的距离之和最小，最短距离为AC的长.作AO_L8夕于点。，在 RdADC 中，AD=AB=8ki, DC=6 km., .MC=/AD2+

11、DC2= 10 km. 这个最短距离为10考点4、用展开法求回柱中的最短问题2如图，已知圆柱体底面圆的半径为/高为2, AB, CO分别是两底面的直径.若一只小虫从A点出发，沿圆柱侧面爬行到。点，则小虫爬行的最短路线的长度是(结果保留根号).7 / z z / 【解析】将圆柱体的侧面沿AO剪开并铺平得长方形/VVOD,连接AC,如图.线段AC就 21是小虫爬行的最短路线.48=,2仍2=2.在由 ABC中，由勾股定理得从。2=八鼠+8。2= 22+22=8,."。=m=2班.考点5、用展开法求圆锥中的兼短问题已知：如图，观察图形回答下而的问题：(1)此图形的名称为.(2)请你与同伴一

12、起做一个这样的物体，并把它沿AS剪开，铺在桌而上，则它的侧面展开图 是一个.(3)如果点。是SA的中点，在A处有一只蜗牛，在C处恰好有蜗牛想吃的食品，但它又不 能直接沿AC爬到。处，只能沿此立体图形的表而爬行，你能在侧而展开图中画出蜗牛爬行 的最短路,线吗？(4)SA的长为10,侧而展开图的圆心角为90。，请你求出蜗牛爬行的最短路程.SaAAC【解析】（1）圆锥（2）扇形 把此立体图形的侧面展开，如图所示，AC为蜗牛爬行的最短路线（4）在RaASC中，由勾股定理，得从。=1。2+52= 125,，AC=yi芯=54，故蜗牛爬行的最短潞程为54.考点6、用展开法求正方体中的最短问题 如图,，一个正方体木柜放在墙角处（与墙而和地面均没有隙），有一只蚂蚁从柜角A处沿着 木柜表面爬到柜角G处.请你在正方体木柜的表面展开图中画出蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径: 当正方体木柜的棱长为4时，求蚂蚁爬过的最短路径的长.解析】（1）蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径有如图的AC1和AG.如佟I,（4+4） 2+42=4书.所以蚂蚁爬过的最短路径的长是44.考点7、用展开法求长方体中的选短问题如图，长方体盒子的长、宽、高分别是12 cm, 8 cm, 30。%在AB的中点。处有一滴蜜糖,一只小虫从E处沿盒子表面爬到。处去吃，求小虫爬行的最