全国版2020年中考数学二轮复习突破满分专练：二次函数与图形面积问题

1、二次函数与图形面积问题例1、如图，已知抛物线 y x2 1与x轴交于 A B两点，与y轴交于点C.(1)求A、R C三点的坐标；(2)过点A作AP/ CB交抛物线于点 P,求四边形 ACBP勺面积；(3)在x轴上方的抛物线上是否存在一点M过M作MG x轴于点G使以A、M G三点为顶点的三角形与PCAi似.若存在，请求出 M点的坐标；否则，请说明理由.【解析】解：(1)令y 0,得x2 1 0 解得x 1令x 0 ,得y 1A( 1,0)B(1,0)C(0, 1)(2) -. 0 A=CB=OC=1BAB ACO= BCO=45o. AP/ CBFAB=45o过点P作PE x轴于E,则 APE为

2、等腰直角三角形令 CE=a ,则 PE=a 1. .p (a, a 1)点P在抛物线y x2 1上a 1 a2 1解得a1 2 , a?1 (不合题意，舍去).PE=3 八 1 _ _ 1 一一四边形 AC9 的面积 S = 1AB?CC+1AB?PE=22(3).假设存在PAB= BAC= 45o/.PA AC. MG x 轴于点 G,MG= PAC= 90o8在 RtAOC中，OA=OC=1.AG=J2在 RkPAE中，AE=PE=3.-.AP= 3yf2设M点的横坐标为m ,则M （m, m2 1）点M在y轴左侧时，则m 1(i )当AMG sPCA时，有AG = MGPA CA-.AG

3、= m1 , MG=m21即第解得mi（五）MAG s PCA时有AG MGCAPA,2m2 13 2解得：m（舍去）m2.M ( 2,3)点M在y轴右侧时,(i )当AMG sPCA时有尤=峥PA CA AG=m 1 , MG=m2 1m 1 m2 13.2、24斛得m11 (舍去)m2 -(ii)当MAGsPCAM有 AG= CA PA2即 m 1m 1223 2解得：mi1 (舍去)m2 4.M(4,15)，存在点M,使以A、M G三点为顶点的三角形与PCAf似4 7M点的坐标为(2,3) , (4,-, (4,15)3 9例2、如图，在平面直角坐标系中， ABC是直角三角形，/ ACB

4、90, AC=BCOA=1, 0(=4,抛2物线y x bx c经过A B两点，抛物线的顶点为 D.(1)求b, c的值;(2)点E是直角三角形 ABC斗边AB上一动点(点A B除外)，过点E作x轴的垂线交抛物线于点F,当线段EF的长度最大时，求点 E的坐标；(3)在(2)的条件下：求以点 E、B、F、D为顶点的四边形的面 积；在抛物线上是否存在一点 P,使£尸隰以EF为直角边的直角三角形 ？若 存在，求出所有点 P的坐标；若不存在，说明理由.【解析】解：(1)由已知得：A (-1 , 0)B (4, 5).二次函数y x2 bx c的图像经过点A (-1 , 0) B(4,5).1

5、 b c 016 4b c 5解得：b=-2 c=-3(2 )如2 6题图：二.直线AB经过点A (-1, 0)B(4,5)直线AB的解析式为：y=x+1二次函数 y x2 2x 3E(t,t+1)，则 F (t , t22t 3)，EF=(t1) (t2 2t 3)(t2 253时，EF的最大值=225.点E的坐标为（3,5）22（3）如2 6题图：顺次连接点E、日F、D得四边形E B F D.可求出点F的坐标（32，点D的坐标为（1 ,-4)S四边行EBFDSVBEFSVDEFPPF如2则有:7525”7(42)6题备用图:）过点E作a，EF交抛物线于点P,设点p（m2m 3)2m 2m解

6、得：mi2一 .26,m222 、26z2- -26 5、, p1(二,”2P2（一26 52,2)ii）过点F作bEF交抛物线于 "，设P3(n,2n3)则有：n2 2n 3 竽国-（与点F重合，舍去）2115 ' P3 U综上所述：所有点 P的坐标：p1(2一严,5)2 、, 26 5 c ,115、3了).服9使4EFP组成以EF为直角边的直角三角形.例3、如图，已知二次函数 y x2 bx c的图象与x轴交于A B两点，与y轴交于点P,顶点为C (1, 2).(1)求此函数的关系式;(2)作点C关于x轴的对称点D,顺次连接 AC B、D.若在抛物线上存在点E,使直线P

7、E将四边形ABC盼成面积相等的两个四边形，求点E的坐标;(3)在(2)的条件下，抛物线上是否存在一点F,使得 PEF是以P为直角顶点的直角三角形？若存在，求出点F的坐标及 PEF的面积；若不存在，请说【解析】(1) y x2bx c的顶点为C (1, 2),y (x 1)2 2, yx2 2x 1 .(2)设直线PE对应的函数关系式为y kx b由题意，四边形 ACBDI菱形.故直线PE必过菱形ACBD勺对称中心明理由.由 R0, -1), M (1,/日b 10),得k b 0解之得x10，x2(3)假设存在这样的点1)，代入 y x2 2x 1,得 x 13 ,根据题意工，得点E(3 ,2

8、)F,可设 F( x , x2 2x 1 )r.x2 2x 1 .过点F作FGL y轴，垂足为点 G在 RtA POMfD RtAFGF, / OMP/ OPM90 , / FPG/OPM90 ,/ OMP/ FPG 又/ POM/ PGF .POMb FGPOM2x 1)GP_ _八2.又 OM1, OP=1, . GP=GF 即 1 (x2GF解得X10 , X2 1 ,根据题意，得F(1 , 2).故点F(1 , 2)即为所求.Sa pefSamfpSamfe11121-22 3.2212例4、如图，已知抛物线 y ax2 bx c(a 0)的顶点坐标为 Q2, 1 ,且与y轴交于点 C

9、 0,3 ,与x轴交于A B两点(点A在点B的右侧)，点P是该抛物线上一动点，从点 C 沿抛物线向点 A运动(点P与A不重合)，过点 P作PD/ y轴，交AC于点D.(1)求该抛物线的函数关系式；(2)当4AD沈直角三角形时，求点 P的坐标;A P、E、(3)在问题(2)的结论下，若点 E在x轴上，点F在抛物线上，问是否存在以F为顶点的平行四边形？若存在，求点F的坐标；若不存在，请说明理由.2【解析】解：(1) .抛物线的顶点为 Q (2, 1) .设y a x 212,将c(0, 3)代入上式，得3 a 0 2122 一 一a 1, y x 21,即 y x 4x 3(2)分两种情况：当点P

10、1为直角顶点时，点P1与点B重合(如图)令 y=0,得 x2 4x 3 0解之得x11, x23点 A在点 B 的右边，B(1,0), A(3,0).-P i(1,0)解：当点A为APD的直角顶点是(如图). OA=OC, /AOC=90 , .OA2=45当ZD 2AR= 90 时，/OA245 , ，A计分ZD 2AP2又,3 2cHy 轴，.P 2D2XAO, ，P2、D2 关于 x 轴对称设直线AC的函数关系式为y kx b将A(3,0), C(0,3)代入上式得0 3kbk 1,- y x 33 bb 3D2在 y x 3上，P2在 y x2 4x 3上，设 D2( x,22x 3), P 2( x, x 4x 3)x 3)+( x 4x2x5x60,x12, x23(舍).当 x=2 时，yx24x3 = 2242 3 = - 1的坐标为 P2(2, 1)(即为抛物线顶点).P 点坐标为 R(1,0), P2(2, -1)解：由题(2)知，当点P的坐标为P1(1,0)时