南通大学数学实验 非线性迭代

1、南通大学实验报告非线性迭代学院： 理学院 班级： 数师153班 学号： 1502012072 姓名： 顾阳 一、实验解读 迭代是数学研究中的一个非常重要的工具，通过函数或向量函数由初始结点生成迭代结点列，也可通过函数或向量函数由初值（向量）生成迭代数列或向量列。 蛛网图也是一个有用的数学工具，可以帮助理解通过一元函数由初值生成的迭代数列的敛散性，也帮助理解平衡点（两平面曲线交点）的稳定性。本实验在Mathematica平台上首先利用蛛网图和迭代数列研究不动点的类型；其次通过蛛网图和迭代数列研究Logistic映射，探索周期点的性质、认识混沌现象；第三通过迭代数列或向量列求解方程（组）而寻求有效

2、的求解方法；最后，利用结点迭代探索分形的性质。二、实验计划1.迭代序列与不动点1.1程序 对函数的迭代过程，我们可以用几何图象来直观地显示它“蜘蛛网”。运行下列Mathematica程序： Clearf fx_ := (25*x - 85)/(x + 3); Solvefx=x , x g1=Plotfx, x, -10, 20, PlotStyle -> RGBColor1, 0, 0, DisplayFunction -> Identity; g2=Plotx, x, -10, 10, PlotStyle -> RGBColor0, 1, 0, DisplayFuncti

3、on -> Identity; x0=5.5; r = ; r0=GraphicsRGBColor0, 0, 1, Linex0, 0, x0, x0; Fori = 1, i <= 100, i+, r=Appendr, GraphicsRGBColor0, 0, 1, Linex0, x0, x0, fx0, fx0, fx0;x0=fx0 ; Showg1, g2, r, r0, PlotRange -> -1, 20, DisplayFunction -> $DisplayFunction x0=x0; xi_:=fxi-1; t=Tablexi,i,1,10/

4、N ListPlott 1.2实验思路 首先对函数研究不动点，需要 （1）对Plot中x,-10,20可改为x,-50,50；对PlotRange中 -1,20可改为-50,50； （2）x0=5.5中5.5分别改为-30，-20，-5，-1，0，1，5，5.1，5.001，16,17,18，20，30；（为了图像清楚，将t=Tablexi,i,1,10/N中10分别改为20） （3）对t=Tablexi,i,1,20/N中20分别改为100，200，500，1000； （4）对i<=100中100分别改为200，500，1000。 运行程序后观察蛛网图与散点图！一看数列是否收敛，如收敛

5、，极限是多少？收敛速度是快是慢？二看蛛网图中的轨道是否趋于平衡点，与平衡点处曲线的斜率有没有关系，三看初值对结果有没有影响。 其次，分别就，等函数迭代序列，观察蛛网图中的轨道是否趋于平衡点和序列的收敛性。2. Logistic映射与混沌2.1程序从形如的二次函数开始做迭代 这里，是一个参数。对不同的系统地观察迭代的行为。Mathematica程序： IterGeoa_, x0_ := Module p1, p2, i, pointlist = , v= x0, fv= a*x0*(1 - x0), p1=Plot a*x*(1 - x), x, x, 0, 1, DisplayFunction

6、 -> Identity; AppendTopointlist, x0, 0; Fori = 1, i < 20, i+, AppendTopointlist, v, fv; AppendTopointlist, fv, fv; v= fv; fv= 4*v*(1 - v); p2=ListPlotpointlist, PlotJoined -> True, DisplayFunction -> Identity; Showp1, p2, DisplayFunction -> $DisplayFunction IterGeo2.6, 0.32.2实验思路就Logi

7、stic映射，对a=0.5，1，1.2，2，2.1，2.9，2.999，3，3.001，3.2，3.235，3.236，3.237，3.44等，分别取x0= 0，0.2，0.5，0.8，1.0运行程序，观察结果。观察结果就是看数列是否收敛，蛛网图中的轨道是否趋于平衡点，与a的关系！对a的定义范围0，4分成若干个区间，就初值（属于（0，1）时）看数列是否收敛，蛛网图中的轨道是否趋于平衡点？可用散点图认识。 对Logistic映射讨论下列问题：（1）找出一个值，它对应的迭代具有2周期点。这种性质依赖于初值吗？你能找到多个值具有这种性质吗？ （2）你能对任意的找到一个值，使得它对应的迭代具有周期点吗

8、？哪些值能给出周期点？在每种情况下，结果是否依赖于初值的选取？ （3）如果某个值能给出周期点，它是否一定是吸引的周期点？你能否找到排斥的周期点？ （4）试着从理论上分析：的不动点是什么？对哪些值迭代收敛到每个不动点？哪些初值收敛到不动点？哪些初值导致发散？对周期点做类似的分析。研究锯齿函数和帐篷函数的混沌行为时，分别取x0=0，0.2，0.5，0.8，1.0运行程序(改变函数，要修改函数的定义方式)，研究数列及蛛网图中的轨道。3. 方程求根3.1程序对于代数方程g(x)=0，其根可用下列程序求得 Solveg(x)= = 0 , x也可用下列程序求得 gx_:=expr Plotgx,x,a,

9、b FindRootg(x)= = 0 , x,x0将方程改写为等价的方程，然后选取一初值利用(2.2.1)作迭代，迭代数列收敛的极限就是方程的解。即求方程的根等价于求函数的不动点。注意：由可得不同的等价的方程。例如取，而可取为，也可取为。由于不动点分吸引型和排斥型，因此的根为的排斥不动点时，就不能通过迭代函数以及一个初值利用(2.2.1)迭代求解，因为此时得到的数列不收敛。这时需要新的方法，Newton切线法就是其中之一。其迭代数列 Mathematica程序如下： Iteratef_,x0_,n_Integer:= Module t=,temp= x0, AppendTot,temp; F

10、ori=1,i <= n, i+,temp=Nx0-fx0/hx0; AppendTot,temp;t fx_:=x3-2*x+1; hx_=Dtfx,x; Iteratef,4,10而要通过几何直观观察，可由如下Mathematica程序实现：Clearffx_ := x3-2*x+1;g1 = Plotfx, x,2, 5, PlotStyle -> RGBColor1, 0, 0, DisplayFunction -> Identity;x0 = 4; r = ;hx_=Dtfx,x;Fori = 1, i <= 100, i+, Ifhx00,x1=Nx0-fx

11、0/hx0,20; r = Appendr, GraphicsRGBColor0, 0, 1, Linex0, 0,x0, fx0, x1, 0 ; x0 =x1;Showg1, r, PlotRange -> -20, 20, DisplayFunction -> $DisplayFunction3.2实验思路对于方程，首先分别考虑函数，取不同的初值x0（例如-9,-5,-2,-1,-0.5,0,0.5,1, 2 ,8,10 等），生成相应的数列。若数列有极限，则极限即为所求根。其次用牛顿切线法求根，取不同的初值x0（例如-9,-5,-2,-1,-0.5,0,0.5,1, 2,8

12、,10等），由此数列的极限即为所求根。 思考：为何数列收敛？分析原因！此外，初值x0决定数列的极限吗？ 最后考虑用其它方法求根。而对于sinx-x+1=0及其它方程求根，类同上述步骤。三、实验结果 1.迭代序列与不动点 对于函数，在Mathematica5.0上输入程序 Clearf fx_ := (25*x - 85)/(x + 3); Solvefx=x , x g1=Plotfx, x, -10, 20, PlotStyle -> RGBColor1, 0, 0, DisplayFunction -> Identity; g2=Plotx, x, -10, 10, PlotS

13、tyle -> RGBColor0, 1, 0, DisplayFunction -> Identity; x0=5.5; r = ; r0=GraphicsRGBColor0, 0, 1, Linex0, 0, x0, x0; Fori = 1, i <= 100, i+, r=Appendr, GraphicsRGBColor0, 0, 1, Linex0, x0,x0, fx0, fx0, fx0 ;x0=fx0; Showg1, g2, r, r0, PlotRange -> -1, 20, DisplayFunction -> $DisplayFunct

14、ion x0=5.5; xi_:=fxi-1; t=Tablexi,i,1,10/N ListPlott 运行结果为：（1） 中对x,-10,20可改为x,-50,50,对PlotRange中-1,20可改为-50，50，结果为（2） x0=5.5中5.5分别改为-30，-20，-5，-1，0，1，5，5.1，5.001，16,17,18，20，30。（为了方便下面作图，现将t=Tablexi,i,1,10/N中10改为20）xo稳定点蛛网图散点图-305,17-205,17-55,17-15,1705,1715,175.15,175.00015,17165,17175,17185.17205

15、,17305,17实验观察：1. 数列收敛，极限为17，收敛速度慢；2. 发现5,17都是平衡点，5是不稳定平衡点，而17是稳定平衡点；3. 蛛网图中的轨道趋近于平衡点17，与平衡点处的斜率相接近；4. 初值对平衡点没有影响，但是当初值越接近17，平衡点处曲线的斜率越接近，越多散点在一条直线上。（3）把t=Tablexi,i,1,20/N中20改为蛛网图散点图100200500由于范围过大，图像无法显示1000由于范围过大，图像无法显示 实验观察：随着i的范围的变大，数列始终收敛，极限为17，收敛速度较快;（4）对i<=100中100分别改为蛛网图散点图2005001000实验观察：1.

16、 数列收敛，极限为17，收敛速度慢；2. 数列收敛，与循环次数i无关。（5）分别就f(x)=sinx，f(x)=-x+1，f(x)=-x²+1等函数做迭代序列，观察蛛网图中的轨道是否趋于平衡点和序列的收敛性。函数蛛网图散点图f(x)=sinxf(x)=-x+1实验观察：1. 函数f(x)=sinx的散点图不收敛；2. 函数f(x)=-x+1的数列不收敛，有两个平衡点，并且都是不稳定的。3. Logistic映射与混沌在Mathematica5.0上输入程序IterGeoa_, x0_ := Module p1, p2, i, pointlist = , v= x0, fv= a*x0

17、*(1 - x0), p1=Plot a*x*(1 - x), x, x, 0, 1, DisplayFunction -> Identity; AppendTopointlist, x0, 0; Fori = 1, i < 20, i+, AppendTopointlist, v, fv; AppendTopointlist, fv, fv; v= fv; fv= 4*v*(1 - v); p2=ListPlotpointlist, PlotJoined -> True, DisplayFunction -> Identity; Showp1, p2, Display

18、Function -> $DisplayFunction IterGeo2.6, 0.3 得到实验结果：（1）输入程序Clearf, a, x; fa_, x_ := a*x*(1 - x); x0 = 0.5; r = ; Do Fori = 1, i <= 300, i+, x0 = fa, x0; Ifi > 100, r = Appendr, a, x0 , a, 3.0, 4.0, 0.01; ListPlotr得到的结果为; 实验观察：从极限分支点之后，Feigenbaum图显得很杂乱，似乎没有任何规律。则知道迭代对初值有敏感性以及某种无序性（2） 输入程序：Se

19、nsitivityn_Integer, x01_, x02_ := Module pilist = , i, temp1=x01, temp2=x02, Fori=1, i <= n, i+, temp1=4*temp1*(1-temp1); temp2=4*temp2*(1-temp2); AppendTopilist, i, temp2-temp1; ; ListPlotpilist, PlotJoined -> True Sensitivity50, 0.1, 0.1001得到的结果为：实验观察：迭代对初值是敏感的，无论他们的初值如何接近，即使他们的绝对值之差小于0.01，0

20、.001，最后他们也会渐渐分开。（3）就Logistic映射，对a=0.5，1，1.2，2，2.1，2.9，2.999，3，3.001，3.2，3.235，3.236，3.237，3.44等，分别取x0= 0，0.2，0.5，0.8，1.0运行程序，结果如下：aX0蛛网图0.500.20.50.81.0100.20.50.81.01.200.20.50.81.0200.20.50.81.02.100.20.50.81.02.900.20.50.81.02.99900.20.50.81.0300.20.50.81.03.00100.20.50.81.03.200.20.50.81.03.2350

21、0.20.50.81.03.4400.20.50.81.0实验观察：1. 当a取2.9,2.999,3,3.001等时，它对应的迭代具有二周期点；2. 初值对实验结果没有影响。3. 二次函数取不同的首项系数，可能得到以下几种结果：轨道可能趋于一个固定值，可能是一个环状轨道，结果与初值无关3. 方程求根方程X3-2X+1=0分别考虑函数，取不同的初值x0（例如-9,-5,-2,-1,-0.5,0,0.5,1, 2 ,8,10 等），生成相应的数列.若数列有极限，则极限即为所求根。结果观察：函数的根是-1.6,0.6,1（1）其次用牛顿切线法求根，取不同的初值X0图像迭代数列-9-9,-6.053

22、94,-4.12,-2.87939,-2.13116,-1.75122,-1.63065,-1.61816,-1.61803,-1.61803,-1.61803-5-5,-3.43836,-2.4591,-1.90448,-1.66817,-1.62,-1.61804,-1.61803,-1.61803,-1.61803,-1.61803-2-2,-1.7,-1.62309,-1.61806,-1.61803,-1.61803,-1.61803,-1.61803,-1.61803,-1.61803,-1.61803-1-1,-3.,-2.2,-1.78083,-1.6363,-1.6183,-1.61803,-1.61803,-1.61803,-1.61803,-1.61803-0.5-0.5,1.,1.,1.,1.,1.,1.,1.,1.,1.,1.00,0.5,0.6,0.617391,0.618033,0.618034,0.618034,0.618034,0.618034,0.61